编号说明:本节条目编号沿用原书第四版 5.E(定义 5.71、例 5.72 与 5.79、命题 5.74–5.76、定理 5.78、5.80、5.81)。引用前几节结果时同样标注原书编号(如 5.19、5.41、5.52、5.55、5.62、5.65)并注明所属小节;本站前几页的局部编号与原书可能略有出入,请以主题对应。如无特别声明,\(V\) 是有限维非零向量空间,\(S,T\in\mathcal{L}(V)\)。
交换算子的定义与交换的来源
本章至此回答的都是"一个算子长什么样":它有哪些不变子空间(5.A),被哪个多项式零化(5.B),能否上三角化(5.C),能否对角化(5.D)。一个自然得多的问题是:两个算子何时能"分享"同一套结构——同一组特征向量、同一条不变子空间链?本章最后一节给出的答案出人意料地简洁:关键条件恰恰是复合次序无关。
设 \(S,T\in\mathcal{L}(V)\)。若 \(ST=TS\),则称 \(S\) 与 \(T\) 交换 (commute)。类似地,两个同阶方阵 \(A,B\) 在 \(AB=BA\) 时称为交换的矩阵。
先把交换算子的三个"免检"来源列出来,它们在本章与前几章反复出现:
其一,\(I\) 与 \(0\) 同每个算子交换:\(SI=IS=S\)、\(S0=0S=0\) 对一切 \(S\) 成立。其二,每个算子与自己的幂交换:\(T\cdot T^k=T^{k+1}=T^k\cdot T\)。其三——这是最重要的一条——同一算子的多项式彼此交换:回顾 5.A 的命题 5.17(b),对任意 \(p,q\in\mathcal{P}(\mathbb{F})\),
\[ p(T)\,q(T)=(pq)(T)=q(T)\,p(T). \]原因是展开后两边都等于 \(\sum_{j,k}a_jc_kT^{j+k}\),而 \(T^jT^k=T^kT^j\)。换言之,集合 \(\{p(T):p\in\mathcal{P}(\mathbb{F})\}\) 中任何两个元素互相交换;它还明显对加法、标量乘法与复合封闭,构成一个交换代数,本节末尾将回到这个视角。
设 \(V\) 有限维。则 \(S,T\in\mathcal{L}(V)\) 交换,当且仅当关于 \(V\) 的某组基(等价地,任意基),矩阵 \(\mathcal{M}(S)\) 与 \(\mathcal{M}(T)\) 交换。
证明. 任取 \(V\) 的一组基。由第 3 章的矩阵对应规则,乘积的矩阵等于矩阵的乘积:\(\mathcal{M}(ST)=\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)\),\(\mathcal{M}(TS)=\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(S)\)。又因为 \(v\mapsto\mathcal{M}(v)\) 是 \(\mathcal{L}(V)\) 到方阵空间的一一对应,\(ST=TS\) 当且仅当 \(\mathcal{M}(ST)=\mathcal{M}(TS)\),当且仅当 \(\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)=\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(S)\)。于是"某组基下矩阵交换"与"算子交换"等价;而后者与基无关,故一组基成立便对一切基成立。
注意 5.74 中两张矩阵必须关于同一组基取;在不同基下分别取矩阵,交换与否不能反映算子本身。下图用两条复合路径直观呈现定义 5.71:从 \(v\) 出发,"先 \(T\) 后 \(S\)"与"先 \(S\) 后 \(T\)"两条路,在交换时汇于同一点,不交换时分道扬镳。
非交换才是常态:反例与自然出现的交换对
交换究竟是不是普遍现象?两个具体的反例说明恰恰相反:随便取两个算子,几乎注定不交换。
在 \(\mathbb{F}^2\) 上定义 \(S(x,y)=(y,0)\)、\(T(x,y)=(0,x)\)。直接计算:
\[ (ST)(x,y)=S(0,x)=(x,0),\qquad (TS)(x,y)=T(y,0)=(0,y). \]取 \((x,y)=(1,1)\):\(ST(1,1)=(1,0)\) 而 \(TS(1,1)=(0,1)\),两者不等,故 \(ST\neq TS\)。这两个算子都极其简单——一个把向量投影到第一条坐标轴,一个投影到第二条坐标轴再平移坐标——但复合次序已经无法调换。
第 3 章 3.A 的练习里已见过分析学来源的反例:在多项式空间 \(\mathcal{P}(\mathbb{R})\) 上,取求导算子 \(D\) 与"乘以 \(x^2\)"的算子 \(M\)(即 \((Mp)(x)=x^2p(x)\))。由乘积求导法则,
\[ (DM-MD)(p)=\big(x^2p\big)'-x^2p'=2xp, \]它不是零算子(取 \(p=x\) 得 \(DM(x)=3x^2\) 而 \(MD(x)=x^2\)),所以 \(DM\neq MD\)。"先乘后微"与"先微后乘"的差异恰是 \(2xp\),这是微分算子理论的典型现象。
也有成对出现的、自然的交换算子。设 \(V=\mathcal{P}_m(\mathbb{R}^2)\) 是两个实变量的、总次数不超过 \(m\) 的多项式组成的空间(有限维,维数为 \(\tfrac{(m+1)(m+2)}{2}\)),\(D_x\) 与 \(D_y\) 分别表示对 \(x\)、对 \(y\) 求偏导。求偏导不升总次数,故两者都是 \(V\) 上的算子。对 \(f(x,y)=\sum_{j,k}a_{jk}x^jy^k\),逐项求导两次:
\[ D_yD_xf=\sum_{j,k}jk\,a_{jk}x^{j-1}y^{k-1}=D_xD_yf, \]即 \(D_xD_y=D_yD_x\)(原书编号 5.73)。这解释了数学分析中"混合偏导相等"的代数本质:两个偏导算子交换。来自偏微分方程与对称性的算子族,往往是两两交换的——本节全部定理正是为这类对象准备的。
另一方面,交换在"随机"算子中极其稀少。原书给出的一个数值实验:元素取自 \(\{-5,-4,\dots,4,5\}\) 的 \(2\times2\) 矩阵共有 \(11^4\) 个,两两配对有 \(11^8=214{,}358{,}881\) 种;逐对检验后发现只有 \(674{,}609\) 对交换,约占 \(0.3\%\)。把这句话当作本节的座右铭再合适不过:非交换是常态,交换是需要验证的强假设——而一旦成立,它换回的结构性回报也是丰厚的,以下各定理将逐条兑现。
交换算子保持的子空间
5.A 告诉我们,理解算子 \(T\) 的钥匙是它的不变子空间,尤其是零空间、值域与特征空间。现在问:若 \(S\) 与 \(T\) 交换,\(S\) 是否"看得见" \(T\) 的这些子空间?答案是完全肯定的。
设 \(ST=TS\) 且 \(\lambda\in\mathbb{F}\)。则 \(T\) 的特征空间 \(E(\lambda,S)=\operatorname{null}(S-\lambda I)\)(记号见 5.D 的 5.52)在 \(S\) 的交换伙伴 \(T\) 下不变,即 \(T\big(E(\lambda,S)\big)\subseteq E(\lambda,S)\)。
证明. 设 \(v\in E(\lambda,S)\),即 \(Sv=\lambda v\)。利用交换性把 \(T\) "穿过" \(S\):
\[ S(Tv)=(ST)v=(TS)v=T(Sv)=T(\lambda v)=\lambda\,Tv. \]这说明 \(Tv\) 仍满足特征方程,故 \(Tv\in E(\lambda,S)\)。
同样的机制给出零空间与值域版本。为方便引用,先记录一个事实:若 \(ST=TS\),则对每个正整数 \(k\) 有 \(T^kS=ST^k\)(对 \(k\) 归纳:\(T^{k+1}S=T(T^kS)=T(ST^k)=(TS)T^k=(ST)T^k=ST^{k+1}\)),从而对任意多项式 \(p\in\mathcal{P}(\mathbb{F})\),
\[ p(T)\,S=S\,p(T). \]设 \(ST=TS\)。则对每个 \(p\in\mathcal{P}(\mathbb{F})\),子空间 \(\operatorname{null}p(T)\) 与 \(\operatorname{range}p(T)\) 都在 \(S\) 下不变;特别地,\(\operatorname{null}T\) 与 \(\operatorname{range}T\) 在 \(S\) 下不变。
证明. 设 \(u\in\operatorname{null}p(T)\)。由上式,\(p(T)(Su)=S\big(p(T)u\big)=S(0)=0\),故 \(Su\in\operatorname{null}p(T)\)。再设 \(w\in\operatorname{range}p(T)\),写 \(w=p(T)v\);则 \(Sw=S\big(p(T)v\big)=p(T)(Sv)\in\operatorname{range}p(T)\)。取 \(p(z)=z\) 即得最后一句。
两相对照可以看清命题的分量:5.A 的命题 5.18 说 \(T\) 自己保持 \(\operatorname{null}p(T)\) 与 \(\operatorname{range}p(T)\) 不变;本命题则说,凡是与 \(T\) 交换的算子都自动保持这些子空间不变。换句话说,交换伙伴共享同一批"积木"。例 1 中 \(ST\neq TS\),相应地不变性确会失效:那里的 \(T(x,y)=(0,x)\) 满足 \(T(1,0)=(0,0)\),即 \((1,0)\in\operatorname{null}T\);但 \(S(1,0)=(0,1)\),而 \(T(0,1)=(1,0)\neq 0\),可见 \(\operatorname{null}T\) 并不在 \(S\) 下不变——交换假设一旦撤除,结论立刻崩溃。
公共特征向量的存在性
现在兑现第一笔结构回报。5.B 的定理 5.19 断言:有限维非零复向量空间上的每个算子都有特征值。把它与 5.75 连用,立刻得到本节的中心定理。
设 \(V\) 是有限维非零复向量空间,\(S,T\in\mathcal{L}(V)\) 且 \(ST=TS\)。则 \(S\) 与 \(T\) 有公共特征向量 (common eigenvector):存在非零向量 \(v\) 与标量 \(\lambda,\mu\in\mathbb{C}\),使得 \(Sv=\lambda v\) 且 \(Tv=\mu v\)。
证明. 由 5.19,\(S\) 有特征值 \(\lambda\),于是特征空间 \(E(\lambda,S)=\operatorname{null}(S-\lambda I)\) 是 \(V\) 的非零子空间。由命题 5.75,\(E(\lambda,S)\) 在 \(T\) 下不变,因此限制 \(T\big|_{E(\lambda,S)}\) 是复向量空间 \(E(\lambda,S)\) 上的算子;该空间仍然有限维且非零,故可对它再用一次 5.19:存在 \(\mu\in\mathbb{C}\) 与非零向量 \(v\in E(\lambda,S)\) 使得 \(T\big|_{E(\lambda,S)}v=\mu v\)。这个 \(v\) 同时满足 \(Sv=\lambda v\)(因 \(v\in E(\lambda,S)\))与 \(Tv=\mu v\),即为公共特征向量。
证明只用了两件事:特征空间非零(复数域保证),特征空间不变(交换性保证)。两条缺一不可——若把 \(\mathbb{C}\) 换成 \(\mathbb{R}\),5.19 失效:\(\mathbb{R}^2\) 上旋转 \(90^{\circ}\) 的算子 \(R(x,y)=(-y,x)\) 没有任何实特征值,于是 \(R\) 与 \(I\) 交换却无公共特征向量可言。
回到例 5.72 的 \(V=\mathcal{P}_m(\mathbb{R}^2)\)。对多项式而言,求导总使 \(x\)-次数(或 \(y\)-次数)至少降一次,所以 \(D_x\) 与 \(D_y\) 各自唯一的特征值都是 \(0\),且 \(E(0,D_x)\) 是与 \(x\) 无关的多项式全体,\(E(0,D_y)\) 是与 \(y\) 无关的多项式全体。于是
\[ E(0,D_x)\cap E(0,D_y)=\{\text{常值多项式}\}, \]非零常值多项式正是 \(D_x\)、\(D_y\) 的公共特征向量——与定理 5.78 的保证完全吻合(此例中域虽是 \(\mathbb{R}\),但特征值是显式找到的 \(0\),无须借助 5.19)。
5.78 只处理一对算子,但同样的思想可以一步推进到任意大的交换族——甚至不要求族有限。原书将此留作练习 5.E.9,这里给出一个一次到位的证明。
设 \(V\) 是有限维非零复向量空间,\(\mathcal{E}\subseteq\mathcal{L}(V)\) 是一族两两交换的算子(即任取 \(R,S\in\mathcal{E}\) 有 \(RS=SR\);\(\mathcal{E}\) 可以是无限族)。则 \(\mathcal{E}\) 中所有算子有公共特征向量。
证明. 考虑在 \(\mathcal{E}\) 的每个成员下都不变的非零子空间组成的族:\(V\) 本身属于它,故此族非空;取其中维数最小者 \(U\)(维数是不小于 \(1\) 的正整数,最小值存在)。断言:每个 \(R\in\mathcal{E}\) 限制在 \(U\) 上都是数量算子。固定 \(R\in\mathcal{E}\)。 \(U\) 是非零有限维复空间,由 5.19,\(R\big|_U\) 有特征值 \(\lambda\),对应特征空间 \(E=\operatorname{null}\big(R\big|_U-\lambda I\big)\subseteq U\) 非零。对任意 \(S\in\mathcal{E}\) 与 \(u\in E\),交换性给出
\[ R(Su)=(RS)u=(SR)u=S(Ru)=S(\lambda u)=\lambda\,Su, \]故 \(Su\in E\)。于是 \(E\) 也是在 \(\mathcal{E}\) 的每个成员下不变的非零子空间;由 \(U\) 的维数最小性,\(E=U\)。这说明 \(Ru=\lambda u\) 对一切 \(u\in U\) 成立,即 \(R\big|_U=\lambda I\)。结论:任取非零 \(u\in U\),它同时是 \(\mathcal{E}\) 中每个算子的特征向量。
对有限族 \(\{S_1,\dots,S_m\}\) 也可以对 \(m\) 归纳(模仿 5.78 的证明,把"公共特征空间" \( \bigcap_i\operatorname{null}(S_i-\lambda_iI)\) 当作 5.75 中特征空间的角色);上面的极小不变子空间论证则把有限与无限两种情形一并解决,无须选择公理。
同时上三角化与公共不变旗
5.C 的定理 5.47 说:复数域上每个算子各自都有上三角矩阵。对交换对,两张上三角矩阵可以取自同一组基——这是第二笔、也是分量最重的结构回报。
设 \(V\) 是有限维非零复向量空间,\(S,T\in\mathcal{L}(V)\) 且 \(ST=TS\)。则存在 \(V\) 的一组基,使得 \(S\) 与 \(T\) 关于这组基的矩阵都是上三角的(称 \(S\) 与 \(T\) 可同时上三角化,simultaneously upper triangularizable)。
证明. 对 \(n=\dim V\) 作归纳。\(n=1\) 时任何 \(1\times1\) 矩阵都是上三角的,结论平凡。设 \(n\ge2\),并设定理对 \(n-1\) 维空间成立。由定理 5.78,取 \(S,T\) 的公共特征向量 \(v_1\),并取子空间 \(W\) 使得 \(V=\operatorname{span}(v_1)\oplus W\)(有限维时补空间总存在)。定义投影 \(P\colon V\to W\):对 \(a\in\mathbb{C}\)、\(w\in W\),令 \(P(av_1+w)=w\)。再定义 \(W\) 上的两个算子
\[ \hat{S}w=P(Sw),\qquad \hat{T}w=P(Tw)\qquad(w\in W). \]它们是线性映射(复合与限制保持线性性),且都把 \(W\) 映入 \(W\)。断言:\(\hat{S}\hat{T}=\hat{T}\hat{S}\)。任取 \(w\in W\)。注意 \(v_1\) 是 \(S\)、\(T\) 的公共特征向量,故 \(Sv_1\)、\(Tv_1\) 都落在 \(\operatorname{span}(v_1)\) 中,被 \(P\) 零化。于是
\[ (\hat{T}\hat{S})w=\hat{T}\big(P(Sw)\big)=\hat{T}\big(Sw-av_1\big)=P\big(T(Sw)\big)-a\,P(Tv_1)=P\big((TS)w\big), \]其中 \(a\in\mathbb{C}\) 由分解 \(Sw=av_1+P(Sw)\) 给出。对称地,\((\hat{S}\hat{T})w=P\big((ST)w\big)\)。由 \(ST=TS\),两个表达式相等,\(w\) 任意,断言成立。现在 \(W\) 是 \(n-1\) 维复空间且 \(\hat{S},\hat{T}\) 交换,归纳假设给出 \(W\) 的一组基 \(v_2,\dots,v_n\),使 \(\hat{S}\) 与 \(\hat{T}\) 关于它的矩阵都是上三角的。最后验证 \(v_1,v_2,\dots,v_n\) 对 \(S,T\) 同时适用:对 \(2\le k\le n\),分解
\[ Sv_k=\underbrace{\big(Sv_k-P(Sv_k)\big)}_{\in\operatorname{span}(v_1)}+\hat{S}v_k,\qquad \hat{S}v_k\in\operatorname{span}(v_2,\dots,v_k), \]其中第二个属于关系正是 \(\hat{S}\) 的矩阵上三角的含义;于是 \(Sv_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)\),同理 \(Tv_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)\)。这说明子空间链
\[ \{0\}\subsetneq U_1\subsetneq U_2\subsetneq\cdots\subsetneq U_n=V,\qquad U_k=\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k), \]中每一项都在 \(S\) 与 \(T\) 下不变,而这正等价于两个矩阵同时上三角。
证明中"\(\hat{S}=P S\big|_W\)"式的构造把 \(S,T\) 压到补空间 \(W\) 上;也可以改用第 3 章 3.E 的商空间 \(V/\operatorname{span}(v_1)\) 表述同一归纳(算子在商空间上的诱导仍两两交换)。上式中的子空间链称为完整旗 (complete flag);定理 5.80 的几何内容就是:交换对共享一条完整不变旗。下图在 \(\mathbb{C}^3\) 中画出这条旗的起点。
同时上三角化立刻产出定量信息。回忆 5.C 的定理 5.41:上三角矩阵的特征值恰是其对角线元素;又上三角矩阵的和与积仍上三角,且对角线逐项相加、相乘(原书 5.C 练习 2,亦可由定义直接验证)。于是:
设 \(V\) 是有限维非零复向量空间,\(S,T\in\mathcal{L}(V)\) 且 \(ST=TS\)。则 \(S+T\) 的每个特征值都等于"\(S\) 的某个特征值加 \(T\) 的某个特征值";\(ST\) 的每个特征值都等于"\(S\) 的某个特征值乘 \(T\) 的某个特征值"。
证明. 由 5.80,取公共基使 \(\mathcal{M}(S)=A\)、\(\mathcal{M}(T)=B\) 都是上三角矩阵。在此基下 \(\mathcal{M}(S+T)=A+B\)、\(\mathcal{M}(ST)=AB\)。若 \(A\)、\(B\) 的对角线元素分别为 \(a_1,\dots,a_n\) 与 \(b_1,\dots,b_n\),则直接按元素验证:\(A+B\) 上三角,对角线为 \(a_k+b_k\);而当 \(j\gt k\) 时 \((AB)_{jk}=\sum_l A_{jl}B_{lk}=0\)(\(l\le k\) 时 \(A_{jl}=0\),\(l\gt k\) 时 \(B_{lk}=0\)),且 \((AB)_{jj}=a_jb_j\),即 \(AB\) 上三角、对角线为 \(a_jb_j\)。最后由 5.41,\(S+T\) 的特征值全体恰为 \(a_k+b_k\)(\(1\le k\le n\)),其中 \(a_k\) 是 \(S\) 的特征值、\(b_k\) 是 \(T\) 的特征值(仍由 5.41);\(ST\) 的情形同理。
例如取 \(S(x,y,z)=(2x,2y,5z)\)、\(T(x,y,z)=(x+y,\,x+y,\,3z)\)(见下节例 3,两者交换且可同时对角化):\(S+T\) 的特征值恰为 \(4,2,8\),正是对应位置上 \(S\)、\(T\) 特征值之和。两个注记:其一,5.81 只断言"某一对配对",并不指明哪个特征值配哪个;其二,复数域假设不可去,实数域上的反例见练习 6。
可对角化算子的同时对角化
5.80 对任意交换对(复数域上)给出同时上三角化;若算子本身还可对角化,则旗可以一步到位拉直成对角基。回忆 5.D 的三件工具:特征空间分解 \(V=\bigoplus_k E(\lambda_k,T)\)(5.55);可对角化当且仅当极小多项式无重根(5.62);可对角化算子在不变子空间上的限制仍可对角化(5.65,其证明用 5.62:限制的极小多项式整除原算子的极小多项式)。
设 \(S,T\in\mathcal{L}(V)\) 都可对角化。则:\(S\) 与 \(T\) 关于同一组基的矩阵都是对角矩阵,当且仅当 \(ST=TS\)。前者称为 \(S\) 与 \(T\) 可同时对角化 (simultaneously diagonalizable)。
证明. (⇒) 设某组基下 \(\mathcal{M}(S)\)、\(\mathcal{M}(T)\) 都是对角矩阵。对角矩阵相乘时可交换:若对角线元素分别为 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 与 \(\beta_1,\dots,\beta_n\),则两个乘积的第 \((j,k)\) 元都等于 \(\alpha_j\beta_k\) 乘上 \(j=k\) 的指示(即 \(j=k\) 时为 \(\alpha_j\beta_j\),否则为 \(0\))。于是由命题 5.74,\(ST=TS\)。
(⇐) 设 \(ST=TS\),并设 \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\) 是 \(S\) 的互异特征值。由 5.55,\(V=\bigoplus_{k=1}^{m}E(\lambda_k,S)\)。由命题 5.75,每个 \(E(\lambda_k,S)\) 在 \(T\) 下不变;而 \(T\) 可对角化,由 5.65,\(T\) 在不变子空间 \(E(\lambda_k,S)\) 上的限制 \(T\big|_{E(\lambda_k,S)}\) 也可对角化,故可取 \(E(\lambda_k,S)\) 的一组基 \(\mathcal{B}_k\),使其由 \(T\big|_{E(\lambda_k,S)}\) 的特征向量组成。\(\mathcal{B}_k\) 中的向量既是 \(S\) 的特征向量(属于 \(\lambda_k\)),又是 \(T\) 的特征向量;把 \(\mathcal{B}_1,\dots,\mathcal{B}_m\) 合并,由直和分解得到 \(V\) 的一组基,它全由 \(S\)、\(T\) 的公共特征向量组成,关于它两个矩阵同为对角。
在 \(\mathbb{F}^3\) 上取 \(S(x,y,z)=(2x,2y,5z)\) 与 \(T(x,y,z)=(x+y,\,x+y,\,3z)\)。先验证交换:
\[ (ST)(x,y,z)=S(x+y,\,x+y,\,3z)=\big(2(x+y),\,2(x+y),\,15z\big)=(TS)(x,y,z). \]再验证两者皆可对角化:\(S\) 的特征空间分解 \(\mathbb{F}^3=E(2,S)\oplus E(5,S)=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}\oplus\operatorname{span}\{(0,0,1)\}\);\(T\) 有三个互异特征值 \(2,0,3\),特征向量依次为 \(b_1=(1,1,0)\)、\(b_2=(1,-1,0)\)、\(b_3=(0,0,1)\)。按定理 5.76 应存在公共特征向量基,事实正是如此:直接检验
\[ Sb_1=2b_1,\quad Tb_1=2b_1;\qquad Sb_2=2b_2,\quad Tb_2=0;\qquad Sb_3=5b_3,\quad Tb_3=3b_3, \]故关于基 \(b_1,b_2,b_3\),\(\mathcal{M}(S)=\operatorname{diag}(2,2,5)\)、\(\mathcal{M}(T)=\operatorname{diag}(2,0,3)\) 同时对角,顺带印证了上节对 \(S+T\) 特征值的预言。
第一,定理 5.76 的两个前提缺一不可:练习 4 给出两个可对角化但不交换的算子,它们连一个公共特征向量都没有;而不可对角化的交换对(如 \(S=I\) 与 \(T=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) 所代表的算子)则只能享受 5.80 的上三角待遇。第二,5.76 与 5.80 的关系是"特例与一般":对角矩阵也是上三角矩阵,可同时对角化当然可同时上三角;5.80 不要求可对角化,5.76 不额外要求复数域(可对角化已隐含特征值全在 \(\mathbb{F}\) 中)。第三,族版本同样成立(原书练习 5.E.2):一族两两交换且各自可对角化的算子可同时对角化——证明思路是把上面对 \(m\) 个特征空间的分解递归地细化到族中每个成员。
多项式生成的交换代数与应用注记
把本节各定理放到代数的视角下看,线索更清晰。对单个算子 \(T\),集合
\[ \mathbb{F}[T]=\{\,p(T):\,p\in\mathcal{P}(\mathbb{F})\,\}\subseteq\mathcal{L}(V) \]对加法、标量乘法与复合封闭,且由 5.17(b) 它是交换的:这是本节开头"免检来源"的重新表述。它是多大的一族?由 5.B 的整除判据(本站 5.B 定理 5.27,原书同节):\(p(T)=0\) 当且仅当 \(p\) 是极小多项式 \(q\) 的倍式,故映射 \(p\mapsto p(T)\) 的核恰为 \(q\) 的倍式全体,像为 \(\mathbb{F}[T]\),从而 \(\dim\mathbb{F}[T]=\deg q\)(原书 5.B 练习 19)。例如当 \(T\) 可对角化且有 \(m\) 个互异特征值时,\(q\) 是 \(m\) 个一次因式之积,\(\mathbb{F}[T]\) 恰是 \(m\) 维。类似地,一对交换算子 \(S,T\) 生成"二元多项式代数" \(\{p(S,T)\}\)——由于 \(S,T\) 交换,二元多项式的代入无歧义,它是 \(\mathbb{F}[x,y]\) 在 \(\mathcal{L}(V)\) 中的交换缩影;定理 5.78 与 5.80 说明,这整个交换族的成员共享特征向量与不变旗。
最后是一段直观联想。量子力学中,可观测量由(无限维空间上的)自伴算子表示,两算子的交换子 \([A,B]=AB-BA\) 度量其"不相容性":位置与动量算子满足 \([Q,P]=\mathrm{i}\hbar I\neq0\),海森堡不确定性原理断言二者无法同时具有确定值;反之,交换的观测量——例如角动量平方与角动量的 \(z\)-分量——存在共同本征态,可以同时测定。本节的定理 5.76(可同时对角化 \(\Leftrightarrow\) 交换)正是这一原理在有限维框架下的代数内核:"可同时观测"对应"可同时对角化",而其充要条件恰是交换。当然,无限维的严格陈述还需谱理论工具,此处仅作观念上的桥梁。
本章小结与展望
至此,第 5 章的脉络可以完整地串起来。5.A 引入不变子空间与特征向量,证明 \(T\) 恰在 \(\operatorname{null}p(T)\)、\(\operatorname{range}p(T)\) 型子空间上"自我保持";5.B 证明有限维算子必有零化多项式,唯一的最短者即极小多项式,其零点恰为特征值(复数域上特征值存在性 5.19 是本章多次回用的引擎);5.C 用这些工具证明复数域上人人可上三角化,特征值就写在对角线上;5.D 给出对角化的三个等价刻画,核心判据是极小多项式无重根;本节 5.E 把镜头从单个算子拉到算子对与算子族:交换 \(\Rightarrow\) 特征空间互相保持(5.75)\(\Rightarrow\) 公共特征向量(5.78)\(\Rightarrow\) 同时上三角化(5.80)\(\Rightarrow\) 在可对角化前提下同时对角化(5.76),并收获 \(S+T\)、\(ST\) 特征值的定性描述(5.81)。一条主线贯穿始终:以多项式驾驭算子,以不变子空间组织结构。
展望后续。本章所有分解都是"顺着某组基"的,基的选取带有人为的自由度;第 6 章将给空间装备内积与范数(6.A),从而谈论长度、夹角与正交性,把这种自由度收紧。有了内积,第 7 章将证明本章结论远远未能触及的深刻事实——谱定理:自伴算子(更一般地,正规算子,即与自己的伴随相交换的算子——"交换"在这里再度登场)必可对角化,且特征向量可取成标准正交基(原书实谱定理 7.29、复谱定理 7.31)。到那时,5.D 的对角化理论将被升级为带正交结构的精确版本。
练习
练习 5.E-1
(原书练习 5.E.3) 设 \(ST=TS\)。证明:对每个多项式 \(p\in\mathcal{P}(\mathbb{F})\),子空间 \(\operatorname{null}p(S)\) 与 \(\operatorname{range}p(S)\) 都在 \(T\) 下不变;并由此导出命题 5.75(取 \(p(z)=z-\lambda\))。
解答/提示先证 \(T\) 与 \(p(S)\) 交换:由 \(TS=ST\) 对 \(k\) 归纳得 \(TS^k=S^kT\),线性组合即得 \(Tp(S)=p(S)T\)。若 \(u\in\operatorname{null}p(S)\),则 \(p(S)(Tu)=T\big(p(S)u\big)=0\),故 \(Tu\in\operatorname{null}p(S)\)。若 \(w\in\operatorname{range}p(S)\),写 \(w=p(S)v\),则 \(Tw=T\big(p(S)v\big)=p(S)(Tv)\in\operatorname{range}p(S)\)。取 \(p(z)=z-\lambda\):注意 \(S-\lambda I\) 与 \(T\) 交换(因 \(T(S-\lambda I)=TS-\lambda T=ST-\lambda T=(S-\lambda I)T\)),故 \(\operatorname{null}(S-\lambda I)=E(\lambda,S)\) 在 \(T\) 下不变,即 5.75。
练习 5.E-2
判断下列命题真伪,证明或给出反例。(a) 实向量空间上,任意两个交换算子必有公共特征向量。(b) 若 \(ST=TS\) 且 \(T\) 可逆,则 \(S\) 与 \(T^{-1}\) 交换。
解答/提示(a) 伪。取 \(V=\mathbb{R}^2\),\(R(x,y)=(-y,x)\)(旋转 \(90^{\circ}\)),\(T=I\)。两者显然交换,但 \(R\) 没有实特征值:\(R(x,y)=\lambda(x,y)\) 要求 \(-y=\lambda x,\ x=\lambda y\),消元得 \((\lambda^2+1)x=0\),只有零解。故 \(R\) 无特征向量,更谈不上公共特征向量——定理 5.78 中"复"字不可删去。(b) 真。由 \(ST=TS\),两边左乘、右乘 \(T^{-1}\):\(T^{-1}(ST)T^{-1}=T^{-1}(TS)T^{-1}\),左边 \(=(T^{-1}S)(TT^{-1})=T^{-1}S\),右边 \(=(T^{-1}T)(ST^{-1})=ST^{-1}\),故 \(T^{-1}S=ST^{-1}\)。
练习 5.E-3
证明定理 5.76 的必要方向:若 \(S\)、\(T\) 可同时对角化,则 \(ST=TS\)。再证明其对偶陈述:若 \(\mathcal{M}(S)\)、\(\mathcal{M}(T)\) 关于不同的基各自是对角矩阵,未必有 \(ST=TS\),并举出一例。
解答/提示设同一组基下 \(\mathcal{M}(S)=\operatorname{diag}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\)、\(\mathcal{M}(T)=\operatorname{diag}(\beta_1,\dots,\beta_n)\)。按元素计算,两个乘积的第 \((j,k)\) 元同为" \(j=k\) 时 \(\alpha_j\beta_j\),否则 \(0\)",故 \(\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)=\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(S)\),由命题 5.74 得 \(ST=TS\)。反例说明"不同基"不行:取练习 4 中的 \(S(x,y)=(x,2y)\) 与 \(T(x,y)=(y,x)\),两者都可在各自的特征向量基下对角化(\(T\) 的特征值为 \(\pm1\)),但 \(ST\neq TS\)。
练习 5.E-4
在 \(\mathbb{F}^2\) 上取 \(S(x,y)=(x,\,2y)\) 与 \(T(x,y)=(y,\,x)\)。证明:\(S\) 与 \(T\) 都可对角化,但 \(ST\neq TS\),并且 \(S\)、\(T\) 没有公共特征向量。
解答/提示可对角性:\(S\) 关于标准基已是对角矩阵;\(T\) 满足 \(T(1,1)=(1,1)\)、\(T(1,-1)=-(1,-1)\),特征值 \(1,-1\) 互异,故可对角化。不交换:\((ST)(x,y)=S(y,x)=(y,\,2x)\),而 \((TS)(x,y)=T(x,2y)=(2y,\,x)\),取 \((x,y)=(1,1)\) 即见不等。无公共特征向量:\(S\) 的特征值 \(1\) 与 \(2\) 互异,特征空间都是一维的,分别为 \(\operatorname{span}(1,0)\) 与 \(\operatorname{span}(0,1)\),故 \(S\) 的特征向量只有这两个方向;但 \(T(1,0)=(0,1)\) 不是 \((1,0)\) 的倍数,\(T(0,1)=(1,0)\) 也不是 \((0,1)\) 的倍数。此例同时说明定理 5.76 中"交换"前提不可去。
练习 5.E-5
(原书练习 5.E.9(a)) 设 \(V\) 是有限维非零复向量空间,\(\mathcal{E}\subseteq\mathcal{L}(V)\)(可以是无限族)两两交换。不借助归纳于族的规模,证明 \(\mathcal{E}\) 有公共特征向量。
解答/提示取在 \(\mathcal{E}\) 的每个成员下不变的非零子空间中维数最小者 \(U\)(\(V\) 自身是候选,故存在)。固定 \(R\in\mathcal{E}\);由 5.19,\(R\big|_U\) 有特征值 \(\lambda\),且 \(E=\operatorname{null}\big(R\big|_U-\lambda I\big)\) 是 \(U\) 的非零子空间。对任意 \(S\in\mathcal{E}\)、\(u\in E\):\(R(Su)=(RS)u=(SR)u=S(Ru)=\lambda Su\),故 \(Su\in E\),即 \(E\) 也被 \(\mathcal{E}\) 全体保持。由 \(U\) 的最小性,\(E=U\),于是 \(R\big|_U=\lambda I\)。让 \(R\) 取遍 \(\mathcal{E}\):任一非零 \(u\in U\) 都是所有成员的公共特征向量。
练习 5.E-6
(原书练习 5.E.10) 定理 5.81 依赖复数域。在 \(\mathbb{R}^2\) 上构造交换的 \(S,T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)\),使得 \(S+T\) 有特征值,但它不是"\(S\) 的特征值加 \(T\) 的特征值"。
解答/提示取 \(S(x,y)=(-y,x)\)(旋转 \(90^{\circ}\))、\(T=-S\),则 \(ST=TS=S(-S)=-S^2\)。直接计算 \(S^2=-I\),故 \(ST=I\),显然交换。\(S\) 与 \(T\) 都没有实特征值(见练习 2(a) 的论证),于是" \(S\) 的特征值加 \(T\) 的特征值"这类对象根本不存在;但 \(S+T=0\) 有特征值 \(0\)(每个非零向量都是特征向量),\(ST=I\) 有特征值 \(1\)。两个值都无法写成所要求的形式,说明 5.81 在实数域上失效——上三角化(5.80)与特征值存在性(5.19)才是它真正的靠山。