从矩阵到算子:本节路线
一个方阵里最醒目的数字,恐怕就是它的对角元了。对角元 individually 依赖于基的选取,并无几何意义;但本节将证明:它们的和却是一个基无关量,而且直接挂在算子的谱 (spectrum) 上——它就是迹 (trace)。迹是「矩阵的语言」与「算子的语言」之间的一座小而结实的桥:从矩阵一侧进门,从谱一侧出门。
第四版的行文次序正是如此:先定义方阵的迹 (8.47),证明矩阵层面的交换律 \(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\) (8.49);再证明算子在任何一组基下矩阵的迹都相同 (8.50),于是「算子的迹」这个定义合法 (8.51);最后在复向量空间上把迹读成特征值之和 (8.52),并联系到特征多项式 (8.54)。
编者注(与第三版对照)。第三版把「迹 = 全体特征值之和(按重数)」直接作为定义,再证明它等于对角元之和;第四版反其道而行之,从矩阵出发,把谱公式 (8.52) 升格为定理。两条路线殊途同归,但第四版的次序可以先在纯矩阵层面把交换律 \(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\) 一次证完,后面的一切(基无关性、算子层面的交换律)都变成它的直接推论。另外,第四版把迹的记号写作 \(\operatorname{tr}T\)。本章仍沿用标准约定:\(\mathbf{F}\) 为 \(\mathbf{R}\) 或 \(\mathbf{C}\),\(V\) 是 \(\mathbf{F}\) 上有限维非零向量空间;仅 8.52 与 8.54 需要 \(\mathbf{F}=\mathbf{C}\)。
矩阵的迹与交换律 (8.47–8.49)
定义 8.47(矩阵的迹)。设 \(A\) 是元素属于 \(\mathbf{F}\) 的方阵。\(\boldsymbol{A}\) 的迹,记作 \(\operatorname{tr}A\),定义为 \(A\) 的全体对角元之和。
例 1(原书 8.48,一个 \(3\times 3\) 矩阵的迹)。设
\[ A=\begin{pmatrix} \textcolor{#7d1c2e}{3} & -1 & -2\\ 3 & \textcolor{#7d1c2e}{2} & -3\\ 1 & 2 & \textcolor{#7d1c2e}{0} \end{pmatrix}, \]其中对角元(红色)是 \(3,2,0\)。于是 \(\operatorname{tr}A=3+2+0=5\)。这个矩阵本节还会作为例 2 再次登场。
矩阵乘法不可交换,但下一个定理说明:乘法次序对迹无关紧要。注意定理允许 \(A,B\) 是矩形矩阵——只要两个乘积 \(AB\) 与 \(BA\) 都有意义(一为 \(m\times m\),一为 \(n\times n\))。这一「矩形版本」将在基变换的证明中派上用场。
定理 8.49(\(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\))。设 \(A\) 是 \(m\times n\) 矩阵,\(B\) 是 \(n\times m\) 矩阵(元素均属于 \(\mathbf{F}\))。则
\[ \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA). \]证明。记 \(A=(A_{j,k})_{\substack{j=1,\dots,m\\ k=1,\dots,n}}\),\(B=(B_{k,j})_{\substack{k=1,\dots,n\\ j=1,\dots,m}}\)。\(m\times m\) 矩阵 \(AB\) 的第 \(j\) 个对角元是 \(\sum_{k=1}^{n}A_{j,k}B_{k,j}\)(行向量乘列向量)。于是
\[ \operatorname{tr}(AB)=\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}A_{j,k}B_{k,j} =\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}B_{k,j}A_{j,k}, \]其中第二步只是交换了两个有限和的求和次序。而内层 \(\sum_{j=1}^{m}B_{k,j}A_{j,k}\) 恰是 \(n\times n\) 矩阵 \(BA\) 的第 \(k\) 个对角元,故上式等于 \(\operatorname{tr}(BA)\)。证毕。
注。反复使用 8.49 可得循环性质:\(\operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(BCA)=\operatorname{tr}(CAB)\)(把 \(AB\) 与 \(C\) 交给 8.49 即得第一个等号)。但注意 \(\operatorname{tr}(ABC)\) 未必等于 \(\operatorname{tr}(ACB)\)——「循环」移位是允许的,任意重排不行(见练习 6)。
算子的迹:与基无关 (8.50–8.51)
我们自然想定义算子 \(T\in\mathcal{L}(V)\) 的迹为「\(T\) 在某组基下矩阵的迹」。这个定义要成立,必须先证明它与基的选取无关;而刚才的 8.49 恰好为此铺平了道路。
定理 8.50(算子矩阵的迹与基无关)。设 \(T\in\mathcal{L}(V)\),\(v_1,\dots,v_n\) 与 \(w_1,\dots,w_n\) 都是 \(V\) 的基。则
\[ \operatorname{tr}\mathcal{M}\bigl(T,(v_1,\dots,v_n)\bigr)=\operatorname{tr}\mathcal{M}\bigl(T,(w_1,\dots,w_n)\bigr). \]证明。记 \(A=\mathcal{M}\bigl(T,(v_1,\dots,v_n)\bigr)\),\(B=\mathcal{M}\bigl(T,(w_1,\dots,w_n)\bigr)\)。基变换公式(原书 3.84)告诉我们,存在可逆的 \(n\times n\) 矩阵 \(C\) 使 \(A=C^{-1}BC\)。于是
\[ \operatorname{tr}A=\operatorname{tr}\bigl(C^{-1}BC\bigr) =\operatorname{tr}\bigl((BC)C^{-1}\bigr) =\operatorname{tr}B, \]其中第二步来自 8.49(取那里的 \(A\) 为 \(C^{-1}\)、\(B\) 为 \(BC\)),第三步因为 \((BC)C^{-1}=B\)。证毕。
定义 8.51(算子的迹)。设 \(T\in\mathcal{L}(V)\)。\(\boldsymbol{T}\) 的迹定义为
\[ \operatorname{tr}T=\operatorname{tr}\mathcal{M}\bigl(T,(v_1,\dots,v_n)\bigr), \]其中 \(v_1,\dots,v_n\) 是 \(V\) 的任意一组基;由 8.50,右端不依赖于基的选取,故定义合理。
换言之,对每一组基都有
\[ \operatorname{tr}T=\sum_{j=1}^{n}\mathcal{M}(T)_{j,j}, \]即「算子的迹 = 其矩阵(任取一组基)对角元之和」。特别地,取基的策略完全可以相机行事:哪组基下矩阵最简单,就在哪组基下算迹。下一节我们就这样做:挑一组让矩阵上三角化的基,对角元变成特征值,迹便与谱挂上了钩。
注(相似不变量)。两个 \(n\times n\) 矩阵 \(A,B\) 相似 (similar) 指存在可逆 \(C\) 使 \(B=C^{-1}AC\)。相似矩阵是同一个算子在两组基下的矩阵,故 8.50 立即给出:\(A\) 与 \(B\) 相似 \(\Rightarrow\operatorname{tr}A=\operatorname{tr}B\)。迹是相似不变量 (similarity invariant)。但反过来不成立:零矩阵与 \(3\times 3\) 矩阵 \(\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)(即 \(J_2(0)\oplus J_1(0)\))的迹都是 \(0\),却并不相似——前者的极小多项式是 \(z\),后者是 \(z^2\)。迹只「看见」谱的一阶信息(见第 8 小节),看不见若尔当块的结构。
迹与谱:特征值之和 (8.52–8.53)
回忆(原书 8.23):\(\mathbf{F}=\mathbf{C}\) 时,特征值 \(\lambda\) 的重数 (multiplicity) 定义为广义特征空间 \(G(\lambda,T)=\operatorname{null}(T-\lambda I)^{\dim V}\) 的维数;全体特征值重数之和恰为 \(\dim V\)(原书 8.25)。因此,若 \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\) 是互异特征值,重数为 \(d_1,\dots,d_m\),则「按重数求和」即 \(\sum_{k=1}^{m}d_k\lambda_k\)。
定理 8.52(复向量空间上,迹等于特征值之和)。设 \(\mathbf{F}=\mathbf{C}\),\(T\in\mathcal{L}(V)\),其互异特征值为 \(\lambda_1,\dots,\lambda_m\),相应重数为 \(d_1,\dots,d_m\)。则
\[ \operatorname{tr}T=d_1\lambda_1+\cdots+d_m\lambda_m, \]即 \(\operatorname{tr}T\) 等于 \(T\) 的全体特征值之和,每个特征值按其重数计入。
证明。由原书 8.37,存在 \(V\) 的一组基,使 \(T\) 在其下的矩阵是分块对角的上三角矩阵,且每个特征值 \(\lambda_k\) 恰好在对角线上出现 \(d_k\) 次。对这组基使用定义 8.51:迹等于该矩阵对角元之和,即等于 \(d_1\lambda_1+\cdots+d_m\lambda_m\)。证毕。
这就是「为什么迹是个好定义」的终极答案:它虽经矩阵定义,却直接挂在谱上——不借助任何基、任何矩阵,只依赖算子本身的特征值及重数。上三角化 (8.37) 在这里的角色仅仅是「让对角元显形为特征值」的一组透镜。
例 2(原书 8.53,\(\mathbf{F}^3\) 上算子的迹)。设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbf{F}^3)\) 定义为
\[ T(z_1,z_2,z_3)=\bigl(3z_1-z_2-2z_3,\; 3z_1+2z_2-3z_3,\; z_1+2z_2\bigr). \]它在标准基下的矩阵就是例 1 的矩阵 \(A\),对角元之和给出 \(\operatorname{tr}T=5\)。直接计算特征多项式:
\[ \det\!\bigl(zI-A\bigr)\;\text{的零点为}\; 1,\quad 2+3\mathrm{i},\quad 2-3\mathrm{i}, \]三者重数均为 \(1\)(当 \(\mathbf{F}=\mathbf{C}\) 时)。按 8.52 验算:\(1+(2+3\mathrm{i})+(2-3\mathrm{i})=5=\operatorname{tr}T\),分毫不差。注意此例的特征值未必都是实数,故迹为实数 \(5\) 这件事并不显然,而是「共轭复特征值成对出现、虚部相消」的体现。
例 3(幂零算子的迹为 \(0\))。设 \(N\in\mathcal{L}(\mathbf{F}^3)\) 为 \(N(z_1,z_2,z_3)=(z_2,z_3,0)\)。则 \(N^3=0\),即 \(N\) 幂零 (nilpotent)。幂零算子的特征值只能是 \(0\)(若 \(Nv=\lambda v\),\(v\ne 0\),则 \(\lambda^3 v=N^3v=0\)),于是由 8.52 得 \(\operatorname{tr}N=0\)。也可以直接看矩阵:\(N\) 在标准基下的矩阵为
\[ \mathcal{M}(N)=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}, \]对角线全为零,迹自然为 \(0\)。两条路径一致——这并非巧合,而是 8.50 的必然。
例 4(投影算子的迹等于像的维数)。考虑 \(\mathbf{R}^3\) 中到平面 \(W=\{(x,y,z):x+2y+3z=0\}\) 的正交投影 \(P\)。取法向量 \(n=(1,2,3)\),则 \(P=I-\dfrac{nn^{\mathsf T}}{\lVert n\rVert^2}\),即
\[ \mathcal{M}(P)=\frac{1}{14}\begin{pmatrix}13&-2&-3\\-2&10&-6\\-3&-6&5\end{pmatrix},\qquad \operatorname{tr}P=\frac{13+10+5}{14}=2. \]而 \(P\) 的特征值是 \(1,1,0\)(在 \(W\) 上恒等,在 \(n\) 方向上归零),按重数求和同样是 \(2\)。这不是偶然:\(P^2=P\) 型算子(幂等算子,即投影)满足 \(\mathbf{R}^3=\operatorname{null}P\oplus\operatorname{range}P\),在由两个子空间的基拼成的基下,矩阵为 \(\operatorname{diag}(0,\dots,0,1,\dots,1)\),其中 \(1\) 的个数恰为 \(\dim\operatorname{range}P\)。一般结论「\(T^2=T\Rightarrow\operatorname{tr}T=\dim\operatorname{range}T\)」留作练习 1。
若尔当形下读迹:相似不变量
上一节(8.C)的若尔当形 (Jordan form,原书 8.46) 为「选一组好基算迹」提供了最直观的版本:\(\mathbf{F}=\mathbf{C}\) 时,每个算子都在某组基下呈分块对角,每个若尔当块 \(J_{d}(\lambda)\) 的对角线清一色是 \(\lambda\)。于是迹可以一眼读出:
\[ \operatorname{tr}T=\sum_{j}(\text{第 }j\text{ 块的特征值})\times(\text{第 }j\text{ 块的尺寸})=\sum_{k=1}^{m}d_k\lambda_k. \]次对角线上的那些 \(1\) 完全不参与——迹对若尔当块内部的结构「失明」,只对谱及其重数「敏感」。
例 5(从若尔当形读迹)。设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbf{C}^5)\) 的若尔当形为 \(\operatorname{diag}\bigl(J_2(2),\,J_3(-1)\bigr)\),即特征值 \(2\) 的重数为 \(2\)、特征值 \(-1\) 的重数为 \(3\)。则
\[ \operatorname{tr}T=2+2+(-1)+(-1)+(-1)=2\times 2+3\times(-1)=1, \]对角元直接相加即可,见下图。
再把相似不变性(8.50 的推论)与若尔当理论合起来看:同一个算子在任何基下的矩阵,迹都等于若尔当形里读出的这个数。反之,像第 3 小节末尾的例子那样,两个算子可以有相同的迹却有不同的若尔当形——迹是谱的「一阶摘要」,而非完整的分类标签。
迹与特征多项式 (8.54)
原书在 8.B 已给出特征多项式 (characteristic polynomial,原书 8.26)的定义:设 \(\mathbf{F}=\mathbf{C}\),\(T\in\mathcal{L}(V)\),把特征值按重数排成 \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\)(故 \(n=\dim V\)),则
\[ \chi_T(z)=(z-\lambda_1)(z-\lambda_2)\cdots(z-\lambda_n). \]把它展开成首一多项式:
\[ \chi_T(z)=z^{n}-(\lambda_1+\cdots+\lambda_n)\,z^{n-1}+\cdots+(-1)^{n}\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n. \]两个特殊系数意义非凡:\(z^{n-1}\) 的系数是特征值之和的相反数,常数项是特征值之积乘以 \((-1)^n\)。前者就是迹,于是立刻得到:
定理 8.54(迹与特征多项式)。设 \(\mathbf{F}=\mathbf{C}\),\(T\in\mathcal{L}(V)\),\(n=\dim V\)。则 \(\operatorname{tr}T\) 等于 \(T\) 的特征多项式中 \(z^{n-1}\) 系数的相反数。
证明。由 8.52,\(\lambda_1+\cdots+\lambda_n=\operatorname{tr}T\);代入上面的展开式,特征多项式中 \(z^{n-1}\) 的系数即为 \(-\operatorname{tr}T\)。证毕。(顺带地,常数项等于 \((-1)^{n}\lambda_1\cdots\lambda_n\),即 \((-1)^n\) 乘以全体特征值之积——这是第 9 章行列式的预告,见下方注记。)
例 6(一图看懂「一阶信息」)。设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbf{C}^3)\) 在某组基下的矩阵为上三角矩阵
\[ \mathcal{M}(T)=\begin{pmatrix}1&7&-2\\0&2&5\\0&0&3\end{pmatrix}, \]则特征值就是对角元 \(1,2,3\)(重数均为 \(1\)),\(\operatorname{tr}T=6\),特征多项式为
\[ \chi_T(z)=(z-1)(z-2)(z-3)=z^{3}-6z^{2}+11z-6. \]\(z^2\) 的系数 \(-6=-\operatorname{tr}T\),常数项 \(-6=(-1)^3(1\cdot 2\cdot 3)\)。下图把这条三次曲线连同三个根画出:
注(常数项、可逆性与行列式预告)。仍设 \(\mathbf{F}=\mathbf{C}\),特征值按重数为 \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\)。由 \(\chi_T(0)=(-\lambda_1)\cdots(-\lambda_n)\) 得:\(T\) 可逆 \(\Longleftrightarrow\) \(0\) 不是特征值 \(\Longleftrightarrow\) \(\lambda_1\cdots\lambda_n\ne 0\) \(\Longleftrightarrow\) 特征多项式的常数项非零。第 9 章将定义行列式 (determinant) 并证明 \(\det T=\lambda_1\cdots\lambda_n\)(按重数),且 \(\det(zI-T)=\chi_T(z)\)(原书 9.62;实、复情形通用的特征多项式新定义见 9.63)。届时 8.54 升级为 \(\chi_T(z)=z^{n}-(\operatorname{tr}T)z^{n-1}+\cdots+(-1)^{n}\det T\),且不再需要 \(\mathbf{F}=\mathbf{C}\) 的假设(原书 9.65)。换言之,迹与行列式分别是特征多项式「第一项」与「最末项」的谱解读。
迹的代数性质 (8.55–8.57)
迹的加法、数乘与乘法性质,全部可以归结为矩阵层面的两条平凡事实(对角元之和的线性性)与一条不平凡的 8.49。首先是一条在内积空间中常用的公式。
定理 8.55(内积空间上的迹)。设 \(V\) 是内积空间,\(T\in\mathcal{L}(V)\),\(e_1,\dots,e_n\) 是 \(V\) 的规范正交基 (orthonormal basis)。则
\[ \operatorname{tr}T=\langle Te_1,e_1\rangle+\cdots+\langle Te_n,e_n\rangle. \]证明。本书记内积对第一个变元线性。由原书 6.30(a),对每个 \(j\),把 \(Te_j\) 按规范正交基展开:\(Te_j=\sum_{k=1}^{n}\langle Te_j,e_k\rangle e_k\),这说明矩阵 \(\mathcal{M}\bigl(T,(e_1,\dots,e_n)\bigr)\) 的 \((j,j)\) 元恰为 \(\langle Te_j,e_j\rangle\)。于是迹(对角元之和,定义 8.51)即为所求公式。证毕。
接下来是本节的主性质定理:迹不仅是线性泛函 (linear functional),还服从「乘法交换律」。
定理 8.56(迹是线性的)。函数 \(\operatorname{tr}\colon\mathcal{L}(V)\to\mathbf{F}\) 是 \(\mathcal{L}(V)\) 上的线性泛函,且对所有 \(S,T\in\mathcal{L}(V)\) 有
\[ \operatorname{tr}(ST)=\operatorname{tr}(TS). \]亦即:\(\operatorname{tr}(S+T)=\operatorname{tr}S+\operatorname{tr}T\)、\(\operatorname{tr}(\lambda T)=\lambda\operatorname{tr}T\)、\(\operatorname{tr}(ST)=\operatorname{tr}(TS)\) 全部成立。
证明。取定 \(V\) 的一组基,以下出现的矩阵均关于这组基。设 \(S,T\in\mathcal{L}(V)\),\(\lambda\in\mathbf{F}\)。
先证数乘。由定义 8.51、原书 3.38( \(\mathcal{M}(\lambda T)=\lambda\mathcal{M}(T)\) )与方阵迹的显然性质:
\[ \operatorname{tr}(\lambda T)=\operatorname{tr}\mathcal{M}(\lambda T)=\operatorname{tr}\bigl(\lambda\mathcal{M}(T)\bigr)=\lambda\operatorname{tr}\mathcal{M}(T)=\lambda\operatorname{tr}T. \]再证加法。由定义 8.51、原书 3.35( \(\mathcal{M}(S+T)=\mathcal{M}(S)+\mathcal{M}(T)\) )与对角元逐项相加:
\[ \operatorname{tr}(S+T)=\operatorname{tr}\mathcal{M}(S+T)=\operatorname{tr}\bigl(\mathcal{M}(S)+\mathcal{M}(T)\bigr)=\operatorname{tr}\mathcal{M}(S)+\operatorname{tr}\mathcal{M}(T)=\operatorname{tr}S+\operatorname{tr}T. \]以上两段说明 \(\operatorname{tr}\) 是 \(\mathcal{L}(V)\) 上的线性泛函。最后证交换律。由定义 8.51、原书 3.43( \(\mathcal{M}(ST)=\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(S)\) )以及本节关键的 8.49:
\[ \operatorname{tr}(ST)=\operatorname{tr}\mathcal{M}(ST)=\operatorname{tr}\bigl(\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(S)\bigr)=\operatorname{tr}\bigl(\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)\bigr)=\operatorname{tr}\mathcal{M}(TS)=\operatorname{tr}(TS), \]其中第三个等号正是 8.49(\(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\))。证毕。
注(唯一刻画)。原书练习 10 指出:在 \(\mathcal{L}(V)\) 的全体线性泛函中,同时满足 \(\varphi(ST)=\varphi(TS)\)(一切 \(S,T\))与 \(\varphi(I)=\dim V\) 的 \(\varphi\) 只有迹一个。也就是说,「交换律 + 在 \(I\) 上取值 \(\dim V\)」把迹唯一地刻画了出来——这是比定义更深刻的刻画。
现在来到本节的高潮:一个陈述中根本不出现「迹」字、却用迹一步证明的定理。(原书页边注的大意是:当一个命题的陈述不含某概念、而证明却离不开它时,背后往往藏着一个好定义——迹正是这样的概念。)
定理 8.57(单位算子不是 \(ST\) 与 \(TS\) 之差)。不存在 \(S,T\in\mathcal{L}(V)\) 使得 \(ST-TS=I\)。
证明。反设存在这样的 \(S,T\)。由 8.56(线性和交换律):
\[ \operatorname{tr}(ST-TS)=\operatorname{tr}(ST)-\operatorname{tr}(TS)=0. \]但 \(\operatorname{tr}I=\dim V\ne 0\)(本章约定 \(V\ne\{0\}\);单位矩阵对角线全是 \(1\))。于是 \(ST-TS\) 与 \(I\) 的迹不相等,二者不可能相等,矛盾。证毕。
注(无穷维与量子理论)。8.57 在无穷维空间上失效:原书练习 13 构造了满足 \(ST-TS=I\) 的线性映射(只需在多项式空间上考虑求导与乘 \(z\))。原书页边还指出,对 \(S,T\) 附加适当假设后,8.57 有重要的无穷维推广,在量子理论中有基本的应用。直观地说:量子力学里位置与动量算符满足正则对易关系 \(PQ-QP=(\hbar/\mathrm{i})I\)(差一个非零常数),而 8.57 恰好说明这类关系不可能由有限维矩阵实现——海森堡的量子世界必须栖居于无穷维空间。此外,在量子力学与统计力学中,可观测量的系综平均本就写成迹 \(\operatorname{tr}(\rho A)\)(\(\rho\) 为密度算子),迹在那里是携带物理意义的主角,而非配角。
结语:谱的一阶信息
把 8.52、8.54 与第 9 章的预告并排来看,图景便完整了:特征多项式把算子的全部特征值打包成一个多项式,而迹与行列式分别从中提取两个最要紧的谱摘要——
- 迹是谱的一阶(加性)信息:\(\operatorname{tr}T=\sum_k d_k\lambda_k\),对应特征多项式 \(z^{n-1}\) 的系数;在算子的直和之下按维数可加,是 \(\mathcal{L}(V)\) 上的线性泛函。
- 行列式(第 9 章)是谱的零阶(乘性)信息:\(\det T=\prod_k\lambda_k^{d_k}\),对应常数项;在算子的复合之下相乘,\(\det(ST)=(\det S)(\det T)\)。
至此,第 8 章「复向量空间上的算子」收官。回顾全章脉络:8.A 引入广义特征向量与幂零算子;8.B 证明广义特征空间分解 (8.22)、定义重数与特征多项式 (8.23、8.26)、证明凯莱–哈密顿定理 (8.29) 并得到分块对角的上三角化 (8.37);8.C 推出可逆算子的平方根 (8.41) 与若尔当形 (8.46);本节 8.D 以迹 (8.47–8.57) 收束——从「分解」到「多项式」,再到「标准形」,最后凝成两个可以脱口而出的数字之一。下一章(第 9 章「多线性代数与行列式」)从 9.A 的双线性型与二次型出发,补齐另一个数字:行列式。
练习
以下练习 1–4、6 取自原书 8.D 节末习题,练习 5 为依原书练习 7 自编的同型题。建议先独立完成,再展开解答。
练习 8.D-1
设 \(T\in\mathcal{L}(V)\) 满足 \(T^2=T\)。证明:\(\operatorname{tr}T=\dim\operatorname{range}T\)。(原书练习 2)
解答先证分解 \(V=\operatorname{null}T\oplus\operatorname{range}T\):对任意 \(v\in V\),写 \(v=(v-Tv)+Tv\),其中 \(Tv\in\operatorname{range}T\),且 \(T(v-Tv)=Tv-T^2v=0\),故 \(v-Tv\in\operatorname{null}T\);又若 \(u\in\operatorname{null}T\cap\operatorname{range}T\),则 \(u=Tw\) 且 \(0=Tu=T^2w=Tw=u\),交为零。取 \(\operatorname{null}T\) 的基与 \(\operatorname{range}T\) 的基拼成 \(V\) 的基。在这组基下:\(T\) 在 \(\operatorname{null}T\) 的基向量上取值 \(0\),在 \(\operatorname{range}T\) 的基向量 \(u=Tw\) 上取值 \(Tu=T^2w=Tw=u\)(恒等)。故矩阵为 \(\operatorname{diag}(0,\dots,0,1,\dots,1)\),其中 \(1\) 恰出现 \(\dim\operatorname{range}T\) 次,于是 \(\operatorname{tr}T=\dim\operatorname{range}T\)。此证明对 \(\mathbf{F}=\mathbf{R}\) 或 \(\mathbf{C}\) 都成立。
练习 8.D-2
设 \(V\) 是内积空间,\(v,w\in V\)。定义 \(T\in\mathcal{L}(V)\) 为 \(Tu=\langle u,v\rangle w\)。求 \(\operatorname{tr}T\) 的公式。(原书练习 1)
解答答案:\(\operatorname{tr}T=\langle w,v\rangle\)。取规范正交基 \(e_1,\dots,e_n\),由 8.55(内积对第一个变元线性):
\[ \operatorname{tr}T=\sum_{j=1}^{n}\langle Te_j,e_j\rangle=\sum_{j=1}^{n}\langle \langle e_j,v\rangle w,\,e_j\rangle=\sum_{j=1}^{n}\langle e_j,v\rangle\langle w,e_j\rangle=\Bigl\langle w,\ \sum_{j=1}^{n}\overline{\langle e_j,v\rangle}\,e_j\Bigr\rangle=\langle w,v\rangle, \]末一步用了 \(\overline{\langle e_j,v\rangle}=\langle v,e_j\rangle\) 及 \(v=\sum_j\langle v,e_j\rangle e_j\)。作为特例:\(w=v\) 时 \(\operatorname{tr}T=\lVert v\rVert^2\)。更一般地(不依赖内积),秩一算子 \(T=u\varphi\)(其中 \(u\in V\)、\(\varphi\in V'\),定义为 \(T(v)=\varphi(v)u\))满足 \(\operatorname{tr}T=\varphi(u)\):把 \(u\) 扩充成基 \(u,e_2,\dots,e_n\),则 \(\mathcal{M}(T)\) 只有第一列可能非零,对角元为 \((\varphi(u),0,\dots,0)\)。
练习 8.D-3
设 \(V\) 是内积空间,\(T\in\mathcal{L}(V)\)。证明:\(\operatorname{tr}(T^{*})=\overline{\operatorname{tr}T}\)。(原书练习 4)
解答取规范正交基 \(e_1,\dots,e_n\),用 8.55 与伴随的定义 \(\langle T^{*}u,w\rangle=\langle u,Tw\rangle\)(见第 7 章):
\[ \operatorname{tr}(T^{*})=\sum_{j=1}^{n}\langle T^{*}e_j,e_j\rangle=\sum_{j=1}^{n}\langle e_j,Te_j\rangle=\sum_{j=1}^{n}\overline{\langle Te_j,e_j\rangle}=\overline{\operatorname{tr}T}. \]推论:\(T\) 自伴 \(\Rightarrow\operatorname{tr}T\in\mathbf{R}\)。
练习 8.D-4
设 \(V\) 是内积空间,\(T\in\mathcal{L}(V)\) 是正算子 (positive operator) 且 \(\operatorname{tr}T=0\)。证明:\(T=0\)。(原书练习 5)
解答由第 7 章,正算子有唯一的正平方根 \(R\)(即 \(R\) 正且 \(R^2=T\)),且 \(R\) 自伴。取规范正交基 \(e_1,\dots,e_n\),由 8.55:
\[ 0=\operatorname{tr}T=\sum_{j=1}^{n}\langle Te_j,e_j\rangle=\sum_{j=1}^{n}\langle R^2e_j,e_j\rangle=\sum_{j=1}^{n}\langle Re_j,Re_j\rangle=\sum_{j=1}^{n}\lVert Re_j\rVert^2. \]每项非负而总和为零,故每项为零,即 \(Re_j=0\) 对所有 \(j\)。线性性与基的张成性给出 \(R=0\),从而 \(T=R^2=0\)。(对照:去掉「正」的假设,结论不真——例 3 的幂零算子迹为零却非零。)
练习 8.D-5
(仿原书练习 7,数据自编)设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbf{C}^3)\) 在标准基下的矩阵为
\[ \begin{pmatrix}0&3&2\\3&0&2\\2&2&5\end{pmatrix}. \]有人准确地告诉你:\(-3\) 与 \(1\) 是 \(T\) 的特征值。不许动笔计算特征多项式,求第三个特征值。
解答看对角线:\(\operatorname{tr}T=0+0+5=5\)。由 8.52,三个特征值(计重数)之和为 \(5\),故第三个特征值为 \(5-(-3)-1=7\)。验证:\((z+3)(z-1)(z-7)=z^{3}-5z^{2}-17z+21\),直接展开 \(\det(zI-\mathcal{M}(T))\) 确实得到同一多项式;再由常数项 \(-21=(-1)^3\bigl((-3)\cdot 1\cdot 7\bigr)\) 顺手读出 \(\det T=21\)(第 9 章)。
练习 8.D-6
判断对错并证明或给出反例:对任意 \(S,T\in\mathcal{L}(V)\),\(\operatorname{tr}(ST)=(\operatorname{tr}S)(\operatorname{tr}T)\)。(原书练习 8)
解答错。取 \(V=\mathbf{F}^{2}\),\(S\) 的矩阵为 \(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\),\(T=I\)。则 \(\operatorname{tr}(ST)=\operatorname{tr}S=1\),而 \((\operatorname{tr}S)(\operatorname{tr}T)=1\times 2=2\),两者不等。顺带一提:迹保持乘法的正确形态是 \(\operatorname{tr}(ST)=\operatorname{tr}(TS)\)(8.56),它把「不可交换」压缩成「交换后迹不变」;而把迹当成乘性泛函则完全行不通。