- 说明离散型随机变量的定义，能判断一个随机变量的可能取值集合是否至多可数；
- 写出分布列 \(p(x)=P(X=x)\)，并运用非负性与规范性 \(\sum_x p(x)=1\) 检验分布列或确定其中的待定常数；
- 用公式 \(P(X\in A)=\sum_{x\in A}p(x)\) 计算任意事件的概率；
- 由分布列求分布函数 \(F(x)=\sum_{y\le x}p(y)\)，并利用跳变公式 \(p(x)=F(x)-F(x^{-})\) 由 \(F\) 读回 \(p\)；
- 绘制并解读分布列棒图与阶梯形分布函数图。
1. 离散型随机变量与分布列
在 4.1 节中，我们把随机变量(random variable)定义为样本空间 \(S\) 上的实值函数 \(X:S\to\mathbb{R}\)，并用分布函数 \(F(x)=P(X\le x)\) 刻画它的概率规律。如果 \(X\) 的可能取值只有有限多个，或者虽然无穷却能排成一列，那么它的全部概率信息可以浓缩成一张"取值—概率"对照表：知道每个可能值各分到多少概率，就知道了一切。本节研究的正是这类随机变量，它们是本节直到 4.8 节的主角；与之相对的连续型随机变量留待第 5 章。
先看几个熟悉的例子。掷一颗骰子出现的点数取值于 \(\{1,2,\dots,6\}\)，掷三枚硬币时正面出现的次数取值于 \(\{0,1,2,3\}\)——这些是有限取值的情形。一页书上的错字个数可以是 \(0,1,2,\dots\)，掷骰子直到首次出现 6 所需的次数可以是 \(1,2,3,\dots\)——取值集合虽无穷，却能依次排成一列，即可数无穷(countably infinite)。两类情形合称"至多可数"。
若随机变量 \(X\) 的可能取值集合 \(\{x:\,P(X=x)>0\}\) 是有限集或可数无穷集，则称 \(X\) 为离散型随机变量(discrete random variable)。该集合中的元素通常记作 \(x_1,x_2,\dots\)，称为 \(X\) 的可能值。
"可数"(countable)指集合能与自然数集一一对应，即能把元素排成（有限或无穷的）序列 \(x_1,x_2,\dots\)。应用中常见的随机变量几乎都属此类：个数、次数、件数等取值都是"数得清"的。
设 \(X\) 为离散型随机变量，可能值为 \(x_1,x_2,\dots\)。定义 \[ p(x)=P(X=x),\qquad x=x_1,x_2,\dots, \] 称 \(p\) 为 \(X\) 的分布列(probability mass function，简称 pmf，亦译概率质量函数)；需要指明所属变量时记作 \(p_X(x)\)。
pmf 把总概率 1 当作"质量"分配到各个可能值上——这正是"质量函数"一名的由来。在可能值之外的实数 \(x\) 处，\(P(X=x)=0\)，因此 \(p\) 在 \(\mathbb{R}\) 的其余部分恒取 0。
设 \(p\) 是离散型随机变量 \(X\)（可能值 \(x_1,x_2,\dots\)）的分布列，则
(i) \(p(x)\ge 0\) 对一切 \(x\) 成立；
(ii) \(\displaystyle\sum_{i}p(x_i)=1\)（规范性）；
(iii) 对任意 \(A\subseteq\mathbb{R}\)，有
\[ P(X\in A)=\sum_{i:\,x_i\in A}p(x_i). \]
反过来，任何同时满足 (i)、(ii) 的函数都可以充当某个离散型随机变量的分布列：取样本空间 \(S=\{x_1,x_2,\dots\}\) 并令 \(X(x_i)=x_i\) 即可。因此 (i)+(ii) 是 pmf 的完整刻画，也是最常用的检验工具。常见误区是只验证非负而忘记验证总和恰为 1。当分布列中含有待定常数 \(c\) 时，恰恰要用规范性把它解出来——见下面例 2。
2. 写出分布列：数样本点与定常数
求分布列的基本功是"数样本点"：在等可能模型下，\(p(x)\) 等于事件 \(\{X=x\}\) 所含样本点数除以样本点总数，而计数正是第 1 章组合分析的用武之地。求出之后务必用规范性 \(\sum p(x)=1\) 自检；若分布列含待定常数，则要用这条性质把常数定出来。
掷三枚均匀硬币，以 \(X\) 记正面出现的个数。(a) 求 \(X\) 的分布列；(b) 验证它满足规范性；(c) 求 \(P(X\ge 2)\)。
| 正面数 \(k\) | 包含的样本点 | 个数 \(\binom{3}{k}\) | \(p(k)=\binom{3}{k}/8\) |
|---|---|---|---|
| 0 | TTT | \(\binom{3}{0}=1\) | \(1/8\) |
| 1 | HTT, THT, TTH | \(\binom{3}{1}=3\) | \(3/8\) |
| 2 | HHT, HTH, THH | \(\binom{3}{2}=3\) | \(3/8\) |
| 3 | HHH | \(\binom{3}{3}=1\) | \(1/8\) |
| 合计 | — | 8 | 1 |
设 \(p(x)=\dfrac{c}{2^{x}}\)，\(x=1,2,\dots\)。问常数 \(c\) 取何值时，\(p\) 可以作为某个离散型随机变量 \(X\) 的分布列？
掷一枚均匀硬币直到首次出现正面所需的次数 \(K\) 满足 \(P(K=k)=(1/2)^{k}\)（前 \(k-1\) 次均为反面、第 \(k\) 次正面），正是例 2 中 \(c=1\) 的分布。把"正面概率"换成一般的 \(p\)，就得到 4.8 节的几何分布(geometric distribution)。可见"无穷多个可能值"的分布列同样来自最朴素的试验。
3. 分布列与分布函数的互推
4.1 节定义的分布函数 \(F(x)=P(X\le x)\) 对任何随机变量都有意义；对离散型随机变量，\(F\) 与 \(p\) 携带完全相同的信息，可以互相推算：从 \(p\) 到 \(F\) 靠"累加"，从 \(F\) 回到 \(p\) 靠"差分"。
设离散型随机变量 \(X\) 的分布列为 \(p\)、分布函数为 \(F\)，则对一切实数 \(x\)， \[ F(x)=P(X\le x)=\sum_{x_i\le x}p(x_i); \] 反之，对每个可能值 \(x_j\)， \[ p(x_j)=F(x_j)-F(x_j^{-}),\qquad\text{其中 } F(x_j^{-})=\lim_{y\uparrow x_j}F(y)=P(X<x_j). \]
由此可知离散型随机变量的分布函数是单调不减的阶梯函数(step function)：它在每个可能值 \(x_j\) 处向上跳变，跳变高度恰为 \(p(x_j)\)，台阶之间则保持水平；又因定义用的是"\(\le\)"，\(F\) 在每点取台阶上端的值，即右连续(right-continuous)。
求例 1 中正面个数 \(X\) 的分布函数 \(F\)，画出其图像；再由 \(F\) 反推 \(p(2)\)，验证定理 2 的第二式。
| \(x\) 的范围 | \(F(x)=P(X\le x)\) |
|---|---|
| \(x<0\) | \(0\) |
| \(0\le x<1\) | \(1/8\) |
| \(1\le x<2\) | \(4/8\) |
| \(2\le x<3\) | \(7/8\) |
| \(x\ge 3\) | \(1\) |
计算 \(X\) 落入某个集合的概率，用 pmf 直接求和最顺手；遇到不等式区间，4.1 节的 \(P(a<X\le b)=F(b)-F(a)\) 与定理 1(iii) 殊途同归，例如 \(P(0.5<X\le 2.5)=F(2.5)-F(0.5)=\tfrac78-\tfrac18=\tfrac34\)，可见 \(F\) 天然支持非整数端点。下一节定义期望 \(E[X]=\sum x\,p(x)\) 时，分布列更是唯一的入口（4.3 节）；而当取值充满区间时，"求和"须让位于"积分"——那是 5.1 节密度函数的故事。
4. 本节小结
- 离散型随机变量的可能取值至多可数；其概率规律由分布列 \(p(x)=P(X=x)\) 完整刻画。
- 分布列两条判据：\(p(x)\ge 0\) 且 \(\sum_x p(x)=1\)；含待定常数时由规范性确定（例 2 中解得 \(c=1\)）。
- 事件概率公式 \(P(X\in A)=\sum_{x\in A}p(x)\)：把落在 \(A\) 中的"概率质量"全部加起来。
- pmf 到 CDF 靠累加 \(F(x)=\sum_{y\le x}p(y)\)；CDF 回 pmf 靠差分 \(p(x)=F(x)-F(x^{-})\)，台阶高度即 \(p(x)\)。
- 图像语言：pmf 画成棒图（图 1），CDF 画成右连续阶梯（图 2），两幅图可互相读出。
练习
练习 4-2-1
设 \(p(x)=c\big(\tfrac{1}{3}\big)^{x}\)，\(x=0,1,2,\dots\)。求常数 \(c\) 使 \(p\) 成为分布列，并计算 \(P(X\ge 2)\)。
答案与提示由规范性 \(1=c\sum_{x=0}^{\infty}\big(\tfrac13\big)^{x}=c\cdot\dfrac{1}{1-1/3}=c\cdot\dfrac{3}{2}\)，故 \(c=\dfrac{2}{3}\)。再由定理 1(iii)，\(P(X\ge 2)=\dfrac{2}{3}\sum_{x=2}^{\infty}\dfrac{1}{3^{x}}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1/9}{2/3}=\dfrac{1}{9}\)。
练习 4-2-2
设 \(X\) 的分布函数为 \(F(x)=0\;(x<1)\)、\(F(x)=\tfrac15\;(1\le x<2)\)、\(F(x)=\tfrac{7}{10}\;(2\le x<3)\)、\(F(x)=1\;(x\ge 3)\)。由 \(F\) 读出 \(X\) 的分布列。
答案与提示\(X\) 只在 \(F\) 的跳变点 \(1,2,3\) 处取正值。\(p(1)=F(1)-F(1^{-})=\tfrac15\)；\(p(2)=\tfrac{7}{10}-\tfrac15=\tfrac12\)；\(p(3)=1-\tfrac{7}{10}=\tfrac{3}{10}\)。验证：\(\tfrac15+\tfrac12+\tfrac{3}{10}=1\)。
练习 4-2-3
掷三枚均匀硬币，\(X\) 为正面个数（例 1 的分布）。求 \(P(1\le X<3)\) 与 \(P(X>0)\)，并说明为何 \(P(X<3)\ne P(X\le 3)\)。
答案与提示\(P(1\le X<3)=p(1)+p(2)=\tfrac38+\tfrac38=\tfrac34\)；\(P(X>0)=1-p(0)=\tfrac78\)。因为 \(p(3)=\tfrac18>0\)，\(P(X\le3)=1\) 比 \(P(X<3)=\tfrac78\) 恰多出 \(p(3)\)——离散情形务必留意不等号是否带等号。
练习 4-2-4
问 \(p(x)=\dfrac{x}{15}\;(x=1,2,3,4,5)\) 能否作为分布列？若能，求 \(P(1\le X\le 3)\) 与 \(P\big(X\in\{2,4\}\big)\)。
答案与提示各值非负，且 \(\sum_{x=1}^{5}\dfrac{x}{15}=\dfrac{15}{15}=1\)，规范性成立，故可以。\(P(1\le X\le 3)=\dfrac{1+2+3}{15}=\dfrac35\)；\(P\big(X\in\{2,4\}\big)=\dfrac{2+4}{15}=\dfrac25\)。