正算子的定义与几何直观
第 7 章有一条贯穿始终的线索——类比:在有限维内积空间上,取伴随 \(T\mapsto T^{*}\) 犹如复数取共轭 \(z\mapsto\bar z\)。于是,自伴算子(\(T=T^{*}\))对应实数,正规算子对应一般的复数。沿此类比自然要问:非负实数对应什么样的算子?答案就是本节的核心概念——正算子。它既是谱定理最直接的应用对象,也是 7.E、7.F 节中奇异值分解与极分解的基石。
定义 7.34(正算子,positive operator)。设 \(T\in\mathcal{L}(V)\)。称 \(T\) 为正算子,如果 \(T\) 自伴,且
\[ \langle Tv,v\rangle\ge 0\qquad\text{对一切 }v\in V. \]注(术语与简化)。其一,若 \(\mathbf{F}=\mathbf{C}\),则定义中的自伴条件可以省略:由 7.14,复内积空间上 \(T\) 自伴当且仅当 \(\langle Tv,v\rangle\in\mathbf{R}\) 对一切 \(v\) 成立,而 \(\langle Tv,v\rangle\ge 0\) 已蕴含它是实数。实内积空间上不能作此简化:例如 \(\mathbf{R}^{2}\) 上旋转 \(90^\circ\) 的算子满足 \(\langle Tv,v\rangle=0\) 对一切 \(v\) 成立,却并不自伴。其二,正如原书边栏所提醒:既然正算子对应的是非负数,更贴切的称呼本应是 "nonnegative operator";但算子理论界的习惯称其为 positive operator,原书从俗。另一些数学家使用半正定算子 (positive semidefinite operator) 这一名称,含义完全相同。在矩阵层面,满足 \(A^{*}=A\) 且 \(\langle Ax,x\rangle\ge 0\) 对一切 \(x\in\mathbf{F}^{n}\) 成立的矩阵称为半正定矩阵,它恰是 \(\mathbf{F}^{n}\) 上正算子在标准正交基下的矩阵。本站沿用原书术语"正算子"。
先看几个基本例子与一个反例。
例 7.35(a)(一个 \(2\times 2\) 半正定矩阵)。设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbf{F}^{2})\) 在标准基下的矩阵为 \(\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}\)。该矩阵等于自身的共轭转置,故 \(T\) 自伴。对 \((w,z)\in\mathbf{F}^{2}\),有
\[ \langle T(w,z),(w,z)\rangle =2|w|^{2}-2\operatorname{Re}(w\bar z)+|z|^{2} =|w-z|^{2}+|w|^{2}\ \ge 0, \]故 \(T\) 是正算子。
例 7.35(b)(正交投影是正算子)。设 \(U\) 是 \(V\) 的子空间,\(P_U\) 是到 \(U\) 上的正交投影 (orthogonal projection)。由 6.57,\(P_U\) 自伴且 \(P_U^{2}=P_U\)。于是对任意 \(v\in V\),
\[ \langle P_Uv,v\rangle=\langle P_U^{2}v,v\rangle=\langle P_Uv,P_Uv\rangle=\|P_Uv\|^{2}\ \ge 0, \]故 \(P_U\) 是正算子。
例 7.35(c)(自伴算子的二次多项式)。设 \(T\in\mathcal{L}(V)\) 自伴,\(b,c\in\mathbf{R}\) 满足 \(b^{2}\lt 4c\)。则 \(T^{2}+bT+cI\) 自伴;且对任意 \(v\ne 0\),由 Cauchy–Schwarz 不等式 \(\lvert\langle Tv,v\rangle\rvert\le\|Tv\|\,\|v\|\) 得
\[ \langle (T^{2}+bT+cI)v,v\rangle =\|Tv\|^{2}+b\langle Tv,v\rangle+c\|v\|^{2} \ge \|Tv\|^{2}-|b|\,\|Tv\|\,\|v\|+c\|v\|^{2} \] \[ =\Bigl(\|Tv\|-\frac{|b|}{2}\|v\|\Bigr)^{2}+\Bigl(c-\frac{b^{2}}{4}\Bigr)\|v\|^{2}\ \ge 0, \]故 \(T^{2}+bT+cI\) 是正算子(这一计算正是 7.B 节 7.26 证明的核心;由 7.D 的 7.61 可知它还是正的可逆算子)。
例(\(T^{*}T\) 总是正算子)。设 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\) 是任意线性映射。则 \((T^{*}T)^{*}=T^{*}T\),且
\[ \langle T^{*}Tv,v\rangle=\langle Tv,Tv\rangle=\|Tv\|^{2}\ \ge 0, \]故 \(T^{*}T\) 是 \(V\) 上的正算子。这正是 7.E 节 7.64(a) 的内容,也是奇异值理论的出发点。
反例(自伴不保证正)。\(\mathbf{F}^{2}\) 上矩阵为 \(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\) 的算子自伴,但取 \(v=(0,1)\) 得 \(\langle Tv,v\rangle=-1\lt 0\),故它不是正算子。可见"自伴"对应"实数","正"对应"非负实数",二者确有实质差别。
几何直观。设 \(\dim V=2\),\(T\) 是正算子。取 \(T\) 的单位特征向量 \(e_1,e_2\)(它们标准正交),对应特征值 \(\lambda_1\ge\lambda_2\ge 0\)。单位圆上的点 \(v=\cos t\,e_1+\sin t\,e_2\) 被映为
\[ Tv=\lambda_1\cos t\,e_1+\lambda_2\sin t\,e_2, \]即一个以特征向量方向 \(e_1,e_2\) 为对称轴、半轴长为 \(\lambda_1,\lambda_2\) 的椭圆。换言之,正算子的作用就是沿一组相互垂直的方向作非负伸缩:既不发生翻转(负特征值才会把该轴方向翻转),也不像非自伴算子那样再附加旋转或剪切,见图 1。这一直观在 7.F 节将升级为一般结论:每个可逆算子都把单位球映成椭球,其主轴方向与半轴长恰由奇异值分解给出(7.99)。
正算子的等价刻画
下述定理给出正算子的六种等价刻画,是本节的核心。请把它与 7.B 节的谱定理对照:证明的关键一步正是"自伴算子可面对角化"。
定理 7.38(正算子的刻画)。设 \(T\in\mathcal{L}(V)\)。则下列条件等价:
- (a) \(T\) 是正算子;
- (b) \(T\) 自伴且 \(T\) 的所有特征值都是非负实数;
- (c) 关于 \(V\) 的某个标准正交基,\(T\) 的矩阵是对角矩阵,且对角元均为非负数;
- (d) \(T\) 有正的平方根(即存在正算子 \(R\) 使 \(R^{2}=T\));
- (e) \(T\) 有自伴的平方根;
- (f) 存在 \(R\in\mathcal{L}(V)\) 使 \(T=R^{*}R\)。
证明。按 (a)\(\Rightarrow\)(b)\(\Rightarrow\)(c)\(\Rightarrow\)(d)\(\Rightarrow\)(e)\(\Rightarrow\)(f)\(\Rightarrow\)(a) 的路线证明。
(a)\(\Rightarrow\)(b):设 (a) 成立,则 \(T\) 按定义自伴。设 \(\lambda\) 是 \(T\) 的特征值,取对应的特征向量 \(v\),则
\[ 0\le\langle Tv,v\rangle=\langle\lambda v,v\rangle=\lambda\langle v,v\rangle, \]而 \(\langle v,v\rangle\gt 0\),故 \(\lambda\ge 0\),即 (b) 成立。
(b)\(\Rightarrow\)(c):设 (b) 成立。由谱定理(实情形 7.29,复情形 7.31),存在由 \(T\) 的特征向量构成的标准正交基 \(e_1,\dots,e_n\);设 \(Te_k=\lambda_ke_k\),各 \(\lambda_k\ge 0\)。则 \(T\) 关于该基的矩阵是对角矩阵 \(\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\),对角元均非负,即 (c) 成立。
(c)\(\Rightarrow\)(d):设 (c) 成立,即存在标准正交基 \(e_1,\dots,e_n\) 使 \(T\) 的矩阵为 \(\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\),\(\lambda_k\ge 0\)。由线性映射引理 (3.4),存在 \(R\in\mathcal{L}(V)\) 满足 \(Re_k=\sqrt{\lambda_k}\,e_k\)。在该基下 \(R\) 的矩阵是实对角矩阵,故 \(R\) 自伴;且对 \(v=\sum_k a_ke_k\),
\[ \langle Rv,v\rangle=\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\lambda_k}\,|a_k|^{2}\ \ge 0, \]故 \(R\) 是正算子。又 \(R^{2}e_k=\lambda_ke_k=Te_k\) 对每个 \(k\) 成立,故 \(R^{2}=T\),即 \(T\) 有正平方根,(d) 成立。
(d)\(\Rightarrow\)(e):正算子按定义自伴,故 (d) 中的 \(R\) 就是自伴的平方根。
(e)\(\Rightarrow\)(f):设 \(R\) 自伴且 \(R^{2}=T\),则 \(T=R^{2}=R^{*}R\),(f) 成立。
(f)\(\Rightarrow\)(a):设 \(T=R^{*}R\)。由 7.5,\(T^{*}=(R^{*}R)^{*}=R^{*}(R^{*})^{*}=R^{*}R=T\),故 \(T\) 自伴;且对任意 \(v\in V\),
\[ \langle Tv,v\rangle=\langle R^{*}Rv,v\rangle=\langle Rv,Rv\rangle=\|Rv\|^{2}\ \ge 0, \]故 \(T\) 是正算子,(a) 成立。证毕。
注。这六款与"\(\mathbf{C}\) 中非负数"的刻画逐条平行,正如原书边栏所指出:复数 \(z\) 非负当且仅当它有非负平方根(对应 (d));当且仅当它有实平方根(对应 (e));当且仅当存在 \(w\) 使 \(z=w\bar w\)(对应 (f))。最常用的两款是 (a)\(\Leftrightarrow\)(b)——判定正性只需求出全部特征值——以及 (a)\(\Leftrightarrow\)(f),后者把任意算子 \(T\) 与正算子 \(T^{*}T\) 联系起来,是奇异值的来源。原书习题 20 还给出另一等价条件:关于某个(等价地,每个)标准正交基,由 \(\beta_{jk}=\langle Te_k,e_j\rangle\) 定义的半双线性型 \(\langle\sum_j c_je_j,\sum_k c_ke_k\rangle_T=\sum_{j,k}\beta_{jk}c_j\bar c_k\) 恒非负。
平方根:存在性与唯一性
定义 7.36(平方根,square root)。设 \(T\in\mathcal{L}(V)\)。称 \(R\in\mathcal{L}(V)\) 为 \(T\) 的平方根,如果 \(R^{2}=T\)。
例 7.37(平方根远不唯一)。设 \(T\in\mathcal{L}(\mathbf{F}^{3})\) 定义为 \(T(z_1,z_2,z_3)=(z_3,0,0)\),则 \(R(z_1,z_2,z_3)=(z_2,z_3,0)\) 满足 \(R^{2}=T\),是 \(T\) 的一个平方根。事实上,当 \(\dim V\gt 1\) 时,恒等算子 \(I\) 有无穷多个平方根(见练习 6)。因此,下面关于正平方根唯一性的结论绝非平凡。
每个非负实数有唯一的非负平方根。正算子享有完全类似的性质:存在性已由 7.38 的 (c)\(\Rightarrow\)(d) 给出,原书将其合并成如下定理,并补上唯一性。
定理 7.39(每个正算子只有一个正平方根)。\(V\) 上每个正算子都有唯一的正平方根。
证明。存在性:若 \(T\) 正,则 7.38 的 (c)\(\Rightarrow\)(d) 已构造出正平方根。唯一性:设 \(T\) 正,\(R\) 是 \(T\) 的任意一个正平方根。我们证明:\(R\) 在 \(T\) 的每个特征向量上的取值都被 \(T\) 完全确定。因为由谱定理,\(V\) 有一组由 \(T\) 的特征向量构成的标准正交基,于是 \(R\) 在一组基上的取值确定,从而 \(R\) 本身唯一确定。
设 \(v\) 是 \(T\) 的特征向量,\(Tv=\lambda v\),\(v\ne 0\)。由 7.38(b),\(\lambda\ge 0\)。对正算子 \(R\) 用谱定理:存在由 \(R\) 的特征向量构成的标准正交基 \(e_1,\dots,e_n\);又 \(R\) 的特征值均非负,故可写成 \(Re_k=\sqrt{\lambda_k}\,e_k\),其中 \(\lambda_k\ge 0\)。把 \(v\) 在该基下展开:\(v=a_1e_1+\cdots+a_ne_n\)。则
\[ Rv=a_1\sqrt{\lambda_1}\,e_1+\cdots+a_n\sqrt{\lambda_n}\,e_n,\qquad R^{2}v=a_1\lambda_1e_1+\cdots+a_n\lambda_ne_n. \]由 \(R^{2}=T\) 得 \(R^{2}v=Tv=\lambda v=a_1\lambda e_1+\cdots+a_n\lambda e_n\),比较系数得 \(a_k(\lambda-\lambda_k)=0\) 对每个 \(k\) 成立。于是仅当 \(\lambda_k=\lambda\) 时 \(a_k\) 才可能非零,从而
\[ Rv=\sum_{\{k:\lambda_k=\lambda\}}a_k\sqrt{\lambda}\,e_k=\sqrt{\lambda}\,v. \]这正是所要证的。证毕。
记号 7.40(\(\sqrt{T}\))。对正算子 \(T\),记 \(\sqrt{T}\) 为 \(T\) 的唯一正平方根。于是 \((\sqrt{T})^{2}=T\),且 \(T=\sqrt{T}^{*}\sqrt{T}\)。
定理 7.39 的证明实际上给出了 \(\sqrt{T}\) 的构造方法:这是一个纯粹的谱操作——在由 \(T\) 的特征向量组成的标准正交基下,把每个特征值 \(\lambda_k\ge 0\) 换成其非负平方根 \(\sqrt{\lambda_k}\),特征向量一概不动,见图 2。
例 7.41(\(\mathbf{R}^{2}\) 上的两个正算子及其平方根)。在具有通常欧几里得内积的 \(\mathbf{R}^{2}\) 上定义 \(S(x,y)=(x,2y)\),\(T(x,y)=(x+y,x+y)\)。关于标准基,
\[ \mathcal{M}(S)=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix},\qquad \mathcal{M}(T)=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} \](即原书 7.42)。两个矩阵都等于自身的转置,故 \(S,T\) 自伴;且对 \((x,y)\in\mathbf{R}^{2}\),
\[ \langle S(x,y),(x,y)\rangle=x^{2}+2y^{2}\ \ge 0,\qquad \langle T(x,y),(x,y)\rangle=x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}\ \ge 0, \]故 \(S,T\) 都是正算子。标准基本身就是 \(S\) 的特征向量基;而 \(\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1)\)(特征值 2)与 \(\tfrac{1}{\sqrt2}(1,-1)\)(特征值 0)是 \(T\) 的特征向量基,于是 \(\sqrt{T}\) 与 \(T\) 有相同的特征向量、特征值为 \(\sqrt2\) 与 \(0\)。开平方即得
\[ \mathcal{M}(\sqrt{S})=\begin{pmatrix}1&0\\0&\sqrt2\end{pmatrix},\qquad \mathcal{M}(\sqrt{T})=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{\sqrt2}&\tfrac{1}{\sqrt2}\\[3pt]\tfrac{1}{\sqrt2}&\tfrac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix}, \]验证的方法是:上述矩阵的平方分别等于 \(\mathcal{M}(S)\) 与 \(\mathcal{M}(T)\),且它们各自都是正算子的矩阵。
例(对具体半正定矩阵求正平方根)。求 \(T=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}\) 的正平方根。特征方程为 \((5-\lambda)^{2}-16=0\),即 \(\lambda^{2}-10\lambda+9=0\),解得 \(\lambda_1=9\)、\(\lambda_2=1\),对应的单位特征向量为 \(e_1=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1)\) 与 \(e_2=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,-1)\)。令 \(Q=\tfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\),则 \(Q\) 是正交矩阵(\(Q^{*}=Q\)),且 \(T=Q\,\operatorname{diag}(9,1)\,Q^{*}\)。对特征值开平方、特征向量不动:
\[ \sqrt{T}=Q\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}Q^{*} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}. \]验证:\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}^{2}=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}\),且其特征值 \(3\) 与 \(1\) 均为正,故它确是 \(T\) 的正平方根。
平方根还是一件趁手的工具。下面的结论本身与平方根毫无关系,但用 \(\sqrt{T}\) 来证明极为干净——这也是原书安排它的用意。
定理 7.43(\(T\) 正且 \(\langle Tv,v\rangle=0\Rightarrow Tv=0\))。设 \(T\) 是 \(V\) 上的正算子,\(v\in V\) 满足 \(\langle Tv,v\rangle=0\)。则 \(Tv=0\)。
证明。由 \((\sqrt{T})^{2}=T\) 及 \(\sqrt{T}\) 自伴,并利用伴随的定义 \(\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^{*}y\rangle\),得
\[ 0=\langle Tv,v\rangle=\langle \sqrt{T}(\sqrt{T}v),v\rangle=\langle \sqrt{T}v,(\sqrt{T})^{*}v\rangle =\langle \sqrt{T}v,\sqrt{T}v\rangle=\|\sqrt{T}v\|^{2}. \]故 \(\sqrt{T}v=0\),从而 \(Tv=\sqrt{T}(\sqrt{T}v)=0\)。证毕。
注。对一般算子,由 \(\langle Tv,v\rangle=0\) 推不出 \(Tv=0\):\(\mathbf{R}^{2}\) 上旋转 \(90^\circ\) 的算子使 \(\langle Tv,v\rangle=0\) 对一切 \(v\) 成立,却显然不是零算子。可见正性(它至少蕴含自伴)是使上述推理成立的关键。与之互补的是 7.A 节的 7.16:自伴算子若满足 \(\langle Tv,v\rangle=0\) 对一切 \(v\),则 \(T=0\)。定理 7.43 的优势在于只需对单个 \(v\) 检验,这正是它在 7.E 节证明 \(\operatorname{null}\sqrt{T^{*}T}=\operatorname{null}T\)(7.64(b))时大显身手的原因。
正算子的运算
正算子在常见运算下有良好的封闭性。以下诸条在原书中以习题 7C 的形式出现(第 1、6、9、12、18 题等),这里集中陈述并给出证明。
命题 1(和与非负倍数;原书习题 6)。若 \(S,T\) 是 \(V\) 上的正算子,则 \(S+T\) 是正算子;若 \(T\) 正且 \(\alpha\ge 0\),则 \(\alpha T\) 正。
证明。由伴随的性质 (7.5),\((S+T)^{*}=S^{*}+T^{*}=S+T\),\((\alpha T)^{*}=\alpha T^{*}=\alpha T\),故自伴。对任意 \(v\in V\),\(\langle (S+T)v,v\rangle=\langle Sv,v\rangle+\langle Tv,v\rangle\ge 0\);\(\langle \alpha Tv,v\rangle=\alpha\langle Tv,v\rangle\ge 0\)。证毕。
命题 2(\(T\) 与 \(-T\) 均正 \(\Rightarrow T=0\);原书习题 1)。设 \(T\in\mathcal{L}(V)\)。若 \(T\) 与 \(-T\) 都是正算子,则 \(T=0\)。
证明。对任意 \(v\in V\),正性同时给出 \(\langle Tv,v\rangle\ge 0\) 与 \(\langle -Tv,v\rangle=-\langle Tv,v\rangle\ge 0\),故 \(\langle Tv,v\rangle=0\) 对一切 \(v\) 成立。又 \(T\) 正,故自伴,由 7.16 得 \(T=0\)。证毕。
命题 3(合同保持正性;原书习题 9)。设 \(T\) 是 \(V\) 上的正算子,\(S\in\mathcal{L}(W,V)\)。则 \(S^{*}TS\) 是 \(W\) 上的正算子。
证明。\((S^{*}TS)^{*}=S^{*}T^{*}(S^{*})^{*}=S^{*}TS\),故自伴;且对 \(w\in W\),\(\langle S^{*}TSw,w\rangle=\langle T(Sw),Sw\rangle\ge 0\)。证毕。特别地,取 \(S\) 可逆便知:正性在合同变换下不变,这正是矩阵论中"合同变换保持半正定性"的算子表述。
命题 4(幂;原书习题 12)。若 \(T\) 是正算子,\(k\) 为正整数,则 \(T^{k}\) 是正算子。
证明。首先 \((T^{k})^{*}=(T^{*})^{k}=T^{k}\),故 \(T^{k}\) 自伴。由谱定理取 \(T\) 的标准正交特征基 \(e_1,\dots,e_n\),设 \(Te_j=\lambda_je_j\),\(\lambda_j\ge 0\);则 \(T^{k}e_j=\lambda_j^{k}e_j\) 且 \(\lambda_j^{k}\ge 0\),故 \(T^{k}\) 的特征值均非负,由 7.38(b) 知 \(T^{k}\) 正。证毕。
命题 5(乘积;原书习题 18)。设 \(S,T\) 是 \(V\) 上的正算子。则 \(ST\) 是正算子当且仅当 \(ST=TS\)。
证明。若 \(ST\) 正,则 \(ST\) 自伴,于是 \(ST=(ST)^{*}=T^{*}S^{*}=TS\)。反之,设 \(ST=TS\)。由谱定理的推广形式(见 7.B 节习题 16、17:两两交换的自伴算子族可同时对角化),存在 \(V\) 的标准正交基 \(e_1,\dots,e_n\) 与非负数 \(\lambda_j,\mu_j\),使 \(Se_j=\lambda_je_j\)、\(Te_j=\mu_je_j\)。于是 \(STe_j=\lambda_j\mu_je_j\) 且 \(\lambda_j\mu_j\ge 0\);又 \(ST\) 自伴(\((ST)^{*}=T^{*}S^{*}=TS=ST\)),故由 7.38(b) 知 \(ST\) 正。证毕。
注(算子的半序)。借助命题 1 与命题 2,可在自伴算子之集上定义半序:\(S\le T\) 当且仅当 \(T-S\) 是正算子。此时自反性成立(\(T-T=0\) 是正算子);反对称性成立(\(S\le T\) 且 \(T\le S\) 意味着 \(T-S\) 与 \(-(T-S)\) 均正,由命题 2 得 \(T=S\));传递性成立(正算子之和正)。于是"正算子"恰是"\(\ge 0\)"的算子。原书不展开这一序关系;这里仅提醒:它与乘法并不完全相容,只有当相关算子两两交换时才有良好的结论(对照命题 5)。
面向奇异值分解与极分解
本节的概念马上会在本章后半部分发挥中心作用,这里作一预告,细节留待 7.D–7.F 节。
- 奇异值 (singular values)。对任意 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\),前文的 \(T^{*}T\) 是 \(V\) 上的正算子 (7.64(a)),其特征值全为非负数。把这些特征值按降序开平方,得到的一串非负数称为 \(T\) 的奇异值 (7.65)。于是"开平方"在这里出现了两次:先对算子取平方根得 \(\sqrt{T^{*}T}\),再对数开平方得 \(s_k=\sqrt{\lambda_k}\)。
- 奇异值分解 (SVD)。7.70 证明:设 \(T\in\mathcal{L}(V,W)\) 的正奇异值为 \(s_1,\dots,s_m\),则存在 \(V\) 中的标准正交组 \(e_1,\dots,e_m\) 与 \(W\) 中的标准正交组 \(f_1,\dots,f_m\),使
极分解 (polar decomposition)。类比复数的分解 \(z=\frac{z}{|z|}\,|z|=\frac{z}{|z|}\sqrt{z\bar z}\),7.93 证明每个 \(T\in\mathcal{L}(V)\) 都可写成
\[ T=S\sqrt{T^{*}T}, \]其中 \(S\) 是酉算子(在复空间即酉算子,在实空间即正交算子,统称等距算子)。这里正算子 \(\sqrt{T^{*}T}\) 扮演 \(|z|\) 的角色,酉因子 \(S\) 扮演 \(z/|z|\) 的角色。此外,7.F 节还将证明:可逆算子把单位球映成椭球,其主轴恰为 \(s_kf_k\)(7.99)——这正是图 1 的高维推广。按本站目录,等距算子、酉算子、QR 分解与 Cholesky 分解见 7.D 节,奇异值分解见 7.E 节,极分解与椭球定理见 7.F 节。
注记:术语与物理学联想
术语。如前所述,原书的 positive operator 即通常所说的半正定 (positive semidefinite) 算子。与之相配,7.D 节将讨论正定(positive definite / positive invertible)概念:自伴算子 \(T\) 称为正可逆算子,如果 \(\langle Tv,v\rangle\gt 0\) 对一切非零 \(v\) 成立;7.61 说明这等价于"\(T\) 是正算子且可逆"。矩阵层面,正定矩阵 \(B\) 有著名的 Cholesky 分解 \(B=R^{*}R\),其中 \(R\) 是对角元全正的上三角矩阵 (7.63)——其证明正是把本节的 7.38(f) 与 QR 分解结合起来。读者不妨记住这条脉络:谱定理 \(\Rightarrow\) 正算子 \(\Rightarrow\) 平方根 \(\Rightarrow\) 奇异值与极分解。
量子力学联想。在量子力学中,可观测量 (observable) 由希尔伯特空间上的自伴算子表示,算子的谱就是可能测得的数值。若可观测量是(无穷维意义下同样定义的)正算子,则其谱含于 \([0,\infty)\),测量结果必为非负——能量、粒子数等物理量皆属此类;取值仅为 \(0\) 或 \(1\) 的投影算子(例 7.35(b))对应"是/否"型测量。描述混合态的密度算子 (density operator) 则是迹为 \(1\) 的正算子:对任意态向量 \(\psi\),\(\langle \psi,T\psi\rangle\ge 0\) 正是概率非负性的数学体现。有限维情形下,本节的谱定理与正算子理论为这些论断提供了严格的基础。
练习
以下练习部分取材自原书习题 7C(第 1、3、16、13、17、19 题),均附解答或提示;建议先自行尝试。
练习 7.C-1
设 \(T\in\mathcal{L}(V)\)。证明:若 \(T\) 与 \(-T\) 都是正算子,则 \(T=0\)。
解答对任意 \(v\in V\),由 \(T\) 正得 \(\langle Tv,v\rangle\ge 0\),由 \(-T\) 正得 \(-\langle Tv,v\rangle\ge 0\),故 \(\langle Tv,v\rangle=0\) 对一切 \(v\) 成立。又 \(T\) 正蕴含 \(T\) 自伴,由 7.16 即得 \(T=0\)。
练习 7.C-2
设 \(n\) 为正整数,\(T\in\mathcal{L}(\mathbf{F}^{n})\) 在标准基下的矩阵所有元素全为 \(1\)。证明 \(T\) 是正算子。
解答记 \(u=(1,\dots,1)\in\mathbf{F}^{n}\),则 \(Tv=\langle v,u\rangle\,u\)(按原书约定内积对第一个变量线性)。自伴性:对任意 \(v,w\),\(\langle Tv,w\rangle=\langle v,u\rangle\langle u,w\rangle=\overline{\langle w,u\rangle}\,\langle v,u\rangle=\langle v,Tw\rangle\)。正性:\(\langle Tv,v\rangle=\langle v,u\rangle\langle u,v\rangle=|\langle v,u\rangle|^{2}\ge 0\)。故 \(T\) 正。(另一途径:令 \(S\in\mathcal{L}(\mathbf{F}^{n},\mathbf{F})\),\(Sv=\langle v,u\rangle\),则 \(T=S^{*}S\),用 7.38(f)。)
练习 7.C-3
设 \(T\) 是 \(V\) 上的正算子。证明 \(\operatorname{null}\sqrt{T}=\operatorname{null}T\),且 \(\operatorname{range}\sqrt{T}=\operatorname{range}T\)。
解答若 \(\sqrt{T}v=0\),则 \(Tv=\sqrt{T}(\sqrt{T}v)=0\),故 \(\operatorname{null}\sqrt{T}\subseteq\operatorname{null}T\)。反之若 \(Tv=0\),则仿 7.43 的证明:\(0=\langle Tv,v\rangle=\|\sqrt{T}v\|^{2}\),得 \(\sqrt{T}v=0\)。两个零空间相等。再看值域:\(\sqrt{T}\) 自伴,故由 7.6(b),\(\operatorname{range}\sqrt{T}=\operatorname{range}(\sqrt{T})^{*}=(\operatorname{null}\sqrt{T})^{\bot}=(\operatorname{null}T)^{\bot}=\operatorname{range}T^{*}=\operatorname{range}T\)。
练习 7.C-4
设 \(T\in\mathcal{L}(V)\) 自伴,\(\alpha\in\mathbf{R}\)。证明:\(T-\alpha I\) 是正算子当且仅当 \(\alpha\) 小于或等于 \(T\) 的每个特征值。
解答\(T-\alpha I\) 显然自伴。设 \(v\) 是 \(T\) 的特征向量,\(Tv=\lambda v\),则 \((T-\alpha I)v=(\lambda-\alpha)v\);由谱定理,\(T-\alpha I\) 的特征值恰为诸 \(\lambda-\alpha\)。于是由 7.38(b),\(T-\alpha I\) 正 \(\iff\) \(\lambda-\alpha\ge 0\) 对 \(T\) 的每个特征值 \(\lambda\) 成立 \(\iff\) \(\alpha\le\min_j\lambda_j\)。
练习 7.C-5
设 \(T\in\mathcal{L}(V)\) 是正算子。证明:存在实系数多项式 \(p\),使得 \(\sqrt{T}=p(T)\)。
解答由谱定理,取 \(T\) 的互异特征值 \(\mu_1,\dots,\mu_m\ge 0\)。由拉格朗日插值,存在实系数多项式 \(p\) 满足 \(p(\mu_j)=\sqrt{\mu_j}\)(\(j=1,\dots,m\))。对 \(T\) 的属于 \(\mu_j\) 的特征向量 \(v\),有 \(p(T)v=p(\mu_j)v=\sqrt{\mu_j}\,v\);而由 7.39 的证明,\(\sqrt{T}v=\sqrt{\mu_j}\,v\)。因为 \(T\) 的特征向量张成 \(V\),故 \(\sqrt{T}=p(T)\)。这顺便说明 \(\sqrt{T}\) 与一切和 \(T\) 交换的算子交换。
练习 7.C-6
证明:当 \(\dim V\gt 1\) 时,恒等算子 \(I\) 在 \(V\) 上有无穷多个自伴平方根,但正平方根只有一个。
解答先看 \(\mathbf{F}^{2}\):对每个 \(\theta\in\mathbf{R}\),令 \(R_\theta\) 的矩阵为 \(\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\[2pt]\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}\)。该矩阵对称,故 \(R_\theta\) 自伴;直接计算 \(R_\theta^{2}=I\)。不同的 \(\theta\) 给出不同的算子,故平方根有无穷多个。一般地,取 \(V\) 的二维子空间 \(U\) 及其正交补,在 \(U\) 上放置 \(R_\theta\)、在 \(U^{\bot}\) 上放置 \(I\),即得 \(V\) 上的自伴平方根,仍有无穷多个。唯一性:若 \(R\) 正且 \(R^{2}=I\),则 \(R\) 的每个特征值 \(\lambda\) 满足 \(\lambda^{2}=1\) 且 \(\lambda\ge 0\),故 \(\lambda=1\);由谱定理,\(V\) 有由 \(R\) 的特征向量组成的基,于是 \(R=I\)。这与定理 7.39 一致。