- 用函数的观点陈述随机变量的定义 \(X:S\to\mathbb{R}\)，并能对具体试验自行构造随机变量；
- 写出分布函数 \(F(x)=P(X\le x)\) 的定义，并证明其单调不减、右连续与两端极限性质；
- 利用公式 \(P(a<X\le b)=F(b)-F(a)\) 由分布函数计算各类区间上的概率；
- 求出指示随机变量 \(I_E\) 的分布列与阶梯形分布函数；
- 了解离散型与连续型随机变量的划分，以及本章后续各节的路线。
1. 从结果到数值：随机变量的概念
前三章里，我们研究的对象是事件(event)及其概率。然而事件的表述方式五花八门："灯泡寿命超过 1000 小时""掷两颗骰子点数之和等于 7""3 枚硬币中正面恰好出现 2 次"——它们各说各话，难以统一处理。但稍加留意便会发现：这些事件关心的都是试验结果的某个数值特征：寿命是一个数，点数之和是一个数，正面次数也是一个数。一旦把每个试验结果都换算成一个数，概率论就有了统一的舞台：求和、作差、取平均、画图，全都成为可能。随机变量(random variable)正是"把试验结果数值化"的严格数学工具。
设 \(S\) 为某随机试验的样本空间(sample space)。若对每一个样本点 \(s\in S\)，都依照某种规则唯一地对应一个实数 \(X(s)\)，则称 \(X\) 为定义在 \(S\) 上的随机变量(random variable)，记作 \[ X:\; S\to\mathbb{R},\qquad s\mapsto X(s). \]
换言之，随机变量就是定义在样本空间上的实值函数：试验结果一旦出现，\(X\) 的取值便随之完全确定。习惯上用大写字母 \(X,Y,Z\) 表示随机变量，用小写字母 \(x\) 表示它可能取到的数值。
所谓"随机"，指的是 \(X\) 的取值依赖于试验的偶然结果，试验之前无法预知；而一旦样本点 \(s\) 已实现，\(X(s)\) 就是一个确定的数。同一个试验上可以定义许多不同的随机变量：掷两颗骰子时，既可以取"点数之和"，也可以取"两颗中较大的点数"或"是否出现对子"，研究哪个取决于我们关心什么。
掷两颗骰子，令 \(X\) 为两点数之和。写出 \(X\) 的全部可能取值及相应的概率。
| \(x\) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 样本点个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| \(P(X=x)\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) |
将一枚均匀硬币连掷 3 次，令 \(X\) 为正面出现的次数。写出 \(X\) 的取值与概率。
初学者常把随机变量误解为"未知的数"。恰恰相反：\(X\) 是一个函数，它的"自变量"是样本点 \(s\)。另一要点是：对任意实数 \(x\)，满足 \(X(s)\le x\) 的样本点构成 \(S\) 的子集，即事件 \(\{X\le x\}=\{s\in S: X(s)\le x\}\)，因此 \(P(X\le x)\) 有明确意义——这正是下一小节分布函数的出发点。
2. 分布函数及其性质
例 1、例 2 中，我们用一张"取值—概率"表描述了 \(X\) 的全部信息。是否有一种统一格式，能同时装下离散与连续两类随机变量的概率信息？答案是：对每个实数 \(x\)，给出事件 \(\{X\le x\}\) 的概率。
设 \(X\) 为随机变量，称函数 \[ F(x) = P(X\le x),\qquad x\in\mathbb{R} \] 为 \(X\) 的分布函数(distribution function)，又称累积分布函数(cumulative distribution function，简称 CDF)。
直观上，\(F(x)\) 是"累计到 \(x\) 为止"的概率质量：随着 \(x\) 从左向右移动，累计值不断增多却永不减少、也永不越过 1。
设 \(F(x)=P(X\le x)\) 为任意随机变量 \(X\) 的分布函数，则： \[ \begin{aligned} \text{(i)}&\quad 0\le F(x)\le 1,\ \text{且 } F \text{ 单调不减： } a<b \Rightarrow F(a)\le F(b);\\ \text{(ii)}&\quad F \text{ 右连续： } \lim_{h\downarrow 0}F(x+h)=F(x);\\ \text{(iii)}&\quad \lim_{x\to-\infty}F(x)=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}F(x)=1;\\ \text{(iv)}&\quad P(a<X\le b)=F(b)-F(a),\qquad a<b. \end{aligned} \]
(iv) 事件分解 \(\{X\le b\}=\{X\le a\}\cup\{a<X\le b\}\) 中两事件互不相容，由概率的可加性，\(F(b)=F(a)+P(a<X\le b)\)，移项即得。
(iii) 记 \(A_n=\{X\le n\}\)，则 \(A_1\subseteq A_2\subseteq\cdots\)，且因 \(X\) 只取有限实数，\(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=S\)。由概率的连续性(第 2 章)，\(F(n)=P(A_n)\to P(S)=1\)。同理 \(B_n=\{X\le -n\}\) 递减且 \(\bigcap_n B_n=\varnothing\)，故 \(F(-n)\to 0\)。
(ii) 对固定的 \(x\)，令 \(C_n=\{X\le x+\tfrac{1}{n}\}\)，则 \(C_n\) 递减且 \(\bigcap_n C_n=\{X\le x\}\)。仍由概率的连续性，\(F(x+\tfrac1n)\to F(x)\)，即 \(F\) 在 \(x\) 处右连续。
性质 (iv) 表明：有了分布函数，任何形如 \((a,b]\) 的区间上的概率都能"两值相减"直接读出，再结合对立事件与拆分，可得 \(P(X>a)=1-F(a)\)、\(P(X\ge a)=1-F(a)+P(X=a)\) 等一整套公式。注意一般而言 \(P(X<b)\ne F(b)\)：因为 \(\{X<b\}\) 比 \(\{X\le b\}\) 少了 \(\{X=b\}\)，正确的式子是 \(P(X<b)=F(b)-P(X=b)\)。
把例 1 的表 1 逐项累加，就得到两颗骰子点数和的分布函数，它是一条 11 级的阶梯曲线：在每个整数 \(k=2,\dots,12\) 处向上跳变，跳变高度恰为 \(P(X=k)\)（如图 2）。
沿用例 1 的两颗骰子。(a) 求 \(P(4<X\le 9)\)；(b) 求 \(P(X>9)\)；(c) 求 \(P(X\le 4)\)。
(a) 由定理 1 (iv)，\(P(4<X\le 9)=F(9)-F(4)=\frac{30}{36}-\frac{6}{36}=\frac{24}{36}=\frac23\)。由于 \(X\) 只取整数值，这也就是 \(P(5\le X\le 9)\)，可直接验证：\((4+5+6+5+4)/36=\frac{24}{36}\)。
(b) \(P(X>9)=1-F(9)=1-\frac56=\frac16\)，即点数和为 \(10,11,12\) 的概率 \((3+2+1)/36\)。
(c) \(P(X\le 4)=F(4)=\frac16\)。可见只要手里有 \(F\)，各类区间概率皆由"读值、作差"完成。
采用 \(P(X\le x)\)（而非 \(P(X<x)\)）来定义分布函数，是全世界的统一约定。在此约定下，离散型随机变量的 \(F\) 恰好右连续（台阶取右上端的值），与测度论中的标准体系一致。判断一个阶梯图是否为合法 CDF 时，"实心点在右侧、空心点在左侧"是快速检查右连续性的口诀。
3. 指示随机变量
有一类结构最简单的随机变量值得专门命名：它只回答一个"是/否"问题，把任一事件翻译成一个数。它是后续章节（特别是第 7 章用指示变量求和计算期望）的重要工具。
设 \(E\subseteq S\) 为事件，定义 \[ I_E(s)=\begin{cases}1, & s\in E,\\[2pt] 0, & s\notin E.\end{cases} \] 称 \(I_E\) 为事件 \(E\) 的指示随机变量(indicator random variable)，又称伯努利随机变量。
显然 \(P(I_E=1)=P(E)\)，\(P(I_E=0)=1-P(E)\)：指示变量把"事件 \(E\) 是否发生"完整编码为 0/1 两个值。
设事件 \(E\) 满足 \(P(E)=p\)，令 \(X=I_E\)。(a) 写出 \(X\) 的分布列；(b) 求 \(X\) 的分布函数 \(F(x)\) 并作图（以掷一颗骰子、\(E=\{\)出现 6 点\(\}\) 为例作图）。
(b) 按 \(x\) 的范围分段计算：当 \(x<0\) 时，事件 \(\{X\le x\}\) 不含任何样本点，\(F(x)=0\)；当 \(0\le x<1\) 时，\(\{X\le x\}=\{X=0\}\)，\(F(x)=1-p\)；当 \(x\ge 1\) 时，\(\{X\le x\}=S\)，\(F(x)=1\)。即 \[ F(x)=\begin{cases}0, & x<0,\\ 1-p, & 0\le x<1,\\ 1, & x\ge 1.\end{cases} \] 这是一个只有两级台阶的阶梯函数：在 \(x=0\) 处跳升 \(1-p\)，在 \(x=1\) 处跳升 \(p\)。图 3 以掷一颗骰子、\(E=\{\)出现 6 点\(\}\)（\(p=\frac16\)，中间台阶高度 \(1-p=\frac56\)）为例按真实比例画出。
指示随机变量的价值在于"把事件变成数"：随机变量之和 \(\sum I_{E_i}\) 自动完成对"诸事件发生次数"的计数。例如掷 \(n\) 次硬币，"正面总数"正是指示"第 \(i\) 次为正面"的 \(n\) 个指示变量之和——这一观点将在 4.6 节（二项随机变量）与第 7 章反复发挥威力。
4. 离散型与连续型：本章路线图
本节所有例子中的 \(X\) 都只取有限个（或可数无穷个）孤立的值，这类随机变量称为离散型(discrete)随机变量，是本章的主角：4.2 节引入分布列 \(p(x)=P(X=x)\)，4.3–4.5 节依次建立期望与方差，4.6–4.8 节研究三类最重要的离散模型——伯努利与二项、泊松、几何与超几何等。与之相对，若 \(X\) 的可能值充满某个区间（如灯泡寿命、测量误差），则称为连续型(continuous)随机变量，其严格描述需要密度函数，留待第 5 章（5.1 节起）展开。
分布函数的一大优点是统一：无论离散还是连续，\(F(x)=P(X\le x)\) 都有定义、都满足定理 1 的全部性质——离散情形它是阶梯（图 2、图 3），连续情形它是一条上升到 1 的光滑曲线。因此"任给一个函数，它能否作为某个随机变量的 CDF"只需对照定理 1 逐条检验即可，这也正是本节练习的重点之一。
5. 本节小结
- 随机变量 \(X:S\to\mathbb{R}\) 是定义在样本空间上的实值函数，把每个试验结果数值化；它是函数，不是"未知量"。
- 分布函数 \(F(x)=P(X\le x)\) 统一刻画随机变量的概率规律：单调不减、右连续、两端极限为 0 与 1。
- 区间概率由差分得到：\(P(a<X\le b)=F(b)-F(a)\)，且 \(P(X>a)=1-F(a)\)；注意 \(P(X<b)=F(b)-P(X=b)\)。
- 离散型随机变量的 CDF 是阶梯曲线：在取值点 \(x_k\) 处跳升 \(P(X=x_k)\)，跳变点取右端值（右连续）。
- 指示随机变量 \(I_E\) 把事件数值化为 0/1，其 CDF 是两级阶梯；随机变量的划分（离散/连续）指引本章与第 5 章的路线。
练习
练习 4-1-1
利用例 1 与图 2 中的分布函数，求 \(P(X\le 3)\) 与 \(P(X=3)\)。
答案与提示\(P(X\le 3)=F(3)=\frac{1+2}{36}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\)；\(P(X=3)=F(3)-F(2)=\frac{3}{36}-\frac{1}{36}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\)。单点概率等于分布函数在该点的跳变高度。
练习 4-1-2
判断下列函数能否作为某随机变量的分布函数，并说明理由：(a) \(F(x)=1-\mathrm{e}^{-x}\ (x\ge 0)\)，\(F(x)=0\ (x<0)\)；(b) \(F(x)=\mathrm{e}^{-x}\ (x\ge 0)\)，\(F(x)=0\ (x<0)\)；(c) \(F(x)=\frac12+\frac{1}{\pi}\arctan x\)。
答案与提示(a) 可以——单调不减、在 0 处右连续、左极限 0 与右极限 1 都成立（这就是第 5 章的指数分布）。(b) 不可以——在 \([0,\infty)\) 上单调递减，违反单调不减；且 \(x\to\infty\) 时极限为 0 而非 1。(c) 可以——\(\arctan\) 单调增、函数处处连续（故右连续），两端极限分别为 \(0\) 与 \(1\)（这是著名的柯西分布的分布函数）。
练习 4-1-3
连掷 3 枚均匀硬币（例 2），令 \(I=I_E\) 为事件 \(E=\{\)至少出现一次正面\(\}\) 的指示随机变量。写出 \(I\) 的分布列与分布函数，并求 \(P(0<I\le 1)\)。
答案与提示\(P(I=0)=P(\)全反面\()=\frac18\)，\(P(I=1)=\frac78\)。故 \(F(x)=0\ (x<0)\)，\(F(x)=\frac18\ (0\le x<1)\)，\(F(x)=1\ (x\ge 1)\)。\(P(0<I\le 1)=F(1)-F(0)=1-\frac18=\frac78=P(E)\)，与直观一致。
练习 4-1-4
利用事件分解 \(\{X\le b\}=\{X\le a\}\cup\{a<X\le b\}\)（两事件互不相容）证明定理 1 的性质 (iv)；并说明为什么一般而言 \(P(a\le X\le b)\ne F(b)-F(a)\)。
答案与提示由有限可加性 \(F(b)=P(X\le b)=P(X\le a)+P(a<X\le b)=F(a)+P(a<X\le b)\)，移项即得。至于后者：\(\{a\le X\le b\}\) 比 \(\{a<X\le b\}\) 多包含样本点 \(\{X=a\}\)，故 \(P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)+P(X=a)\)；只有当 \(P(X=a)=0\)（例如连续型情形）时两者才相等。