向量列表与线性组合
第 1 章建立了向量空间的公理框架;从本章起,我们进入本书的主题——有限维向量空间 (finite-dimensional vector space)。一切的出发点是一个极其朴素的记号:向量列表。与原书约定一致,本章固定 \(\mathbb{F}\) 表示 \(\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\),\(V\) 是 \(\mathbb{F}\) 上的一个向量空间。
一个列表 (list) 是按给定次序排成的有限多个对象,记作 \(v_1,\dots,v_m\),数 \(m\) 称为列表的长度 (length)。本节讨论的列表,成员都是 \(V\) 中的向量。列表与集合有三个本质区别,务必留意:
- 有序:\((v_1,v_2)\) 与 \((v_2,v_1)\) 是两个不同的列表,尽管作为集合它们相同;
- 允许重复:\((v,v)\) 是长度为 2 的合法列表(后面将看到,它必然线性相关),而集合 \(\{v,v\}=\{v\}\);
- 长度有限:列表永远只含有限多个向量,无穷序列(如 \(\mathbb{F}^{\infty}\) 中的元素)不是列表。
"有限"二字正是有限维理论的要害所在:一个空间是否有限维,取决于它能否被某个有限列表"覆盖"。列表这一朴素记号,足以承载本章全部的推理。
对于给定的列表,我们关心的第一个问题是:用加法与标量乘法这两件"合法工具",能由它制造出哪些新向量?这就是线性组合。
设 \(v_1,\dots,v_m\in V\)。称形如 \[ a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m\qquad(a_1,\dots,a_m\in\mathbb{F}) \] 的向量为 \(v_1,\dots,v_m\) 的一个线性组合 (linear combination),数 \(a_1,\dots,a_m\) 称为该组合的系数。
在 \(\mathbb{R}^2\) 中,向量 \((5,3)\) 是 \((1,1)\) 与 \((1,-1)\) 的线性组合,因为 \[ (5,3)=4(1,1)+(1,-1). \] 又如 \((2,4)\) 是 \((1,2)\) 的线性组合:\((2,4)=2(1,2)\)。但是 \((2,1)\) 不是 \((2,4)\) 的线性组合,因为 \((2,4)\) 的任何标量倍的两个分量必定相等,而 \((2,1)\) 的两个分量不相等。
一般地,判断 \(w\) 是否为 \(v_1,\dots,v_m\) 的线性组合,就是把等式 \(w=a_1v_1+\cdots+a_mv_m\) 逐坐标展开成一个线性方程组并求解:"线性组合"这一几何语言与"解线性方程组"这一代数程序,是同一件事的两个名字。这一对应将贯穿全书。
张成
设 \(v_1,\dots,v_m\in V\)。称 \(v_1,\dots,v_m\) 的全体线性组合构成的集合为它们的张成 (span),记作 \[ \operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)=\{\,a_1v_1+\cdots+a_mv_m : a_1,\dots,a_m\in\mathbb{F}\,\}. \] 并约定空列表的张成为 \(\operatorname{span}()=\{0\}\)(空和即零向量)。
在 \(\mathbb{F}^2\) 中: (a) \(\operatorname{span}((1,0))=\{(a,0):a\in\mathbb{F}\}\),即横轴——单个非零向量只能张成一条过原点的直线; (b) \(\operatorname{span}((1,0),(0,1))=\mathbb{F}^2\); (c) 因为 \((2,4)=2(1,2)\),有 \(\operatorname{span}((1,2),(2,4))=\operatorname{span}((1,2))\):第二个向量没有带来任何新东西,它是"冗余"的。冗余的严格含义,将在本节后半部分(线性无关)给出。
设 \(v_1,\dots,v_m\in V\),则 \(\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)\) 是 \(V\) 的子空间,并且是包含 \(v_1,\dots,v_m\) 中每个向量的最小子空间:任何包含全部 \(v_k\) 的子空间都包含 \(\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)\)。
证明. 记 \(W=\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)\)。先证 \(W\) 是子空间:取全零系数得 \(0=0v_1+\cdots+0v_m\in W\);又若 \(x=a_1v_1+\cdots+a_mv_m\) 与 \(y=b_1v_1+\cdots+b_mv_m\),则 \[ x+y=(a_1+b_1)v_1+\cdots+(a_m+b_m)v_m\in W,\qquad \lambda x=(\lambda a_1)v_1+\cdots+(\lambda a_m)v_m\in W, \] 故 \(W\) 对加法与标量乘法封闭。再者,每个 \(v_k\in W\)(取系数 \(a_k=1\)、其余为 \(0\))。
再证最小性。设 \(U\) 是 \(V\) 的包含每个 \(v_k\) 的子空间。子空间对标量乘法与加法封闭,故 \(U\) 必包含每个线性组合 \(a_1v_1+\cdots+a_mv_m\),即 \(W\subseteq U\)。
因此,\(\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)\) 也就是 \(V\) 中所有包含 \(v_1,\dots,v_m\) 的子空间之交:它是"从这些向量出发,仅凭向量空间的合法运算所能造出的全部向量"。
若 \(\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)=V\),则称列表 \(v_1,\dots,v_m\) 张成 (spans) \(V\)。
记 \[ e_1=(1,0,\dots,0),\quad e_2=(0,1,0,\dots,0),\quad\dots,\quad e_n=(0,\dots,0,1). \] 对任意 \((a_1,\dots,a_n)\in\mathbb{F}^n\),有 \((a_1,\dots,a_n)=a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_ne_n\),故列表 \(e_1,\dots,e_n\) 张成 \(\mathbb{F}^n\)。这个列表称为 \(\mathbb{F}^n\) 的标准基 (standard basis);"基"的正式定义见 2.B 节。
张成回答的是"够不够":给定列表的线性组合能否触及空间中的每个向量?它没有回答"多不多":列表里是否混着多余的向量(如例 2.5(c) 中的 \((2,4)\))?在度量"至少需要多少个向量"之前,先要区分哪些空间能被有限个向量覆盖、哪些不能——这是有限维与无穷维;再要把"没有冗余"严格化——这是线性无关。
有限维与无穷维向量空间
称 \(V\) 是有限维的 (finite-dimensional),如果存在 \(V\) 中的某个(有限)列表张成 \(V\),即存在 \(v_1,\dots,v_m\in V\) 使 \(\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)=V\)。
由例 2.8,\(\mathbb{F}^n\) 是有限维的;\(\{0\}\) 也是有限维的(它被空列表张成)。多项式空间提供另一类最重要的例子,先做一点准备。
函数 \(p\colon\mathbb{F}\to\mathbb{F}\) 称为 \(\mathbb{F}\) 上的一个多项式 (polynomial),如果存在系数 \(a_0,a_1,\dots,a_m\in\mathbb{F}\),使得对一切 \(z\in\mathbb{F}\) 都有 \[ p(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_mz^m. \] 系数全为零的多项式称为零多项式,仍记作 \(0\)。系数取自 \(\mathbb{F}\) 的全体多项式记作 \(\mathcal{P}(\mathbb{F})\);在函数的逐点加法与标量乘法之下,\(\mathcal{P}(\mathbb{F})\) 是向量空间(它是函数空间 \(\mathbb{F}^{\mathbb{F}}\) 的子空间,见 1.C 节)。
设 \(p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_mz^m\neq 0\) 且 \(a_m\neq 0\),称 \(m\) 为 \(p\) 的次数 (degree),记作 \(\deg p=m\)。为叙述方便,约定零多项式的次数为 \(-\infty\)。显然,两个多项式之和的次数不超过二者次数的较大者;用非零标量去乘不改变次数。
记 \[ \mathcal{P}_m(\mathbb{F})=\{\,p\in\mathcal{P}(\mathbb{F}) : \deg p\le m\,\} \] (按 \(-\infty\) 的约定,零多项式自动包含在内)。它是 \(\mathcal{P}(\mathbb{F})\) 的子空间,并且被列表 \(1,z,z^2,\dots,z^m\) 张成:任何 \(p\in\mathcal{P}_m(\mathbb{F})\) 本身就是这些单项式的线性组合。因此 \(\mathcal{P}_m(\mathbb{F})\) 是有限维的。
称 \(V\) 是无穷维的 (infinite-dimensional),如果它不是有限维的,即不存在任何有限列表张成 \(V\)。
(a) 任取 \(\mathcal{P}(\mathbb{F})\) 中的有限列表 \(q_1,\dots,q_k\),令 \(d=\max\{\deg q_1,\dots,\deg q_k\}\)。它们的任何线性组合的次数都不超过 \(d\),故 \[ \operatorname{span}(q_1,\dots,q_k)\subseteq\mathcal{P}_d(\mathbb{F}), \] 而 \(z^{d+1}\in\mathcal{P}(\mathbb{F})\) 不属于 \(\mathcal{P}_d(\mathbb{F})\)。于是任何有限列表都张不成 \(\mathcal{P}(\mathbb{F})\),即 \(\mathcal{P}(\mathbb{F})\) 是无穷维的。
(b) 记 \(\mathbb{F}^{\infty}\) 为 \(\mathbb{F}\) 中元素构成的全体无穷序列 \((a_1,a_2,a_3,\dots)\) 所成的向量空间。直观上,有限多个序列无论如何组合也"覆盖"不了所有序列;严格的论证要用到本节稍后证明的定理 2.22,留作练习 5。
请注意:有限维是空间的整体属性,而不是某个列表的属性。要证明一个空间有限维,只需找到一个张成它的有限列表,至于列表中有没有冗余向量,并无妨碍;而要证明一个空间无穷维,则必须说明任何有限列表都张不成它——例 2.14(a) 是这类论证的典范:用"次数有上界"一招,同时排除所有有限列表。
线性无关与线性相关
现在把"没有冗余"严格化。如果列表中的某个向量删去后,剩下的向量仍张成同样的子空间,它就是冗余的;而冗余总会暴露为一个"造出零向量"的等式:只要某组不全为零的系数把列表组合成了零,系数非零的那几个向量之间就能互相表出。线性无关说的正是:除了全零系数,谁也造不出零向量。
称列表 \(v_1,\dots,v_m\) 是线性无关的 (linearly independent),如果方程 \[ a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m=0 \] 只有唯一的解 \(a_1=\cdots=a_m=0\)。约定空列表是线性无关的。
(a) \(\mathbb{F}^n\) 的标准基线性无关:若 \(a_1e_1+\cdots+a_ne_n=(a_1,\dots,a_n)=0\),逐个比较分量,便得每个 \(a_k=0\)。
(b) 单项式列表线性无关:\(\mathcal{P}(\mathbb{F})\) 中的列表 \(1,z,z^2,\dots,z^m\) 线性无关。事实上,若 \(a_0+a_1z+\cdots+a_mz^m=0\) 对一切 \(z\in\mathbb{F}\) 成立,则该多项式以 \(\mathbb{F}\) 的每个元素为根;\(\mathbb{F}=\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\) 都有无穷多个元素,而次数不超过 \(m\) 的非零多项式至多有 \(m\) 个根,故它必是零多项式,即所有系数 \(a_0,\dots,a_m\) 全为零。这一事实将在例 2.24 与 2.B 节反复使用。
(c) 长度为 1 的列表:列表 \(v\) 线性无关当且仅当 \(v\neq 0\)。因为若 \(v=0\),则 \(1\cdot v=0\) 已是非平凡关系;若 \(v\neq 0\),则 \(av=0\) 迫使 \(a=0\)。
称列表是线性相关的 (linearly dependent),如果它不是线性无关的;等价地,存在不全为零的 \(a_1,\dots,a_m\in\mathbb{F}\) 使 \[ a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m=0, \] 称之为该列表的一个非平凡线性关系。线性无关与线性相关都是整个列表的性质,而不是单个向量的性质。
(a) 含零向量的列表必线性相关:若 \(v_j=0\),取第 \(j\) 个系数为 1、其余为 0,便得非平凡关系 \(1\cdot v_j=0\)。因此,线性无关列表中不能有零向量,也不能有重复的项:若 \(v_i=v_j\)(\(i\neq j\)),则 \(v_i-v_j=0\) 是非平凡关系——这正呼应了记号 2.1 中"列表允许重复"的提醒。
(b) 在 \(\mathbb{R}^3\) 中,列表 \((2,3,1),\,(1,-1,2),\,(7,3,8)\) 线性相关,因为有非平凡关系 \[ 2(2,3,1)+3(1,-1,2)-(7,3,8)=(0,0,0); \] 把第三项解出来,就是 \((7,3,8)=2(2,3,1)+3(1,-1,2)\)。
(c) 两个向量的几何刻画:列表 \(v,w\) 线性相关,当且仅当其中一个是另一个的标量倍;在 \(\mathbb{R}^2\) 与 \(\mathbb{R}^3\) 中,这恰是说两向量共线(落在同一条过原点的直线上)。证明:若 \(av+bw=0\) 且 \(a\neq 0\),则 \(v=-\tfrac{b}{a}w\);若 \(a=0\),则 \(b\neq 0\),得 \(w=0=0\cdot v\)。反之,若 \(v=\lambda w\),则 \(v-\lambda w=0\) 就是非平凡关系。要提醒的是,这一刻画只对长度为 2 的列表成立:三个两两不共线的向量仍可能线性相关(见练习 1(c))。
(i) 子列表保持无关:线性无关列表的任何子列表(按原次序取出若干项)仍线性无关。否则,把子列表的非平凡关系补上缺席项的零系数,就扩充成了整个列表的非平凡关系。
(ii) 列表 \(v_1,\dots,v_m\) 线性无关,当且仅当对每个 \(k\in\{1,\dots,m\}\) 都有 \(v_k\notin\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-1})\)。必要性:若 \(v_k=b_1v_1+\cdots+b_{k-1}v_{k-1}\),移项便得到 \(v_k\) 的系数为 \(-1\) 的非平凡关系。充分性:若存在非平凡关系,取使 \(a_k\neq 0\) 的最大下标 \(k\),则 \(v_k=-\tfrac{1}{a_k}\sum_{j\lt k}a_jv_j\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-1})\),矛盾。(ii) 中"取最大下标"的手法,马上会在引理 2.19 的证明中再次登场。
线性相关与否取决于系数域。把 \(\mathbb{C}\) 分别看作 \(\mathbb{C}\) 上与 \(\mathbb{R}\) 上的向量空间:列表 \(1,\mathrm{i}\) 在前者中线性相关(因为 \(\mathrm{i}=\mathrm{i}\cdot 1\)),在后者中线性无关(不存在实数 \(\lambda\) 使 \(\mathrm{i}=\lambda\cdot 1\))。谈论线性无关时,应始终明确所参照的域;本书中 \(\mathbb{F}\) 固定为 \(\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\)。
线性相关引理
线性相关引理是本节的技术核心。它的直观含义是:线性相关的列表中必有一个"迟到者"——轮到它出场时,前面的向量已经足以把它表示出来;把迟到者删去,不会损失任何张成能力。
设 \(v_1,\dots,v_m\) 是 \(V\) 中的线性相关列表,则存在 \(k\in\{1,2,\dots,m\}\),使得:
(a) \(v_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-1})\);
(b) 从列表中删去第 \(k\) 项后,余下列表的张成仍等于 \(\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)\)。
证明. 因为列表线性相关,存在不全为零的 \(a_1,\dots,a_m\in\mathbb{F}\) 使 \[ a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m=0. \] 取 \(k\) 为使 \(a_k\neq 0\) 的最大下标,则 \(a_{k+1}=\cdots=a_m=0\),于是 \[ a_kv_k=-(a_1v_1+\cdots+a_{k-1}v_{k-1}). \] 由 \(a_k\neq 0\),两边除以 \(a_k\) 得 \[ v_k=-\frac{a_1}{a_k}v_1-\cdots-\frac{a_{k-1}}{a_k}v_{k-1}\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-1}), \] (a) 得证(当 \(k=1\) 时右端为空和,即 \(v_1=0\),与约定 \(\operatorname{span}()=\{0\}\) 相符)。
再证 (b)。记删去第 \(k\) 项后的列表为 \(L\)。一方面,\(L\) 的任何线性组合显然也是原列表的线性组合,故 \(\operatorname{span}(L)\subseteq\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)\)。另一方面,由 (a) 可写 \(v_k=b_1v_1+\cdots+b_{k-1}v_{k-1}\);任取原列表的线性组合 \[ x=c_1v_1+\cdots+c_kv_k+\cdots+c_mv_m, \] 把其中的 \(c_kv_k\) 用上式代入并合并同类项,得 \[ x=(c_1+c_kb_1)v_1+\cdots+(c_{k-1}+c_kb_{k-1})v_{k-1}+c_{k+1}v_{k+1}+\cdots+c_mv_m\in\operatorname{span}(L). \] 故反向包含也成立,两个包含合起来即得 (b)。
在 \(\mathbb{R}^3\) 中取例 2.18(b) 的列表 \(v_1=(2,3,1),\,v_2=(1,-1,2),\,v_3=(7,3,8)\)。由关系 \(2v_1+3v_2-v_3=0\) 知它线性相关;引理证明中取的最大非零下标是 \(k=3\),相应地 \(v_3=2v_1+3v_2\in\operatorname{span}(v_1,v_2)\)。由 (b), \[ \operatorname{span}\bigl((2,3,1),(1,-1,2)\bigr)=\operatorname{span}\bigl((2,3,1),(1,-1,2),(7,3,8)\bigr). \]
证明中对"使 \(a_k\neq 0\) 的最大下标"的选取只是一种方便,并非唯一可行。事实上,(b) 的推导只用到 (a) 本身,于是有更强的结论:凡满足 (a) 的下标 \(k\) 都满足 (b);特别地,可取满足 (a) 的最小下标。对这个最小下标 \(k\),还能说出更多:前缀 \(v_1,\dots,v_{k-1}\) 必线性无关(否则由引理 2.19,存在满足 (a) 的更小下标,与最小性矛盾),而 \(v_1,\dots,v_k\) 线性相关(\(v_k\) 落在前面向量的张成中,给出 \(v_k\) 系数为 1 的非平凡关系)。换言之,最小下标恰好切在"无关变相关"的转折点上。
考察 \(\mathbb{R}^2\) 中的列表 \[ (1,2),\;(3,6),\;(4,7),\;(5,9). \] 满足 (a) 的下标是 \(k=2\) 与 \(k=4\):因为 \((3,6)=3(1,2)\in\operatorname{span}(v_1)\),且 \((5,9)=(1,2)+(4,7)\in\operatorname{span}(v_1,v_2,v_3)\);而 \(k=3\) 不满足,因为 \((4,7)\) 不在直线 \(\operatorname{span}((1,2),(3,6))=\{t(1,2):t\in\mathbb{R}\}\) 上。最小下标 \(k=2\) 正是"无关变相关"的分界:前缀 \((1,2)\) 无关,而 \((1,2),(3,6)\) 相关;删去 \(v_2\) 或 \(v_4\) 都不改变张成(两者都等于 \(\mathbb{R}^2\))。
无关列表不长于张成列表
现在证明本节的主定理。粗略地说:张成列表提供了"足够的原材料",而线性无关列表"每个成员都带来新方向";在一个能被 \(n\) 个向量覆盖的空间里,带来新方向的向量至多有 \(n\) 个。证明的思想是把无关列表逐个"顶替"进张成列表:每塞进一个 \(u\),就有一个 \(w\) 被挤出去,而张成能力丝毫不减。
设 \(V\) 是有限维向量空间,\(u_1,\dots,u_m\) 是 \(V\) 中的线性无关列表,\(w_1,\dots,w_n\) 张成 \(V\),则 \(m\le n\)。
证明. 我们对 \(j=0,1,\dots,m\) 归纳地构造列表 \(B_j\),使之满足:\(B_j\) 的长度为 \(n\),张成 \(V\),并且由 \(u_1,\dots,u_j\) 与 \(w\) 列表中剩下的 \(n-j\) 个向量组成。
\(j=0\) 时取 \(B_0\colon w_1,\dots,w_n\),由假设它张成 \(V\)。
设 \(j\lt m\),且已得到 \(B_j\colon u_1,\dots,u_j,w_{i_1},\dots,w_{i_{n-j}}\)。把 \(u_{j+1}\) 接在 \(u\)-块之后,得到长为 \(n+1\) 的列表 \[ C\colon\;u_1,\dots,u_j,u_{j+1},w_{i_1},\dots,w_{i_{n-j}}. \] 因 \(B_j\) 张成 \(V\),有 \(u_{j+1}\in V=\operatorname{span}(B_j)\),而 \(B_j\) 的成员恰是 \(C\) 中除 \(u_{j+1}\) 外的全部项,故 \(u_{j+1}\) 属于 \(C\) 中其余向量的张成,从而 \(C\) 线性相关(把 \(u_{j+1}\) 的表示移项,即得 \(u_{j+1}\) 的系数为 1 的非平凡关系)。
由引理 2.19,存在位置 \(k\in\{1,\dots,n+1\}\),使 \(C\) 的第 \(k\) 项属于其前若干项的张成,且删去该项后张成不变。断言:\(k\ge j+2\),即被删的是某个 \(w\)。若不然,\(k\le j+1\),则第 \(k\) 项是 \(u_k\),且有 \(u_k\in\operatorname{span}(u_1,\dots,u_{k-1})\);但由本节备注 (ii),线性无关列表中的每个向量都不落在它前面诸项的张成中,矛盾。于是删去的确实是一个 \(w\);余下的列表长度仍为 \(n\),由 \(u_1,\dots,u_{j+1}\) 与 \(n-j-1\) 个 \(w\) 组成,且仍张成 \(V\),把它记作 \(B_{j+1}\)(必要时把 \(u\)-块排回前面)。归纳构造完成。
最后观察:构造的每一步恰好删去一个 \(w\),而 \(w\) 总共只有 \(n\) 个。假若 \(m\gt n\),则当构造进行到 \(j=n\) 时,\(B_n\) 已不含任何 \(w\)(它恰由 \(u_1,\dots,u_n\) 组成),却仍张成 \(V\)。于是 \[ u_{n+1}\in V=\operatorname{span}(u_1,\dots,u_n), \] 这给出子列表 \(u_1,\dots,u_n,u_{n+1}\) 的一个非平凡线性关系(\(u_{n+1}\) 的系数为 1);而由备注 (i),线性无关列表的任何子列表仍线性无关,矛盾。故 \(m\le n\)。
标准基 \((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\) 是 \(\mathbb{R}^3\) 的长度为 3 的张成列表。由定理 2.22,\(\mathbb{R}^3\) 中任何线性无关列表的长度都不超过 3;等价地,\(\mathbb{R}^3\) 中任何长度为 4 的列表都线性相关。例如 \[ (1,1,1),\;(0,1,1),\;(0,0,1),\;(1,2,3) \] 线性相关——无须任何计算即可断言;当然,这里也能写出显式关系 \((1,2,3)=(1,1,1)+(0,1,1)+(0,0,1)\)。一般地,\(\mathbb{F}^n\) 中任何长度大于 \(n\) 的列表都线性相关。
列表 \(1,z,\dots,z^m\) 张成 \(\mathcal{P}_m(\mathbb{F})\),长度为 \(m+1\)。由定理 2.22,\(\mathcal{P}_m(\mathbb{F})\) 中任何线性无关列表的长度都不超过 \(m+1\);特别地,\(\mathcal{P}_m(\mathbb{F})\) 中任意 \(m+2\) 个多项式必线性相关。例如在 \(\mathcal{P}_2(\mathbb{F})\) 中,任何 4 个多项式都线性相关。另一方面,由例 2.16(b),\(1,z,\dots,z^m\) 本身线性无关,长度 \(m+1\) 恰好达到上限:最经济地张成 \(\mathcal{P}_m(\mathbb{F})\),恰需 \(m+1\) 个向量。
有限维空间的子空间
设 \(V\) 是有限维向量空间,\(U\) 是 \(V\) 的子空间 (subspace),则 \(U\) 也是有限维的。
证明(思路:逐个添加无关向量). 设 \(w_1,\dots,w_n\) 张成 \(V\)。若 \(U=\{0\}\),则空列表张成 \(U\),结论成立。否则从空列表出发,构造 \(U\) 中的线性无关列表:取 \(u_1\in U\),\(u_1\neq 0\)(由例 2.16(c),列表 \(u_1\) 线性无关)。一般地,设已得到线性无关的列表 \(u_1,\dots,u_j\in U\):若 \(\operatorname{span}(u_1,\dots,u_j)=U\),过程结束;否则取 \[ u_{j+1}\in U\setminus\operatorname{span}(u_1,\dots,u_j), \] 则添入后列表仍线性无关——设 \(a_1u_1+\cdots+a_ju_j+bu_{j+1}=0\),若 \(b\neq 0\),便可解出 \(u_{j+1}\in\operatorname{span}(u_1,\dots,u_j)\),与取法矛盾;故 \(b=0\),再用归纳假设得全部系数为零。
过程为何必然停止?因为 \(u_1,\dots,u_j\) 同时也是有限维空间 \(V\) 中的线性无关列表,由定理 2.22,其长度 \(j\le n\)。于是至多 \(n\) 步后就无法再添入新向量,亦即必然在某个 \(j\le n\) 处达到 \(\operatorname{span}(u_1,\dots,u_j)=U\)。此时 \(U\) 被有限列表 \(u_1,\dots,u_j\) 张成,故 \(U\) 有限维。
例如,\(\mathbb{R}^3\) 的任何子空间——原点、过原点的直线、过原点的平面或整个空间——都自动是有限维的:直线由一个非零向量张成,平面由两个不共线向量张成。命题 2.25 的证明还暗示了一个重要构造:从一个张成列表中不断删去冗余向量,或从一个无关列表不断添入新方向,最终都会到达"既张成又无关"的列表——这正是下一节的基 (basis)。
直观总结
本节的两条主线至此合拢:
- 张成 = 足够覆盖:列表的线性组合能触及空间中每一个向量;\(\operatorname{span}\) 是包含这些向量的最小子空间(命题 2.6)。
- 线性无关 = 没有冗余:列表中每个向量都超出它前面诸向量的张成;等价地,删去其中任何一项,张成都会严格变小(见练习 4)。
- 有限维 = 有限而有效的坐标描述:空间可被有限列表覆盖,而定理 2.22 保证"没有冗余的覆盖"规模受控——这正是维数概念得以良定义的根源。
| 概念 | 代数判据 | 几何直观(以 \(\mathbb{R}^3\) 为例) |
|---|---|---|
| 张成 | \(v\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)\) 当且仅当 \(v\) 是列表的线性组合 | 向量组铺出的直线、平面或整个空间 |
| 线性无关 | \(a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0\) 只有零解 | 没有冗余方向:不共线、不共面 |
| 线性相关 | 存在不全为零的系数使组合为零 | 有冗余:某向量落回已有方向张成的直线或平面 |
| 有限维 | 存在有限张成列表 | 有限个方向即可撑起整个空间 |
把"足够覆盖"与"没有冗余"合在一起,便得到线性代数最核心的概念——基 (basis):张成 \(V\) 的线性无关列表。2.B 节将证明每个有限维空间都有基,并且同一空间的任何两组基长度相同;这一公共长度称为维数 (dimension)。引理 2.19 与定理 2.22,正是那套理论的全部技术准备。
练习
练习 2.A-1
判断 \(\mathbb{R}^2\) 中下列列表是否线性无关,并说明理由:(a) \((1,2),(2,1)\);(b) \((1,2),(2,4)\);(c) \((1,2),(2,1),(3,3)\)。
解答/提示(a) 无关:设 \(a(1,2)+b(2,1)=0\),得方程组 \(a+2b=0,\ 2a+b=0\),解得 \(a=b=0\)。(b) 相关:\((2,4)=2(1,2)\),即 \(2(1,2)-(2,4)=0\)。(c) 相关:一方面有显式关系 \((1,2)+(2,1)-(3,3)=0\);另一方面,标准基是长度为 2 的张成列表,由定理 2.22,\(\mathbb{R}^2\) 中线性无关列表的长度至多为 2。三个两两不共线的向量依然线性相关,印证了例 2.18(c) 的提醒。
练习 2.A-2
设 \(v_1,\dots,v_m\) 线性无关,\(w\in V\)。证明:若列表 \(v_1+w,\dots,v_m+w\) 线性相关,则 \(w\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)\)。逆命题是否成立?
解答/提示由相关性,存在不全为零的 \(a_1,\dots,a_m\) 使 \(\sum_k a_k(v_k+w)=0\),即 \(\sum_k a_kv_k+\bigl(\sum_k a_k\bigr)w=0\)。若 \(\sum_k a_k=0\),则 \(\sum_k a_kv_k=0\) 是 \(v_1,\dots,v_m\) 的非平凡关系(系数不全为零),与无关性矛盾。故 \(s=\sum_k a_k\neq 0\),于是 \(w=-\tfrac{1}{s}\sum_k a_kv_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)\)。逆命题不成立:取 \(m=1\)、\(w=0\),则 \(v_1+w=v_1\) 仍线性无关,而 \(0\in\operatorname{span}(v_1)\)。
练习 2.A-3
设 \(v_1,\dots,v_m\) 线性无关,且 \(w\notin\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)\)。证明:延长后的列表 \(v_1,\dots,v_m,w\) 仍线性无关。
解答/提示设 \(a_1v_1+\cdots+a_mv_m+bw=0\)。若 \(b\neq 0\),则 \(w=-\tfrac{1}{b}(a_1v_1+\cdots+a_mv_m)\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)\),与假设矛盾。故 \(b=0\),于是 \(a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0\),再由线性无关性得所有 \(a_k=0\)。因此整个关系是平凡的。(这一结论正是命题 2.25 的证明中"添入新方向保持无关"的依据。)
练习 2.A-4
证明:\(\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m,w)=\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)\) 当且仅当 \(w\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)\)。由此说明:线性无关列表删去任何一项后,张成必严格变小。
解答/提示若 \(w=c_1v_1+\cdots+c_mv_m\),则任何含 \(w\) 的线性组合都可把 \(w\) 按此式代入、合并同类项,化为不含 \(w\) 的组合,故两个张成相等(反向包含是显然的)。反之,若两个张成相等,则 \(w=1\cdot w\) 属于左边,故属于右边。对后一断言:设列表线性无关而删去 \(v_k\) 后张成不变,则由刚证的等价式(交换 \(w\) 与 \(v_k\) 的角色,把其余 \(m-1\) 个向量视为"列表"),得 \(v_k\in\operatorname{span}\)(其余向量),移项即得非平凡线性关系,矛盾。
练习 2.A-5
利用定理 2.22 证明:全体序列构成的空间 \(\mathbb{F}^{\infty}\) 是无穷维的(补全例 2.14(b))。
解答/提示对每个正整数 \(m\),令 \(e_1,\dots,e_m\in\mathbb{F}^{\infty}\),其中 \(e_k\) 的第 \(k\) 个分量为 1、其余分量为 0。若 \(a_1e_1+\cdots+a_me_m=0\)(零序列),逐个比较分量得 \(a_1=\cdots=a_m=0\),故 \(e_1,\dots,e_m\) 线性无关。假若 \(\mathbb{F}^{\infty}\) 有限维,则存在长度为 \(n\) 的张成列表,由定理 2.22,其中任何线性无关列表的长度都不超过 \(n\);取 \(m=n+1\) 即得矛盾。故 \(\mathbb{F}^{\infty}\) 无穷维。
练习 2.A-6
设 \(c\in\mathbb{R}\)。求出全部使列表 \((2,3,1),(1,-1,2),(7,3,c)\) 在 \(\mathbb{R}^3\) 中线性相关的 \(c\),并写出相应的非平凡关系。
解答/提示设 \(a(2,3,1)+b(1,-1,2)+d(7,3,c)=0\)。前两个分量给出方程组 \(2a+b+7d=0\) 与 \(3a-b+3d=0\),相加得 \(5a+10d=0\),即 \(a=-2d\);代回第一式得 \(b=-2a-7d=4d-7d=-3d\)。第三个分量给出 \(a+2b+cd=(-2-6+c)d=(c-8)d=0\)。若 \(d\neq 0\),则必有 \(c=8\);若 \(d=0\),则 \(a=b=0\),关系平凡。故当且仅当 \(c=8\) 时线性相关,此时可取 \((a,b,d)=(-2,-3,1)\): \[ -2(2,3,1)-3(1,-1,2)+(7,3,8)=(0,0,0), \] 即 \((7,3,8)=2(2,3,1)+3(1,-1,2)\),与例 2.20 一致。