基的定义
在 2.A 中我们研究了向量的两类列表:一类张成 (span) 整个空间,保证空间中的每个向量都能写成列表中向量的线性组合,即这个列表"够用";另一类线性无关 (linearly independent),即零向量只有平凡表示,保证列表中不含任何冗余成员。一个自然的愿望是两者兼得:列表既够用、又无冗余——小到恰好线性无关,大到恰好填满整个空间。这样的列表就是本节的主角。
\(V\) 的一个基是 \(V\) 中的一个线性无关且张成 \(V\) 的向量列表。
请注意两点。其一,按照 2.A 的约定,基是列表而不是集合:顺序被计入,坐标将按位置与基向量一一对应;同一个基向量重复出现两次的列表必然线性相关,因而不可能是基。其二,依照 2.A 中的约定,空列表 \( (\,) \) 线性无关且其张成为 \(\{0\}\),于是零空间 \(\{0\}\) 以空列表为基——这一约定将在 2.C 中使"维数"理论免于琐碎的例外。
还要强调:定义中的两个条件缺一不可,而且互相独立。一个列表可以张成 \(V\) 却因含冗余向量而线性相关,也可以线性无关却因"人手不足"而张不满 \(V\);下面的例子将同时展示这两种失效方式。
例子:标准基及其他
(a) 列表 \((1,0,\dots,0),(0,1,0,\dots,0),\dots,(0,\dots,0,1)\) 是 \(\mathbb{F}^n\) 的基,称为 \(\mathbb{F}^n\) 的标准基 (standard basis),记作 \(e_1,\dots,e_n\),其中 \(e_k\) 的第 \(k\) 个坐标为 \(1\)、其余坐标为 \(0\)。它显然张成 \(\mathbb{F}^n\),因为 \((x_1,\dots,x_n)=x_1e_1+\cdots+x_ne_n\);它也线性无关,因为上式中若右端为零向量,则每个 \(x_k=0\)。
(b) 列表 \((1,2),(3,5)\) 是 \(\mathbb{F}^2\) 的基。先验证线性无关:设 \(a(1,2)+b(3,5)=0\),即 \(a+3b=0\) 且 \(2a+5b=0\),由第一式得 \(a=-3b\),代入第二式得 \(-b=0\),于是 \(b=0\)、\(a=0\)。再验证张成:对任意 \((x,y)\in\mathbb{F}^2\),解同样的方程组得 \(a=3y-5x\)、\(b=2x-y\),于是 \[(x,y)=(3y-5x)(1,2)+(2x-y)(3,5),\] 故该列表张成 \(\mathbb{F}^2\)。请注意:这个基的长度是二,与标准基的长度相同——这并非巧合,2.C 将解释原因。
(c) 列表 \((1,2,-4),(11,-9,-16),(3,7,1)\) 是 \(\mathbb{R}^3\) 的基(此例沿袭原书第三版)。线性无关可直接消元验证:设 \(a(1,2,-4)+b(11,-9,-16)+c(3,7,1)=0\),由第三分量得 \(c=4a+16b\),代入前两个分量得 \(13a+59b=0\) 与 \(30a+103b=0\),联立解出 \(a=b=c=0\)。至于张成性,逐个向量解方程组的验证相当冗长;待到 2.C 学过维数理论后,只需检验线性无关即可(见 2.C 的定理 2.38)。这个例子提示我们:徒手验证"基"的两条定义可能代价高昂,而好的理论会大幅降低成本。
(d) 反面例子之一:只线性无关、不张成。列表 \((1,2,-4),(7,-5,6)\) 在 \(\mathbb{F}^3\) 中线性无关(两向量互非倍数),但它不张成 \(\mathbb{F}^3\),因而不是基——例如 \((0,0,1)\) 的第三个坐标无法由前两个向量的组合产生。同理,单独一个向量 \((1,0)\) 线性无关,却不张成 \(\mathbb{R}^2\),故不是 \(\mathbb{R}^2\) 的基。
(e) 反面例子之二:只张成、不线性无关。列表 \((1,2),(3,5),(4,13)\) 张成 \(\mathbb{F}^2\)(因为它的前两个向量已经张成 \(\mathbb{F}^2\)),但它线性相关: \[-19(1,2)+5(3,5)+(4,13)=(0,0),\] 故不是基。事实上,由 2.A 的定理 2.22(线性无关列表的长度不超过张成列表的长度),\(\mathbb{F}^2\) 中任何长度为三的列表都线性相关。
(f) 子空间也有自己的基:\((1,1,0),(0,0,1)\) 是子空间 \(U=\{(x,x,y)\in\mathbb{F}^3 : x,y\in\mathbb{F}\}\) 的基;\((1,-1,0),(1,0,-1)\) 是子空间 \(\{(x,y,z)\in\mathbb{F}^3 : x+y+z=0\}\) 的基。请读者自行验证两条定义都成立。
(g) 列表 \(1,z,\dots,z^m\) 是 \(\mathcal{P}_m(\mathbb{F})\) 的基,称为 \(\mathcal{P}_m(\mathbb{F})\) 的标准基。它张成 \(\mathcal{P}_m(\mathbb{F})\),因为多项式按定义就是这些单项式的线性组合;它线性无关,因为一个多项式作为函数恒等于零当且仅当其所有系数为零(见 2.A 例 2.16(b))。
除标准基外,\(\mathbb{F}^n\) 还有许许多多其他的基。例如在 \(\mathbb{F}^2\) 中,除 (b) 中的 \((1,2),(3,5)\) 外,\((7,5),(-4,9)\) 也是一组基。基的存在性与多样性引出两个方向相反的问题:手中已有的张成列表是否"含着"一组基?手中已有的线性无关列表是否"缺着"几向量而凑不成基?接下来两小节分别回答。
基的刻画:唯一的坐标表示
下面的定理解释了基为何如此有用:它把抽象的向量空间变成可以"按分量计算"的对象。
\(V\) 中向量列表 \(v_1,\dots,v_n\) 是 \(V\) 的基,当且仅当每个 \(v\in V\) 都能唯一地写成 \[v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n,\qquad a_1,\dots,a_n\in\mathbb{F}.\]
证明. 先设 \(v_1,\dots,v_n\) 是 \(V\) 的基。任取 \(v\in V\)。因为该列表张成 \(V\),故存在标量 \(a_1,\dots,a_n\) 使上式成立,这给出表示的存在性。为证唯一性,设另有标量 \(c_1,\dots,c_n\) 使 \(v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n\)。两式相减得 \[0=(a_1-c_1)v_1+\cdots+(a_n-c_n)v_n.\] 由线性无关,每个 \(a_k-c_k=0\),即 \(a_k=c_k\) 对所有 \(k\) 成立。故表示唯一,证明了“仅当”方向。
反过来,设每个 \(v\in V\) 都能唯一地写成上述形式。取 \(v\) 为任意向量便知列表张成 \(V\)。再取 \(v=0\):一方面 \(0=0v_1+\cdots+0v_n\),另一方面若 \(0=a_1v_1+\cdots+a_nv_n\),则由表示的唯一性立刻得到 \(a_1=\cdots=a_n=0\)。故列表线性无关,从而是 \(V\) 的基。证毕。
当 \(v_1,\dots,v_n\) 是 \(V\) 的基时,使 \(v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n\) 成立的标量 \(a_1,\dots,a_n\) 称为 \(v\) 关于这组基的坐标 (coordinates)。定理 2.28 表明,坐标由基唯一决定:只要基确定,谈论"向量 \(v\) 的坐标"便毫无歧义。例如在例 2.27(b) 的基 \((1,2),(3,5)\) 下,向量 \((7,9)\) 的坐标是 \((-8,5)\),因为 \((7,9)=-8(1,2)+5(3,5)\),且不可能有第二种表示。
坐标当然依赖于基的选取,而且基不必像标准基那样"横平竖直"。下图展示斜交基 \((1,0),(1,2)\) 生成的斜网格:它同样铺满平面,每个向量同样拥有唯一的"斜坐标"。
图 2 中的两条虚线路径正是定理 2.28 的几何注脚:坐标的存在性对应"总有一条路走到 \(v\)",坐标的唯一性对应"任何走法折成的平行四边形都以同两条边为邻边"。线性无关排除的,正是网格退化(两基向量共线、铺不满平面)的情形;张成性排除的,则是网格"够不着"某些向量的情形。
张成列表的缩减与基的存在性
张成列表可能因线性相关而不成其为基。下面的定理说,任何张成列表都含有一组基:只要删去其中的冗余向量(可能一个也不必删),剩下的列表便既线性无关又仍张成全空间。
向量空间中的每个张成列表都可以缩减为该空间的一组基。
证明. 设 \(v_1,\dots,v_n\) 张成 \(V\),我们通过下述多步程序删去其中一些向量,使剩余列表构成 \(V\) 的基。初始时令列表 \(B\) 为 \(v_1,\dots,v_n\)。
第 1 步. 若 \(v_1=0\),则从 \(B\) 中删去 \(v_1\);若 \(v_1\neq 0\),则保持 \(B\) 不变。
第 \(k\) 步(\(k=2,\dots,n\)). 若 \(v_k\in \operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-1})\),则从 \(B\) 中删去 \(v_k\);若 \(v_k\notin \operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-1})\),则保持 \(B\) 不变。
第 \(n\) 步结束后得到列表 \(B\)。一方面,\(B\) 仍张成 \(V\):原列表张成 \(V\),而每个被删去的向量都属于其前面向量的张成;对被删向量的下标作归纳即知,被删去的向量都属于 \(B\) 中向量的张成,故从张成集中去掉它们不损失任何向量。另一方面,程序保证了 \(B\) 中每个向量都不在 \(B\) 中排在它之前的向量的张成之中(保留 \(v_k\) 时它不属于 \(\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-1})\),而 \(B\) 中位于 \(v_k\) 之前的向量只是 \(v_1,\dots,v_{k-1}\) 中的一部分)。若 \(B\) 线性相关,则由线性相关引理(2.19),\(B\) 中必有某个向量落在其前面向量的张成中,与上一句矛盾。故 \(B\) 线性无关,从而是 \(V\) 的基。证毕。
作为演示,对 \(\mathbb{F}^2\) 的张成列表 \((1,2),(2,4),(3,5),(5,9)\) 施行上述程序:保留 \((1,2)\);因 \((2,4)=2(1,2)\) 落在 \(\operatorname{span}((1,2))\) 中,删去;保留 \((3,5)\);因 \((5,9)=2(1,2)+1(3,5)\) 落在 \(\operatorname{span}((1,2),(3,5))\) 中,删去。最终得到 \((1,2),(3,5)\),它是 \(\mathbb{F}^2\) 的基——恰为例 2.27(b) 中的那组。
每个有限维向量空间都有基。
证明. 由定义 2.9,有限维向量空间拥有某个张成列表;由定理 2.30,该列表可缩减为基。证毕。
线性无关列表的扩充与直和分解
定理 2.30 说的是"多余的可以删";下一个定理是它某种意义上的对偶:"不够的可以补"。在有限维空间中,任何线性无关列表都可以添上若干新向量(允许一个也不添),扩充为一组基。
有限维向量空间中的每个线性无关向量列表都可以扩充为该空间的一组基。
证明. 设 \(u_1,\dots,u_m\) 是有限维空间 \(V\) 中的线性无关列表。由定义 2.9,可取 \(V\) 的一个张成列表 \(w_1,\dots,w_n\)。于是拼接起来的列表 \[u_1,\dots,u_m,w_1,\dots,w_n\] 也张成 \(V\)。对它施行定理 2.30 证明中的缩减程序:程序按原顺序逐个检查,处理到某个 \(u_k\) 时,排在它前面的恰好是 \(u_1,\dots,u_{k-1}\);由于 \(u_1,\dots,u_m\) 线性无关,\(u_k\notin\operatorname{span}(u_1,\dots,u_{k-1})\)——否则把 \(u_k\) 移到等式另一端便得到零向量的非平凡表示。因此没有一个 \(u_k\) 被删去,被删去的只是某些 \(w_j\)。程序输出的是 \(V\) 的一组基,且由全部 \(u_1,\dots,u_m\) 和一部分 \(w\) 组成,即它是以 \(u_1,\dots,u_m\) 开头的基。证毕。
例如在 \(\mathbb{F}^3\) 中从线性无关列表 \((2,3,4),(9,6,8)\) 出发,取 \(w_1,w_2,w_3\) 为标准基并对拼接列表 \((2,3,4),(9,6,8),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\) 施行程序,得到的基是 \[(2,3,4),(9,6,8),(0,1,0).\] 作为这条定理的应用,我们证明:每个子空间都能与一个"搭档"子空间互补,拼成整个空间的直和。
设 \(V\) 有限维,\(U\) 是 \(V\) 的子空间。则存在 \(V\) 的子空间 \(W\) 使 \[V=U\oplus W.\]
证明. 因为 \(V\) 有限维,由 2.A 的定理 2.25,\(U\) 也有限维;由推论 2.31,\(U\) 有基 \(u_1,\dots,u_m\)。当然,\(u_1,\dots,u_m\) 作为 \(V\) 中的列表仍线性无关,故由定理 2.32 可将其扩充为 \(V\) 的基 \[u_1,\dots,u_m,w_1,\dots,w_n.\] 令 \(W=\operatorname{span}(w_1,\dots,w_n)\)。由 1.C 的定理 1.46,要证 \(V=U\oplus W\),只需证明 \(V=U+W\) 且 \(U\cap W=\{0\}\)。
先证 \(V=U+W\)。设 \(v\in V\)。因上述列表张成 \(V\),存在标量使 \[v=\underbrace{a_1u_1+\cdots+a_mu_m}_{\in\,U}+\underbrace{b_1w_1+\cdots+b_nw_n}_{\in\,W},\] 即 \(v\) 是 \(U\) 中向量与 \(W\) 中向量之和,故 \(v\in U+W\)。
再证 \(U\cap W=\{0\}\)。设 \(v\in U\cap W\),则存在标量使 \[v=a_1u_1+\cdots+a_mu_m=b_1w_1+\cdots+b_nw_n,\] 移项得 \[a_1u_1+\cdots+a_mu_m-b_1w_1-\cdots-b_nw_n=0.\] 由基的线性无关性,所有 \(a\) 与 \(b\) 均为零,于是 \(v=0\)。证毕。
满足 \(V=U\oplus W\) 的子空间 \(W\) 称为 \(U\) 在 \(V\) 中的一个补空间 (complement)。需要警惕的是,补空间一般并不唯一:同一个 \(U\) 可以有许多不同的"搭档"(见练习 5)。直和的意义在于分解的唯一性——\(V\) 中每个向量写成 \(U\) 中向量与 \(W\) 中向量之和的方式只有一种——而不是搭档本身的唯一性。
视角小结与下一节预告
现在可以给"基"一个整体的评价:基就是空间的高效坐标系。张成性保证坐标"人人有份",线性无关性保证坐标"份份唯一";二者合并,恰是"不多不少、刚好够用"。换一个角度看:一组基既是张成 \(V\) 的列表中"最小的"(再删一个就张不满),又是 \(V\) 中线性无关列表中"最大的"(再加一个就线性相关)。定理 2.30 与定理 2.32 正是从这两个方向保证这样的"临界列表"一定存在。
定理 2.28 则揭示了基的代数功能:唯一坐标把抽象的向量代数化。一旦选定基 \(v_1,\dots,v_n\),每个向量 \(v\) 就获得确定的坐标 \((a_1,\dots,a_n)\),向量的加法与数乘化作坐标的逐分量运算,抽象空间在书面上与 \(\mathbb{F}^n\) 难以区分。这一思想将在第 3 章开花结果:线性映射在基之下变成矩阵,而"按基分解"正是线性映射可被其基上取值完全确定的原因。
最后,遗留了一个悬而未决的问题。我们已经看到 \(\mathbb{F}^2\) 有许多不同的基——标准基、\((1,2),(3,5)\)、\((7,5),(-4,9)\)、\((2,3),(5,7)\)(见练习 1)——而它们的长度清一色是二;例 2.27(b) 与 (g) 中各基的长度也与相应标准基一致。这是巧合吗?\(\mathbb{R}^2\) 会不会同时拥有长度为二与长度为三的基?若不同基的长度可以不同,那么"用基的长度度量空间"便是妄想。幸运的是,答案是否定的:2.C 的第一个定理(2.34)将证明同一有限维空间的任意两组基长度相同,从而基的长度是空间自身的不变量——这就是维数 (dimension)。到那时,回看本节例 (c) 中繁琐的验证,便只需一步:三个线性无关向量、长度恰为 \(\dim\mathbb{R}^3\),故已是基。
练习
练习 2.B-1
证明列表 \((2,3),(5,7)\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 的基,并求任意向量 \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) 关于此基的坐标。
解答/提示设 \(a(2,3)+b(5,7)=(x,y)\),即 \(2a+5b=x\)、\(3a+7b=y\)。取 \(x=y=0\) 解得 \(a=b=0\),故线性无关;对一般 \((x,y)\) 解得 \(a=5y-7x\)、\(b=3x-2y\),故张成。因此它是基,且 \((x,y)=(5y-7x)(2,3)+(3x-2y)(5,7)\)。注意它的长度也是二——又一次与标准基等长,这正是 2.C 要解释的现象。
练习 2.B-2
证明:任何包含 \(0\) 向量的列表都不是 \(V\) 的基。由此说明基中不可能出现重复的向量。
解答/提示设列表为 \(v_1,\dots,v_m\) 且 \(v_1=0\),则 \(1\cdot v_1+0\cdot v_2+\cdots+0\cdot v_m=0\) 是零向量的非平凡表示,故列表线性相关,不满足基的定义。若列表中有重复向量 \(v_i=v_j\)(\(i<j\)),则 \(v_i-v_j=0\) 给出非平凡表示,同理线性相关;亦可由 2.A 例 2.18 直接得出。
练习 2.B-3
证明列表 \(1,\;1+z,\;1+z+z^2\) 是 \(\mathcal{P}_2(\mathbb{F})\) 的基。
解答/提示线性无关:设 \(a+b(1+z)+c(1+z+z^2)=0\),按 \(1,z,z^2\) 收集系数得 \((a+b+c)+(b+c)z+cz^2=0\),故 \(c=0\),进而 \(b=0\)、\(a=0\)。张成:对任意 \(p=\alpha+\beta z+\gamma z^2\),取 \(c=\gamma\)、\(b=\beta-\gamma\)、\(a=\alpha-\beta\),即得 \(p=a\cdot 1+b(1+z)+c(1+z+z^2)\)。两条定义皆满足,故为基。事实上它相当于对标准基做了一个"可逆的重组"。
练习 2.B-4
设 \(v_1,\dots,v_n\) 是 \(V\) 的基。证明列表 \[v_1+v_2,\;v_2+v_3,\;\dots,\;v_{n-1}+v_n,\;v_n\] 也是 \(V\) 的基。
解答/提示记新列表为 \(w_1,\dots,w_n\),其中 \(w_k=v_k+v_{k+1}\)(\(k<n\))、\(w_n=v_n\)。张成:由 \(w_n\) 得 \(v_n=w_n\);由 \(v_{n-1}=w_{n-1}-v_n=w_{n-1}-w_n\);依次回代得每个 \(v_k\) 都是 \(w\) 的组合,故新列表张成 \(V\)。线性无关:设 \(\sum_{k=1}^n a_kw_k=0\),按 \(v\) 收集系数得 \(a_1v_1+(a_1+a_2)v_2+\cdots+(a_{n-1}+a_n)v_n=0\);由 \(v_1,\dots,v_n\) 线性无关得 \(a_1=0\)、\(a_1+a_2=0\)、……、\(a_{n-1}+a_n=0\),逐个解出全部 \(a_k=0\)。故新列表是基(这里直接验证了两条定义,不依赖 2.C)。
练习 2.B-5
设 \(U=\{(x,0) : x\in\mathbb{R}\}\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 的子空间。求两个不同的子空间 \(W_1\neq W_2\),都满足 \(\mathbb{R}^2=U\oplus W_i\)。由此说明推论 2.33 中的补空间不必唯一。
解答/提示取 \(W_1=\{(0,y):y\in\mathbb{R}\}\)、\(W_2=\operatorname{span}((1,1))\)。二者显然不相等。验证直和:任意 \((x,y)=(x,0)+(0,y)\) 给出 \(\mathbb{R}^2=U+W_1\),且 \(U\cap W_1=\{(0,0)\}\);又 \((x,y)=(x-y)(1,0)+y(1,1)\) 给出 \(\mathbb{R}^2=U+W_2\),若 \((t,t)\in U\) 则 \(t=0\),故 \(U\cap W_2=\{(0,0)\}\)。由定理 1.46,两个分解都是直和。可见同一子空间可以有多个补空间,但每个直和分解中向量的写法仍是唯一的。
练习 2.B-6
对 \(\mathbb{R}^3\) 的张成列表 \((1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1),(1,1,1)\) 施行定理 2.30 证明中的缩减程序,写出每一步的判断,并指出最终得到的基。
解答/提示保留 \((1,0,0)\)(非零);\((0,1,0)\notin\operatorname{span}((1,0,0))\),保留;\((1,1,0)=(1,0,0)+(0,1,0)\) 落在前面向量的张成中,删去;\((0,0,1)\notin\operatorname{span}((1,0,0),(0,1,0))\),保留;\((1,1,1)=(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)\),删去。最终得到基 \((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\),恰为标准基。