7.D 等距算子、酉算子与矩阵分解

证明. (a)\(\Rightarrow\)(b):设 \(S\) 是等距算子。对任意 \(v\in V\),

算子 \(I-S^*S\) 是自伴的,故由 7.A 节的结果(自伴算子 \(T\) 若满足 \(\langle Tv,v\rangle=0\) 对一切 \(v\) 成立,则 \(T=0\),原书 7.16)得 \(I-S^*S=0\),即 \(S^*S=I\)。

(b)\(\Rightarrow\)(c):若 \(S^*S=I\),则对 \(u,v\in V\),

(c)\(\Rightarrow\)(d):取 \(u=e_j\),\(v=e_k\),得 \(\langle Se_j,Se_k\rangle=\langle e_j,e_k\rangle\),后者当 \(j=k\) 时为 1、当 \(j\ne k\) 时为 0,故 \(Se_1,\dots,Se_n\) 是标准正交组。

(d)\(\Rightarrow\)(e):记 \(A=\mathcal{M}\bigl(S,(e_1,\dots,e_n),(f_1,\dots,f_m)\bigr)\),则 \(Se_k=\sum_{j=1}^m A_{j,k}f_j\)。由 \(f_1,\dots,f_m\) 标准正交,对任意 \(k,r\in\{1,\dots,n\}\),

上式左端恰是 \(A\) 的第 \(k\) 列与第 \(r\) 列(视为 \(\mathbb{F}^m\) 中的向量)的欧几里得内积,故 \(A\) 的列是标准正交组。

(e)\(\Rightarrow\)(a):设 \(A\) 的列是 \(\mathbb{F}^m\) 中的标准正交组。上面的计算反过来说明 \(\langle Se_k,Se_r\rangle\) 等于 \(A\) 的第 \(k\) 列与第 \(r\) 列的内积,从而 \(Se_1,\dots,Se_n\) 是 \(W\) 中的标准正交组。于是例 1 的论证(把 \(Se_1,\dots,Se_n\) 当作那里的 \(g_1,\dots,g_n\))表明 \(\|Sv\|=\|v\|\) 对一切 \(v\in V\) 成立,即 \(S\) 是等距算子。

至此 (a)\(\Rightarrow\)(b)\(\Rightarrow\)(c)\(\Rightarrow\)(d)\(\Rightarrow\)(e)\(\Rightarrow\)(a),证明完成。∎

证明. (a)\(\Rightarrow\)(b):设 \(S\) 酉。由 \(S\) 是等距算子及定理 7.49 中 (a) 与 (b) 的等价,得 \(S^*S=I\)。两边右乘 \(S^{-1}\),得 \(S^*=S^{-1}\),于是 \(SS^*=SS^{-1}=I\)。

(b)\(\Rightarrow\)(c):这正是可逆与逆的定义。

(c)\(\Rightarrow\)(d):由 \(S^{-1}=S^*\) 得 \(S^*S=I\),故由定理 7.49 中 (b) 与 (d) 的等价,\(Se_1,\dots,Se_n\) 是标准正交组;其长度恰为 \(n=\dim V\),而 \(n\) 个向量组成的标准正交组线性无关,故是 \(V\) 的标准正交基。

(d)\(\Rightarrow\)(e):由 (d) 及定理 7.49 中 (a) 与 (d) 的等价,\(S\) 是等距算子;作为有限维空间上的算子,\(S\) 可逆,故 \(S\) 酉。于是由本证明中已经建立的 (a)\(\Rightarrow\)(b),有 \(SS^*=I\),从而

由定理 7.49((a) 与 (b) 等价,应用于 \(S^*\))知 \(S^*\) 是等距算子;再由 7.49((a) 与 (e) 等价),\(\mathcal{M}(S^*,(e_1,\dots,e_n))\) 的列构成 \(\mathbb{F}^n\) 的标准正交组。而 \(\mathcal{M}(S^*)=\mathcal{M}(S)^*\)(共轭转置),故 \(\mathcal{M}(S)\) 的第 \(k\) 行逐分量取共轭后恰是 \(\mathcal{M}(S^*)\) 的第 \(k\) 列;对一组向量逐个取共轭不改变它们之间内积是否为零、也不改变范数(因为 \(\langle \bar x,\bar y\rangle=\overline{\langle x,y\rangle}\)),故 \(\mathcal{M}(S)\) 的各行构成 \(\mathbb{F}^n\) 的标准正交基。

(e)\(\Rightarrow\)(f):(e) 说明 \(\mathcal{M}(S^*)\) 的列(即 \(\mathcal{M}(S)\) 各行的共轭)构成 \(\mathbb{F}^n\) 的标准正交基,由定理 7.49 中 (a) 与 (e) 的等价,\(S^*\) 是等距算子,从而(作为有限维空间上的算子)可逆,故 \(S^*\) 酉。

(f)\(\Rightarrow\)(a):把已证的 (a)\(\Rightarrow\)(f) 应用于 \(S^*\),得 \((S^*)^*=S\) 是酉算子。

于是 (a)\(\Rightarrow\)(b)\(\Rightarrow\)(c)\(\Rightarrow\)(d)\(\Rightarrow\)(e)\(\Rightarrow\)(f)\(\Rightarrow\)(a),证毕。∎

证明. 设 \(S\in\mathcal{L}(V)\) 酉,\(\lambda\) 是 \(S\) 的特征值,取 \(v\ne 0\) 使 \(Sv=\lambda v\)。则

由 \(\|v\|\ne 0\) 得 \(|\lambda|=1\)。∎

证明. (a)\(\Rightarrow\)(b):设 \(S\) 酉。由定理 7.53(b),\(S\) 正规,故复谱定理(7.B 节)给出由 \(S\) 的特征向量构成的标准正交基;再由定理 7.54,相应特征值的绝对值全为 1。

(b)\(\Rightarrow\)(a):设 \(e_1,\dots,e_n\) 是由 \(S\) 的特征向量构成的标准正交基,对应特征值 \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\),每个 \(|\lambda_k|=1\)。则对任意 \(j,k\),

其中用到 \(|\lambda_j|=1\) 保证 \(\lambda_j\overline{\lambda_j}=1\)。故 \(Se_1,\dots,Se_n\) 是标准正交基,由定理 7.53 中 (a) 与 (d) 的等价,\(S\) 酉。∎

证明. 记 \(Q\) 的第 \(k\) 列为 \(q_k\in\mathbb{F}^n\)、第 \(j\) 行为 \(r_j\)。按欧几里得内积(对第一个变量线性)直接展开矩阵乘积:

故"各列标准正交"等价于 \(Q^*Q=I\),"各行标准正交"等价于 \(QQ^*=I\)。

(a)\(\Rightarrow\)(d):设各列标准正交,则 \(Q^*Q=I\)。此时映射 \(v\mapsto Qv\) 是单射(\(Qv=0\Rightarrow Q^*Qv=0\Rightarrow v=0\)),而有限维方阵情形单射即可逆,故 \(Q\) 可逆;在 \(Q^*Q=I\) 两边左乘 \(Q^{-1}\) 得 \(Q^*=Q^{-1}\),于是 \(QQ^*=I\)。

(d)\(\Rightarrow\)(b) 与 (b)\(\Rightarrow\)(d):由上面两个展开式,"行标准正交"即 \(QQ^*=I\),此时 \(Q\) 可逆且 \(Q^{-1}=Q^*\)(同法论证),故 \(Q^*Q=I\)。于是 (b) 与 (d) 等价。

(d)\(\Rightarrow\)(c):若 \(Q^*Q=I\),则 \(\|Qv\|^2=\langle Qv,Qv\rangle=\langle Q^*Qv,v\rangle=\langle v,v\rangle=\|v\|^2\)。

(c)\(\Rightarrow\)(a):设 \(\|Qv\|=\|v\|\) 对一切 \(v\)。由极化恒等式,内积可由范数表出:当 \(\mathbb{F}=\mathbb{R}\) 时

当 \(\mathbb{F}=\mathbb{C}\) 时再补上虚部项 \(\tfrac{i}{4}\bigl(\|u-iv\|^2-\|u+iv\|^2\bigr)\)。对 \(Qu,Qv\) 应用同一恒等式并利用 \(\|Qw\|=\|w\|\)(线性性保证 \(Q(u\pm v)=Qu\pm Qv\) 等),得 \(\langle Qu,Qv\rangle=\langle u,v\rangle\)。取 \(u=e_j,v=e_k\) 为标准基向量,即得 \(\langle q_j,q_k\rangle=\delta_{jk}\),故 \(Q\) 的列标准正交。∎

证明. 存在性。把 \(A\) 的列记为 \(v_1,\dots,v_n\in\mathbb{F}^n\),它们线性无关。对列表 \(v_1,\dots,v_n\) 施行 Gram–Schmidt 程序(6.B 节),得到 \(\mathbb{F}^n\) 的标准正交基 \(e_1,\dots,e_n\),满足

定义 \(R\) 为 \(R_{j,k}=\langle v_k,e_j\rangle\)。若 \(j\gt k\),则 \(e_j\) 正交于 \(\operatorname{span}(e_1,\dots,e_k)\),从而由上式正交于 \(v_k\),即 \(R_{j,k}=0\),故 \(R\) 是上三角的。令 \(Q\) 为以 \(e_1,\dots,e_n\) 为列的酉矩阵。矩阵乘法表明 \(QR\) 的第 \(k\) 列等于 \(Q\) 的各列以 \(R\) 的第 \(k\) 列为系数的线性组合:

最后一步是标准正交基下的 Fourier 展开式(6.B 节 6.30(a))。于是 \(A=QR\)。

对角元为正。Gram–Schmidt 程序给出 \(u_k=v_k-\sum_{j\lt k}\langle v_k,e_j\rangle e_j\) 与 \(e_k=u_k/\|u_k\|\),其中由线性无关性 \(u_k\ne 0\)。于是

唯一性。设另有 \(A=\hat Q\hat R\),其中 \(\hat Q\) 酉、\(\hat R\) 是对角元全正的上三角矩阵,记 \(\hat Q\) 的列为 \(q_1,\dots,q_n\)。与上一段同样的列式展开说明 \(v_k=\sum_{j\le k}\hat R_{j,k}\,q_j\),从而 \(\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)=\operatorname{span}(q_1,\dots,q_k)\),且系数 \(\hat R_{k,k}=\langle v_k,q_k\rangle\gt 0\)。对 \(k\) 归纳:\(q_1\) 是 \(v_1\) 方向上的单位向量且 \(\langle v_1,q_1\rangle\gt 0\),故 \(q_1=e_1\);若已有 \(q_j=e_j\)(\(j\lt k\)),则 \(q_k\) 是 \(v_k\) 减去其在 \(\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-1})=\operatorname{span}(e_1,\dots,e_{k-1})\) 上投影后所得向量的单位化,且内积为正选取了正向,故 \(q_k=e_k\)。于是 \(\hat Q=Q\),进而由 \(Q\) 可逆,\(A=QR=Q\hat R\) 给出 \(R=\hat R\)。∎

证明. 设 \(T\) 正且可逆。若 \(v\ne 0\),则由可逆性 \(Tv\ne 0\);由 7.C 节(正算子 \(T\) 若满足 \(\langle Tv,v\rangle=0\) 则 \(Tv=0\),原书 7.43)得 \(\langle Tv,v\rangle\ne 0\),结合正性 \(\langle Tv,v\rangle\ge 0\) 即得严格大于 0。

反之,设 \(v\ne 0\) 时 \(\langle Tv,v\rangle\gt 0\)。若 \(Tv=0\),则 \(\langle Tv,v\rangle=0\),与假设矛盾,故 \(T\) 单射;有限维算子单射即(正的)可逆算子。∎

证明. 存在性。因为 \(B\) 正定,由 7.C 节正算子刻画 ((a) 与 (f) 等价,原书 7.38)及命题 7.61 的算子版本,存在与 \(B\) 同阶的可逆方阵 \(A\) 使 \(B=A^*A\)。(最自然可取 \(A\) 为 \(B\) 的唯一正平方根 \(\sqrt{B}\),但下面的论证对任何这样的 \(A\) 都成立,而具体问题中往往有更容易找到的 \(A\)。)

对可逆矩阵 \(A\) 用 QR 分解(定理 7.58):\(A=QR\),其中 \(Q\) 酉、\(R\) 为对角元全正的上三角矩阵。则 \(A^*=R^*Q^*\),于是

其中用了 \(Q^*Q=I\)。

唯一性。设 \(S\) 也是对角元全正的上三角矩阵且 \(B=S^*S\)。由 \(B\) 可逆知 \(S\) 可逆(\(Sx=0\Rightarrow Bx=0\))。在 \(B=S^*S\) 两边右乘 \(S^{-1}\) 得 \(BS^{-1}=S^*\)。取存在性部分的 \(A\),则

故方阵 \(AS^{-1}\) 满足 \((AS^{-1})^*(AS^{-1})=I\),由定理 7.57 知 \(AS^{-1}\) 酉。于是

是 \(A\) 的一个"酉 \(\times\) 正对角上三角"分解;由 QR 分解的唯一性(定理 7.58),必有 \(S=R\)。∎