引言:线性代数的真正主角
在前两章里,我们研究的是单个向量空间内部的构造:子空间、张成、线性无关、基与维数。然而,一个孤立地看的向量空间其实是相当乏味的对象——一旦维数确定,任何 \(n\) 维向量空间本质上都长成 \(\mathbb{F}^{n}\) 的模样,再没有更多的新鲜事可言。真正使线性代数成为一门深刻而有用学科的,是向量空间之间的联系,尤其是那些同时尊重加法与数乘的映射,即线性映射 (linear map)。可以毫不夸张地说:本书余下的几乎全部内容——矩阵、特征值、内积空间上的算子、谱定理——研究的都是线性映射的各种性质。
从本章起,我们将频繁地同时使用三个向量空间 \(U, V, W\),如无特别说明,它们都定义在同一个数域 \(\mathbb{F}\)(即 \(\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\))上。本节的任务有三个:第一,给线性映射下一个正式的定义,并盘点一批有代表性的例子;第二,证明一个极其根本的事实——线性映射由它在基上的取值完全决定(引理 3.4);第三,把全体线性映射装配成一个向量空间 \(\mathcal{L}(V,W)\),并在其上引入加法、数乘与乘法运算,考察这些运算的代数规律。
线性映射的定义(定义 3.1、记号 3.2)
设 \(V\) 与 \(W\) 都是数域 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间。称映射 \(T\colon V\to W\) 为 线性映射,如果它同时满足以下两条性质:
- 加性 (additivity):对一切 \(u, v\in V\),有 \(T(u+v)=Tu+Tv\);
- 齐次性 (homogeneity):对一切 \(\lambda\in\mathbb{F}\) 与 \(v\in V\),有 \(T(\lambda v)=\lambda(Tv)\)。
为书写简洁,我们把 \(T(v)\) 简记作 \(Tv\)。有些教材把线性映射称为线性变换 (linear transformation);当映射的目标空间就是其出发空间(即 \(T\colon V\to V\))时,也常称之为线性算子。
把加性与齐次性合起来(并用归纳法推广)可知:线性映射恰好保持一切线性组合,
\[ T(a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n})=a_{1}\,Tv_{1}+\cdots+a_{n}\,Tv_{n},\qquad a_{k}\in\mathbb{F},\ v_{k}\in V. \]这正是“线性”二字的含义:向量空间中只有加法与数乘两种运算,而 \(T\) 与它们完全相容。几何上,加性对应“保持平行四边形结构”,齐次性对应“保持关于原点的伸缩”。
用 \(\mathcal{L}(V,W)\) 表示从 \(V\) 到 \(W\) 的全体线性映射构成的集合;当 \(V=W\) 时,将其简记为 \(\mathcal{L}(V)\)。
例 3.3:形形色色的线性映射
下列映射都是线性映射,请读者逐条对照定义 3.1 验证其加性与齐次性。
- 零映射. \(0\in\mathcal{L}(V,W)\):对一切 \(v\in V\),规定 \(0v=0\)。注意此式左端的 \(0\) 是映射,右端的 \(0\) 是 \(W\) 中的零向量;加性与齐次性显然成立。
- 恒等映射 (identity map). \(I\in\mathcal{L}(V)\):对一切 \(v\in V\),规定 \(Iv=v\)。恒等映射显然线性。
- 微分算子. \(D\in\mathcal{L}\bigl(\mathcal{P}(\mathbb{R})\bigr)\):\(Dp=p'\)。求导法则 \((p+q)'=p'+q'\) 与 \((\lambda p)'=\lambda p'\) 恰好说明 \(D\) 满足加性与齐次性。
- 积分. \(T\in\mathcal{L}\bigl(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\mathbb{R}\bigr)\):\(Tp=\int_{0}^{1}p(x)\,dx\)。积分的线性性即 \(T\) 的线性性。
- 乘以 \(x^{2}\). \(T\in\mathcal{L}\bigl(\mathcal{P}(\mathbb{R})\bigr)\):\((Tp)(x)=x^{2}p(x)\)。
- 后向移位 (backward shift). 设 \(\mathbb{F}^{\infty}\) 为 \(\mathbb{F}\) 中全体无穷序列构成的向量空间。定义 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^{\infty})\): \[ T(x_{1},x_{2},x_{3},\dots)=(x_{2},x_{3},x_{4},\dots), \] 即把每个序列向左挪一位、丢弃第一个分量。
- 一个从 \(\mathbb{F}^{3}\) 到 \(\mathbb{F}^{2}\) 的例子. \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^{3},\mathbb{F}^{2})\): \[ T(x,y,z)=(2x-y+3z,\;7x+5y-6z). \]
- \(\mathbb{F}^{n}\to\mathbb{F}^{m}\) 的一般形式. 取定诸数 \(A_{jk}\in\mathbb{F}\)(\(1\le j\le m\),\(1\le k\le n\)),定义 \[ T(x_{1},\dots,x_{n})=\Bigl(\textstyle\sum_{k=1}^{n}A_{1k}x_{k},\ \dots,\ \sum_{k=1}^{n}A_{mk}x_{k}\Bigr). \] 逐分量验证可知 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^{n},\mathbb{F}^{m})\)。反过来,每一个线性映射 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^{n},\mathbb{F}^{m})\) 都具有这种形式(见练习 2):把数表 \((A_{jk})\) 逐列取作 \(Te_{k}\) 的坐标即可。这张 \(m\times n\) 的数表正是“矩阵”概念的雏形。
- 与固定多项式的复合. 取定 \(q\in\mathcal{P}(\mathbb{R})\),定义 \(T\in\mathcal{L}\bigl(\mathcal{P}(\mathbb{R})\bigr)\):\(Tp=p\circ q\),即 \((Tp)(x)=p\bigl(q(x)\bigr)\)。由于对每个固定的 \(x\),赋值 \(p\mapsto p(q(x))\) 是线性运算,故 \((p_{1}+\lambda p_{2})\circ q=p_{1}\circ q+\lambda\,(p_{2}\circ q)\),从而 \(T\) 线性。
这些例子横跨几何(例 7、例 8)、分析(微分与积分)与代数(多项式复合),由此可见“线性映射”这一概念的普适性:只要一个场合里存在加法与数乘,线性映射就会出现。
引理 3.4:基上的取值决定一切
设 \(v_{1},\dots,v_{n}\) 是 \(V\) 的一组基,任取 \(w_{1},\dots,w_{n}\in W\)。则存在唯一的线性映射 \(T\colon V\to W\),使得对每个 \(k=1,\dots,n\) 都有 \[ Tv_{k}=w_{k}. \]
证明. 先证存在性。设 \(v\in V\)。因为 \(v_{1},\dots,v_{n}\) 是 \(V\) 的基,\(v\) 可以写成基向量的线性组合 \[ v=a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n}; \] 又因基是线性无关的,这组系数 \(a_{1},\dots,a_{n}\) 由 \(v\) 唯一确定。于是可以无歧义地定义 \[ Tv=a_{1}w_{1}+\cdots+a_{n}w_{n}. \] 取 \(v=v_{k}\)(即 \(a_{k}=1\),其余系数全为 0),便得 \(Tv_{k}=w_{k}\)。再验证 \(T\) 线性:设 \(u=b_{1}v_{1}+\cdots+b_{n}v_{n}\),\(v=c_{1}v_{1}+\cdots+c_{n}v_{n}\),\(\lambda\in\mathbb{F}\)。按向量空间的公理, \[ u+v=(b_{1}+c_{1})v_{1}+\cdots+(b_{n}+c_{n})v_{n},\qquad \lambda v=(\lambda c_{1})v_{1}+\cdots+(\lambda c_{n})v_{n}. \] 从而依 \(T\) 的定义, \[ T(u+v)=(b_{1}+c_{1})w_{1}+\cdots+(b_{n}+c_{n})w_{n}=(b_{1}w_{1}+\cdots+b_{n}w_{n})+(c_{1}w_{1}+\cdots+c_{n}w_{n})=Tu+Tv, \] 同理 \(T(\lambda v)=\lambda(Tv)\)。故 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\)。
再证唯一性。设 \(S\in\mathcal{L}(V,W)\) 也满足 \(Sv_{k}=w_{k}\)(\(k=1,\dots,n\))。对任意 \(v=a_{1}v_{1}+\cdots+a_{n}v_{n}\in V\),反复使用 \(S\) 的齐次性与加性,得 \[ Sv=a_{1}Sv_{1}+\cdots+a_{n}Sv_{n}=a_{1}w_{1}+\cdots+a_{n}w_{n}=Tv. \] 由于 \(v\) 任意,\(S=T\)。
引理 3.4 常被概括成一句话:线性映射由它在基上的取值完全决定。要在 \(n\) 维空间 \(V\) 上指定一个线性映射,只需随心所欲地指定 \(n\) 个像向量 \(w_{1},\dots,w_{n}\in W\),其余一切取值都被线性性强行确定,没有任何可供发挥的余地。例如在 \(\mathbb{F}^{2}\) 上,一旦规定了 \(T(1,0)\) 与 \(T(0,1)\),整个 \(T\) 便已注定;例 3.3(8) 中“数表 \((A_{jk})\) 完全刻画 \(T\)”正是本引理在 \(V=\mathbb{F}^{n}\)、\(W=\mathbb{F}^{m}\) 情形的具体化。这一引理也是 3.D 节“线性映射与矩阵一一对应”的地基,并解释了为何有限维空间之间的线性映射可以只用有限多个数来描述。
\(\mathcal{L}(V,W)\) 是向量空间(定义 3.5、定理 3.6)
既然线性映射如此重要,我们自然要问:全体线性映射构成的集合 \(\mathcal{L}(V,W)\) 本身有什么结构?答案是:它也是一个向量空间。
设 \(S, T\in\mathcal{L}(V,W)\),\(\lambda\in\mathbb{F}\)。定义和 \(S+T\) 与数乘 \(\lambda T\) 为逐点运算: \[ (S+T)(u)=Su+Tu,\qquad (\lambda T)(u)=\lambda(Tu)\qquad(u\in V). \]
按照定义 3.5 的加法与数乘,\(\mathcal{L}(V,W)\) 是一个向量空间。
证明概述. 首先要确认两种运算的结果仍是线性映射,即 \(\mathcal{L}(V,W)\) 对加法与数乘封闭。以 \(S+T\) 为例,对 \(u,v\in V\) 与 \(\lambda\in\mathbb{F}\), \[ (S+T)(u+v)=S(u+v)+T(u+v)=(Su+Sv)+(Tu+Tv)=(S+T)u+(S+T)v, \] \[ (S+T)(\lambda u)=S(\lambda u)+T(\lambda u)=\lambda(Su)+\lambda(Tv)=\lambda\bigl((S+T)u\bigr), \] 其中第二个式子末步用了 \(W\) 中数乘对加法的分配律;齐次性同理可验,故 \(S+T\in\mathcal{L}(V,W)\),\(\lambda T\in\mathcal{L}(V,W)\) 同理。至于向量空间的各条公理——加法交换律、结合律、零元(即例 3.3(1) 的零映射)、负元(\(-T=(-1)T\))、数乘的诸分配律——都可由 \(W\) 中的相应公理逐点推出。
举一个具体例子:在 \(\mathcal{P}(\mathbb{R})\) 上,把例 3.3(3) 的求导算子 \(D\) 与例 3.3(5) 的“乘以 \(x^{2}\)”算子 \(M\) 相加,得到 \((D+M)p=p'+x^{2}p\),它仍是 \(\mathcal{P}(\mathbb{R})\) 上的线性映射。换句话说,线性映射的“和”与“倍数”都是新的线性映射——这正是定理 3.6 的内容。
线性映射的乘积(定义 3.7、定理 3.8、例 3.9)
设 \(T\in\mathcal{L}(U,V)\),\(S\in\mathcal{L}(V,W)\)。定义其乘积 \(ST\in\mathcal{L}(U,W)\) 为复合映射: \[ (ST)(u)=S(Tu),\qquad u\in U. \] 请注意运算顺序:记号 \(ST\) 表示先作用 \(T\),再作用 \(S\),与书写顺序相反——这与函数复合 \((f\circ g)(x)=f(g(x))\) 中“右边的先作用”的习惯一致。\(ST\) 确实是线性映射,因为对 \(u,v\in U\)、\(\lambda\in\mathbb{F}\), \[ (ST)(u+v)=S\bigl(T(u+v)\bigr)=S(Tu+Tv)=S(Tu)+S(Tv)=(ST)u+(ST)v, \] 齐次性同理。特别地,\(\mathcal{L}(V)\) 中任意两个元素可以相乘,乘积仍属于 \(\mathcal{L}(V)\);结合律(见下)还保证幂 \(T^{2}=TT\)、\(T^{3}=TTT\) 等记号毫无歧义,这为将来对算子做“多项式演算”埋下伏笔。
设下列各等式中的线性映射均有意义(例如 \(T_{1}\in\mathcal{L}(V,U')\)、\(T_{2}\in\mathcal{L}(W,V)\)、\(T_{3}\in\mathcal{L}(U,W)\)、\(S_{1},S_{2}\in\mathcal{L}(V,W)\)、\(T\in\mathcal{L}(U,V)\) 等)。则:
- 结合律:\((T_{1}T_{2})T_{3}=T_{1}(T_{2}T_{3})\);
- 恒等元:\(TI=IT=T\),其中两个 \(I\) 分别是 \(V\) 上与 \(W\) 上的恒等映射;
- 分配律:\((S_{1}+S_{2})T=S_{1}T+S_{2}T\),且 \(S(T_{1}+T_{2})=ST_{1}+ST_{2}\)。
证明概述. 各式都在任意向量处取值后归结为已知事实。以结合律为例,对任意 \(u\), \[ \bigl((T_{1}T_{2})T_{3}\bigr)(u)=(T_{1}T_{2})(T_{3}u)=T_{1}\bigl(T_{2}(T_{3}u)\bigr)=T_{1}\bigl((T_{2}T_{3})u\bigr)=\bigl(T_{1}(T_{2}T_{3})\bigr)(u), \] 中间仅用到映射复合的结合性。再看右分配律:对任意 \(u\), \[ \bigl(S(T_{1}+T_{2})\bigr)(u)=S\bigl((T_{1}+T_{2})u\bigr)=S(T_{1}u+T_{2}u)=S(T_{1}u)+S(T_{2}u)=(ST_{1})u+(ST_{2})u, \] 其余各式同理逐点验证。
需要格外警惕的是,乘法一般不交换:即使 \(ST\) 与 \(TS\) 都有定义,两者也可能不相等。数的运算经验在这里部分失效,必须逐字核对顺序。
在 \(\mathcal{P}(\mathbb{R})\) 上,设 \(D\) 是求导算子(例 3.3(3)),\(T\) 是“乘以 \(x^{2}\)”的算子(例 3.3(5)),即 \((Tp)(x)=x^{2}p(x)\)。则对任意 \(p\in\mathcal{P}(\mathbb{R})\), \[ (TD)p=T(p')=x^{2}p'(x),\qquad (DT)p=D(x^{2}p)=x^{2}p'(x)+2x\,p(x), \] 其中第二个等号用了乘积法则。两式相差 \(2xp\),故 \(TD\ne DT\);取常值多项式 \(p=1\) 立见分歧:\((TD)1=0\),而 \((DT)1=2x\)。微分与乘法交换子的这一“缺陷”,正是后续量子力学中正则对易关系 \(\bigl[\tfrac{d}{dx},\,x\bigr]=1\) 的多项式版本。
命题 3.10:线性映射把 0 映到 0
设 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\),则 \(T(0)=0\)。此处等式左端的 \(0\) 是 \(V\) 的零向量,右端的 \(0\) 是 \(W\) 的零向量。
证明. \(V\) 的零向量满足 \(0=0+0\)。由 \(T\) 的加性, \[ T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0). \] 给上式两端同时加上 \(T(0)\) 的负元 \(-T(0)\),得 \[ 0=T(0). \]
(也可改用齐次性一行完成:\(T(0)=T(0\cdot 0)=0\cdot(T0)=0\),其中 \(0\cdot 0=0\) 用到“数量 0 乘任何向量得零向量”。)
(1) 命题 3.10 的逆命题不成立:把 0 映到 0 的映射未必线性。例如 \(x\mapsto x^{2}\) 把 \(0\) 映到 \(0\),却不满足加性(见练习 5)。(2) 中学里的一次函数 \(f(x)=mx+b\) 只要 \(b\ne 0\) 就不是线性映射:因为 \(f(0)=b\ne 0\),与命题 3.10 抵触;这类“线性加平移”的映射称为仿射映射 (affine map)。仅当 \(b=0\) 时,\(f(x)=mx\) 才是 \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) 的线性映射。(3) 该命题提供了一个判断非线性的快捷手段:一旦发现某映射不保持原点,便可立即断定它非线性。
至此,线性代数的舞台已经搭好:\(\mathcal{L}(V,W)\) 本身是向量空间,其上还带有(不交换的)乘法,并且有引理 3.4 这台“发动机”源源不断地产生例子。下一节 3.B 将引入与每个线性映射相伴的两个子空间——零空间与值域,并由此导出线性代数中最基本的计数结果:维数公式。
练习
练习 3.A-1
设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{3})\) 满足 \(T(1,2)=(1,0,-1)\) 与 \(T(2,3)=(0,1,1)\)。求 \(T(5,8)\)。(提示:\((1,2)\) 与 \((2,3)\) 构成 \(\mathbb{R}^{2}\) 的基。)
解答/提示因为 \(\det\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}=3-4=-1\ne 0\),向量组 \((1,2),(2,3)\) 线性无关,从而是 \(\mathbb{R}^{2}\) 的基。解线性方程组可得 \[ (5,8)=1\cdot(1,2)+2\cdot(2,3). \] 由 \(T\) 的线性性(引理 3.4 保证这样的 \(T\) 存在且唯一), \[ T(5,8)=1\cdot T(1,2)+2\cdot T(2,3)=(1,0,-1)+2(0,1,1)=(1,2,1). \]
练习 3.A-2
证明:每个线性映射 \(T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^{n},\mathbb{F}^{m})\) 都具有例 3.3(8) 中的形式,即存在诸数 \(A_{jk}\in\mathbb{F}\)(\(1\le j\le m\),\(1\le k\le n\)),使得对一切 \(x=(x_{1},\dots,x_{n})\in\mathbb{F}^{n}\) 有 \[ Tx=\Bigl(\textstyle\sum_{k=1}^{n}A_{1k}x_{k},\ \dots,\ \sum_{k=1}^{n}A_{mk}x_{k}\Bigr). \]
解答/提示设 \(e_{1},\dots,e_{n}\) 是 \(\mathbb{F}^{n}\) 的标准基,令 \(A_{jk}\) 为向量 \(Te_{k}\) 的第 \(j\) 个分量。任意 \(x\in\mathbb{F}^{n}\) 可写成 \(x=x_{1}e_{1}+\cdots+x_{n}e_{n}\),由 \(T\) 的线性性, \[ Tx=\sum_{k=1}^{n}x_{k}\,Te_{k}, \] 其第 \(j\) 个分量为 \(\sum_{k=1}^{n}x_{k}A_{jk}\),此即所要的形式。证毕。
练习 3.A-3
设 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\)。证明:对一切 \(v\in V\) 有 \(T(-v)=-Tv\);并由此推出 \(T(u-v)=Tu-Tv\) 对一切 \(u,v\in V\) 成立。
解答/提示因 \(-v=(-1)v\),由齐次性 \[ T(-v)=T\bigl((-1)v\bigr)=(-1)(Tv)=-Tv. \] 再由加性,\(T(u-v)=T\bigl(u+(-v)\bigr)=Tu+T(-v)=Tu-Tv\)。可见线性映射不仅保持加法,也保持减法。
练习 3.A-4
设 \(S,T\in\mathcal{L}(V)\)。利用定理 3.8 证明 \[ (S+T)^{2}=S^{2}+ST+TS+T^{2}; \] 再举例说明当 \(ST\ne TS\) 时,上式右端一般不能写成 \(S^{2}+2ST+T^{2}\)。
解答/提示由定理 3.8 的两条分配律, \[ (S+T)^{2}=(S+T)(S+T)=S(S+T)+T(S+T)=S^{2}+ST+TS+T^{2}. \] 取 \(S\) 为“乘以 \(x^{2}\)”、\(T\) 为求导算子 \(D\)(例 3.9):则 \((ST)p=x^{2}p'\),\((TS)p=x^{2}p'+2xp\)。于是 \((ST+TS)p=2x^{2}p'+2xp\),而 \(2(ST)p=2x^{2}p'\);取常值多项式 \(p=1\),前者等于 \(2x\),后者等于 \(0\),故 \(ST+TS\ne 2ST\),中间两项不能合并。
练习 3.A-5
(a) 举出一个映射 \(T\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\),它满足 \(T(0)=0\) 但不是线性映射。(b) 中学所学的一次函数 \(f(x)=mx+b\) 在什么条件下是线性映射?
解答/提示(a) 取 \(T(x)=x^{2}\),则 \(T(0)=0\);但 \(T(1+1)=4\ne 2=1+1=T(1)+T(1)\),加性不成立,故 \(T\) 非线性。(取 \(T(x)=|x|\) 或 \(\sin x\) 亦可。)这说明命题 3.10 只是必要条件。(b) 若 \(f\) 线性,则由命题 3.10 必须 \(f(0)=b=0\);反之当 \(b=0\) 时 \(f(x)=mx\),显然满足加性与齐次性。故当且仅当 \(b=0\) 时,一次函数才是线性映射。