1.C 子空间

(a) 取 \(\mathbb{F}=\mathbb{R}\),设 \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\) 为全体实值函数按逐点加法与数乘构成的向量空间(1.B 节例 3)。令 \(C(\mathbb{R})\) 为全体连续实值函数之集。零函数连续;两个连续函数之和连续;连续函数的实数倍连续。由判定条件 1.34,\(C(\mathbb{R})\) 是 \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\) 的子空间。同一论证适用于任一区间 \(S\):区间上的全体实值连续函数构成 \(\mathbb{R}^{S}\) 的子空间。再进一步,令 \(D(\mathbb{R})\) 为全体可微实值函数之集:可微函数必连续,和与数乘保持可微性且零函数可微,故 \(D(\mathbb{R})\) 是 \(C(\mathbb{R})\) 的子空间。于是得到一条子空间链 \[ D(\mathbb{R})\;\subseteq\;C(\mathbb{R})\;\subseteq\;\mathbb{R}^{\mathbb{R}}, \] 子空间可以层层相嵌,正如平面中的直线又含于平面、平面又含于空间。

(b) 设 \(\mathbb{R}^{\infty}\) 为全体实序列 \((a_1,a_2,a_3,\dots)\) 按逐项运算构成的向量空间(1.B 节例 2)。令 \[ c_0=\{(a_1,a_2,a_3,\dots):\ \lim_{n\to\infty}a_n=0\} \] 为收敛于 0 的序列全体。零序列收敛于 0;若 \(a_n\to0\)、\(b_n\to0\),则由极限的线性性 \(a_n+b_n\to0\);若 \(\lambda\in\mathbb{R}\),则 \(\lambda a_n\to0\)。由判定条件 1.34,\(c_0\) 是 \(\mathbb{R}^{\infty}\) 的子空间。类似地,全体收敛序列、全体有界序列也都是 \(\mathbb{R}^{\infty}\) 的子空间;但全体发散序列之集不是——它连零序列都不包含,条件 (a) 即告失败。

(c) 在多项式空间 \(\mathcal{P}(\mathbb{F})\) 中,令 \(\mathcal{P}_k(\mathbb{F})\) 表示次数不超过 \(k\) 的多项式全体(按惯例包含零多项式)。零多项式属于它;两个次数不超过 \(k\) 的多项式之和的次数仍不超过 \(k\);数乘同理。故 \(\mathcal{P}_k(\mathbb{F})\) 是 \(\mathcal{P}(\mathbb{F})\) 的子空间,并且 \[ \mathcal{P}_0(\mathbb{F})\subseteq\mathcal{P}_1(\mathbb{F})\subseteq\mathcal{P}_2(\mathbb{F})\subseteq\cdots\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{F}). \] 这条链将在第 2、3 章讨论张成、基与维数时反复出现。

低维几何空间能给出子空间的完整清单,这有助于建立直观。\(\mathbb{R}^2\) 的子空间恰好只有三类:\(\{0\}\)、所有过原点的直线、以及 \(\mathbb{R}^2\) 自身。

论证如下。设 \(U\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 的子空间。若 \(U=\{0\}\),属第一类。否则取非零向量 \(u\in U\);由对标量乘法封闭,对一切 \(\lambda\in\mathbb{R}\) 有 \(\lambda u\in U\),即过原点、方向为 \(u\) 的整条直线含于 \(U\)。此时只有两种可能:或者 \(U\) 恰好等于这条直线;或者 \(U\) 中还含有不在此直线上的向量 \(v\)。在后一情形,\(u\) 与 \(v\) 不平行(线性无关),于是任意 \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) 都可通过解二元线性方程组写成 \(au+bv\) 的形式(系数行列式非零保证方程组可解),再由 \(U\) 对加法与数乘封闭便得 \((x,y)\in U\),故 \(U=\mathbb{R}^2\)。三类之外再无其他。

同理,\(\mathbb{R}^3\) 的子空间恰好只有四类:\(\{0\}\)、过原点的直线、过原点的平面、以及 \(\mathbb{R}^3\) 自身。论证模式相同:一个非零向量生成一条过原点的直线;两个不共线的向量合成一张过原点的平面;三个不共面的向量则撑满整个空间。要留意的是"过原点"三个字不可省略:例如水平直线 \(\{(x,1):x\in\mathbb{R}\}\) 与平面 \(\{(x,y,1):x,y\in\mathbb{R}\}\) 都不含零向量,均非子空间。第 2 章(张成与线性无关)将把上述直觉提炼为严格而一般的理论。

在 \(\mathbb{R}^3\) 中取 \(x\) 轴 \(U_1=\{(x,0,0):x\in\mathbb{R}\}\) 与 \(y\) 轴 \(U_2=\{(0,y,0):y\in\mathbb{R}\}\),则 \[ U_1+U_2=\{(x,y,0):x,y\in\mathbb{R}\} \] 是 \(xy\) 坐标平面。事实上,每个和式 \((x,0,0)+(0,y,0)=(x,y,0)\) 都落在该平面内;反过来,平面中每个向量 \((x,y,0)\) 都能写成这样的和式。注意对比:\(U_1\cup U_2\) 只是一条"十字线",而 \(U_1+U_2\) 却是整张平面——和远比并集大,这正是定义 1.36 的用意。

在 \(\mathcal{P}(\mathbb{F})\) 中,设 \(U\) 为形如 \(a+bz^2\)(\(a,b\in\mathbb{F}\))的多项式之集,\(W\) 为形如 \(cz+dz^3\)(\(c,d\in\mathbb{F}\))的多项式之集。容易验证 \(U\) 与 \(W\) 都是子空间,且 \[ U+W=\{a+cz+bz^2+dz^3:\ a,b,c,d\in\mathbb{F}\}=\mathcal{P}_3(\mathbb{F}), \] 严格大于 \(U\) 与 \(W\) 中的任何一个。反过来,当子空间之间有包含关系时,和便退化为较大者,例如 \(\mathcal{P}_2(\mathbb{F})+\mathcal{P}_3(\mathbb{F})=\mathcal{P}_3(\mathbb{F})\)。可见"和"的行为介于并集与全空间之间,值得仔细研究。

在 \(\mathbb{R}^2\) 中取 \(U=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\) 与 \(W=\{(0,y):y\in\mathbb{R}\}\),则 \(\mathbb{R}^2=U\oplus W\)。事实上,每个向量 \((x,y)\) 都有分解 \[ (x,y)=(x,0)+(0,y); \] 若另有 \((x,y)=(x',0)+(0,y')\),比较两个分量立得 \(x'=x\)、\(y'=y\),故分解唯一。更一般地,\(\mathbb{R}^2\) 中任意两条不同的过原点直线 \(U_1\ne U_2\) 都满足 \(\mathbb{R}^2=U_1\oplus U_2\):两直线不重合意味着它们只在原点相交,而不共线的两个方向可以合成平面上任何向量(见例"\(\mathbb{R}^2\) 的子空间清单"中的论证;推论 1.46 将使直和的判定变得一步到位)。类似地,在 \(\mathbb{R}^3\) 中取 \(xy\) 平面 \(U=\{(x,y,0):x,y\in\mathbb{R}\}\) 与 \(z\) 轴 \(W=\{(0,0,z):z\in\mathbb{R}\}\),则 \(\mathbb{R}^3=U\oplus W\):平面内的向量与竖直方向的向量合成三维空间中的任何向量,且 \(U\cap W=\{0\}\) 保证了分解的唯一性。图 1 展示了这一情形。

在 \(\mathcal{P}(\mathbb{F})\) 中设 \[ U_e=\{p\in\mathcal{P}(\mathbb{F}):\ p(-z)=p(z)\},\qquad U_o=\{p\in\mathcal{P}(\mathbb{F}):\ p(-z)=-p(z)\}, \] 分别为偶多项式(如 \(1+3z^2\))与奇多项式(如 \(5z+7z^3\))之集。条件 \(p(-z)=\pm p(z)\) 在加法与数乘下保持(设 \(p,q\) 满足同一条件,则 \((p+q)(-z)=p(-z)+q(-z)=\pm(p(z)+q(z))\),数乘同理),且零多项式同时属于两者,故 \(U_e\) 与 \(U_o\) 都是子空间。断言: \[ \mathcal{P}(\mathbb{F})=U_e\oplus U_o. \] 一方面,每个 \(p\in\mathcal{P}(\mathbb{F})\) 都有分解 \[ p(z)=\underbrace{\frac{p(z)+p(-z)}{2}}_{\in\,U_e}+\underbrace{\frac{p(z)-p(-z)}{2}}_{\in\,U_o} \] (直接验证 \(p_e(-z)=p_e(z)\)、\(p_o(-z)=-p_o(z)\)),故 \(\mathcal{P}(\mathbb{F})=U_e+U_o\)。另一方面,分解唯一:若 \(p=e+o=e'+o'\),其中 \(e,e'\in U_e\)、\(o,o'\in U_o\),则 \(e-e'=o'-o\) 既是偶多项式又是奇多项式;而既偶又奇的多项式 \(q\) 满足 \(q(z)=q(-z)=-q(z)\),即 \(2q(z)=0\)。在 \(\mathbb{F}=\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\) 上这迫使 \(q=0\),于是 \(e=e'\)、\(o=o'\)。由定义 1.41,分解唯一,断言得证。前一小节"形如 \(a+bz^2\) 与 \(cz+dz^3\)"的例子,正是这里在 \(\mathcal{P}_3(\mathbb{F})\) 上的缩影。

在 \(\mathbb{R}^2\) 中取三条过原点的直线: \[ U_1=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\},\qquad U_2=\{(0,y):y\in\mathbb{R}\},\qquad U_3=\{(t,t):t\in\mathbb{R}\} \] (\(U_3\) 是第一、三象限的角平分线)。首先,由 \(U_1+U_2=\mathbb{R}^2\) 知 \(U_1+U_2+U_3=\mathbb{R}^2\)。然而这不是直和:零向量有非平凡分解 \[ (0,0)=(1,0)+(0,1)+(-1,-1), \qquad (1,0)\in U_1,\ (0,1)\in U_2,\ (-1,-1)\in U_3, \] 三个加项均不为零,而 \(0=0+0+0\) 是另一种分解,分解不唯一,故 \(\mathbb{R}^2\ne U_1\oplus U_2\oplus U_3\)。

另一个极端是让同一个子空间重复出现:取 \(U_1=U_2=U\)(任意非零子空间),则 \(U_1+U_2=U\),且对任何非零 \(u\in U\) 都有 \(0=u+(-u)\),零向量的分解同样不唯一。可见两条不同的过原点直线能直和成 \(\mathbb{R}^2\),但要么重复同一子空间、要么再添第三条直线,唯一性即遭破坏。图 2 直观对比了这两种情形。