- 说明连续情形下不能用 \(P(X\le x\,|\,Y=y)\) 直接定义条件分布的原因，并借助微小事件推导条件密度公式；
- 由联合密度与边缘密度计算条件密度 \(f_{X|Y}(x|y)\)，并验证它是合法密度（非负、积分为 1）；
- 计算条件期望 \(E[X\,|\,Y=y]\)，并阐明 \(E[X\,|\,Y]\) 作为 \(Y\) 的函数是一个随机变量；
- 用全期望公式 \(E\big[E[X\,|\,Y]\big]=E[X]\) 完成数值验证与概率计算；
- 刻画独立情形下"条件分布 = 无条件分布"，并与 6.2 节的独立性判别法相互印证。
1. 从"切片"到条件密度
在 6.4 节中，我们对离散型随机向量定义了条件分布列 \(p_{X|Y}(x|y)=p(x,y)/p_Y(y)\)：固定 \(y\)，把联合分布列的某一列除以该列之和 \(p_Y(y)\) 即得。连续情形遇到了一个新困难：连续型随机变量取任何单点的概率为零，\(P(Y=y)=0\)，因此 \(P(X\le x\,|\,Y=y)\) 不能再按条件概率的比值定义——分子与分母同时为零。出路是"退半步"：先让 \(Y\) 落在 \(y\) 附近的一个小区间上，再看比值，最后让区间长度趋于零。
设 \((X,Y)\) 有联合密度 联合密度函数(joint probability density function) \(f(x,y)\)，\(Y\) 有边缘密度 \(f_Y(y)\)（其计算见 6.1 节）。当 \(dx,dy\) 很小时，略去高阶无穷小可得 \[ P(x < X \le x+dx \,\big|\, y < Y \le y+dy) = \frac{f(x,y)\,dx\,dy}{f_Y(y)\,dy} = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\,dx. \] 与第 5 章"密度 × 区间长度 ≈ 概率"的读法对照，上式说明：在已知 \(Y\) 的取值约为 \(y\) 的条件下，\(X\) 的局部概率仍按某个关于 \(x\) 的密度分布，而这个密度恰是比值 \(f(x,y)/f_Y(y)\)。
这一公式也有直观的几何图像：联合密度曲面被平面 \(y=y_0\) 截出一条沿 \(x\) 方向的曲线——切片(slice)。切片 \(x\mapsto f(x,y_0)\) 本身一般不是密度：它下方的面积等于 \(\int f(x,y_0)\,dx=f_Y(y_0)\)，未必是 1。把切片整体除以 \(f_Y(y_0)\)（归一化），便得到一条合法的密度曲线（图 1）。这正是离散情形"一列除以列和"的连续翻版——把求和换成了积分。
设 \((X,Y)\) 为连续型随机向量，联合密度为 \(f(x,y)\)，\(Y\) 的边缘密度为 \(f_Y(y)\)。对一切使 \(f_Y(y)>0\) 的 \(y\)，定义 \[ f_{X|Y}(x\,|\,y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)},\qquad -\infty < x < \infty, \] 称为给定 \(Y=y\) 时 \(X\) 的条件密度(conditional density)。其支撑 \(\{x:\ f(x,y)>0\}\) 一般随 \(y\) 而变化。
借助条件密度，条件概率按通常方式定义：\(P(X\in A\,|\,Y=y)=\int_A f_{X|Y}(x|y)\,dx\)。同样可定义 \(f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_X(x)\)。
对每个使 \(f_Y(y)>0\) 的 \(y\)，函数 \(x\mapsto f_{X|Y}(x|y)\) 非负且 \[ \int_{-\infty}^{\infty} f_{X|Y}(x\,|\,y)\,dx = 1. \]
既然 \(P(Y=y)=0\)，严格讨论"以零概率事件为条件"需要测度论中的正则条件分布概念。本教程采取的等价处理是：把 \(f_{X|Y}(x|y)\) 理解为 \(\ P(X\in dx\,|\,y<Y\le y+dy)\) 当 \(dy\to 0\) 时的极限密度。可以验证，对书中遇到的一切例子，这两种方式给出相同而自洽的答案，可放心使用。
2. 条件期望：\(E[X\,|\,Y]\) 是 \(Y\) 的函数
有了条件密度，求条件期望只剩"把条件密度当普通密度求平均"这一步。
给定 \(Y=y\) 时 \(X\) 的条件期望(conditional expectation) 定义为 \[ E[X\,|\,Y=y] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f_{X|Y}(x\,|\,y)\,dx, \] 设右边绝对收敛。积分的结果不再含 \(x\)，是 \(y\) 的函数，记作 \(h(y)\)。
接下来是本节最重要的视角转换：\(E[X\,|\,Y=y]\) 是一个数，而 \(y\) 只是随机变量 \(Y\) 的一个可能取值。让 \(y\) 跟随 \(Y\) 随机取值，便得到 \[ E[X\,|\,Y] = h(Y), \] 它是 \(Y\) 的函数，因而本身是一个随机变量(random variable)！这是初学者最常见的绊脚石：记号 \(E[X\,|\,Y]\) 不是数，在观察到 \(Y\) 之前它的取值并不确定。直观上，\(E[X\,|\,Y]\) 是"先用 \(Y\) 提供的信息对 \(X\) 做平均"的结果；7.4 节将证明：在所有 \(Y\) 的函数中，它是对 \(X\) 的最小均方误差预测。
设 \((X,Y)\) 的联合密度为 \(f(x,y)=x+y\)（\(0<x<1,\ 0<y<1\)，其余处为 0）。(a) 求边缘密度 \(f_Y\)；(b) 求条件密度 \(f_{X|Y}\) 并验证其合法性；(c) 求 \(E[X\,|\,Y=y]\) 与 \(E[X\,|\,Y]\)。
请严格区分：\(E[X\,|\,Y=y]\) 是数（\(y\) 的函数值）；\(E[X\,|\,Y]=h(Y)\) 是随机变量（观察到 \(Y\) 之前取值不定）；\(E[X]\) 是常数。三者由全期望公式 \(E\big[E[X\,|\,Y]\big]=E[X]\) 联系起来（见第 4 小节）。
3. 三角域上的均匀分布：条件均匀
当联合密度在支撑域上为常数（即区域上的均匀分布，见 6.1 节）时，条件分布呈现最简洁的形态：每个切片上的条件分布都是均匀分布。我们在 6.1、6.2 节反复使用的三角域上把一切算尽。
设 \((X,Y)\) 在 \(D=\{(x,y):\ 0<y<x<1\}\) 上均匀分布，即 \(f(x,y)=2\)（在 \(D\) 上）。求 \(f_{X|Y}\)、\(f_{Y|X}\)、\(E[X\,|\,Y=y]\) 与 \(E[Y\,|\,X=x]\)。
对照例 1 与例 2 颇有启发：例 1 的支撑是正方形，条件密度的形状（线性递增）不随 \(y\) 变，但高度与位置随 \(y\) 调整；例 2 的支撑是三角形，条件密度恒为均匀，但所在区间随条件值滑动。两种机制都使条件分布随 \(y\)（或 \(x\)）变化，因而 \(X\) 与 \(Y\) 都不独立——这与 6.2 节"支撑非矩形必不独立""密度不可分离必不独立"的判别法完全一致。
| 项目 | 例 1：\(f=x+y\)，\(0<x,y<1\) | 例 2：\(f=2\)，\(0<y<x<1\) |
|---|---|---|
| \(f_Y(y)\) | \(y+\tfrac12\) | \(2(1-y)\) |
| \(f_{X|Y}(x|y)\) | \(\dfrac{x+y}{y+1/2}\)，\(0<x<1\) | \(\dfrac{1}{1-y}\)，\(y<x<1\)（均匀） |
| \(E[X|Y=y]\) | \(\dfrac{2+3y}{3+6y}\) | \(\dfrac{1+y}{2}\) |
| \(f_X(x)\) | \(x+\tfrac12\) | \(2x\) |
| \(f_{Y|X}(y|x)\) | \(\dfrac{x+y}{x+1/2}\)，\(0<y<1\) | \(\dfrac{1}{x}\)，\(0<y<x\)（均匀） |
| \(E[Y|X=x]\) | \(\dfrac{3x+2}{6x+3}\) | \(\dfrac{x}{2}\) |
| \(E[X]\)，\(E[Y]\) | \(\tfrac{7}{12}\)，\(\tfrac{7}{12}\) | \(\tfrac{2}{3}\)，\(\tfrac{1}{3}\) |
4. 独立性与全期望公式
若 \(X\) 与 \(Y\) 独立，则"知道 \(Y\)"不提供关于 \(X\) 的任何信息，条件分布应当还原为无条件分布；反之，若对每个 \(y\) 条件密度都与 \(y\) 无关且等于边缘密度，则 \(X\) 与 \(Y\) 独立。
设 \(f_Y(y)>0\) 的 \(y\) 处处有定义。则 \(X\) 与 \(Y\) 独立，当且仅当对一切这样的 \(y\) 及一切 \(x\)， \[ f_{X|Y}(x\,|\,y)=f_X(x). \] 此时有乘法重构 \(f(x,y)=f_Y(y)\,f_{X|Y}(x\,|\,y)=f_X(x)f_Y(y)\)。
设 \(f(x,y)=e^{-(x+y)}\)（\(x>0,\ y>0\)）。求 \(f_{X|Y}\) 并与 \(f_X\) 比较。
\(E[X\,|\,Y]\) 是随机变量，于是它可以再求期望。所得的数与 \(E[X]\) 相同——这就是本节最重要的公式。
设 \(E\,|X|<\infty\)，则 \[ E\big[E[X\,|\,Y]\big] = E[X]. \] （law of total expectation，又称重期望公式。）
在例 2 的三角域上，分别对 \(E[Y\,|\,X]\) 与 \(E[X\,|\,Y]\) 验证定理 3。
全期望公式给出了一种"分而治之"的算法：当 \(E[X]\) 难以直接积分时，先找一变量 \(Y\) 条件化（求 \(E[X\,|\,Y=y]\)，往往只需均匀分布或一元密度），再对 \(Y\) 平均。练习 4 的概率计算即用此法。7.4 节将系统展开条件期望的性质（线性、取出已知变量、最小均方预测等）及其在随机个数求和等问题中的应用；本节只要求会算、会验证。
5. 本节小结
- 连续情形不能直接用 \(P(X\le x\,|\,Y=y)\)（因 \(P(Y=y)=0\)），应通过微小事件之比定义条件密度 \(f_{X|Y}(x|y)=f(x,y)/f_Y(y)\)：切片除以切片的面积（=边缘密度值）。它是合法密度（定理 1），且 \(P(X\in A|Y=y)=\int_A f_{X|Y}\,dx\)。
- 条件期望 \(E[X\,|\,Y=y]=\int x\,f_{X|Y}(x|y)\,dx\) 是 \(y\) 的函数 \(h(y)\)；\(E[X\,|\,Y]=h(Y)\) 是随机变量，与数 \(E[X\,|\,Y=y]\)、常数 \(E[X]\) 严格区分。
- 全期望公式：\(E\big[E[X\,|\,Y]\big]=E[X]\)；三角域上 \(E[E[Y|X]]=E[X/2]=1/3=E[Y]\) 已数值验证。
- 独立 ⟺ 条件分布 = 无条件分布，且联合可由"边缘 × 条件"重构：\(f(x,y)=f_Y(y)f_{X|Y}(x|y)\)。
- 区域上的均匀分布，其条件分布是切片上的均匀分布：三角域 \(0<y<x<1\) 上 \(X|Y=y\sim U(y,1)\)（密度 \(1/(1-y)\)），\(Y|X=x\sim U(0,x)\)（密度 \(1/x\)），\(E[Y|X=x]=x/2\)。
练习
练习 6-5-1
在三角域 \(D=\{0<y<x<1\}\)（\(f=2\)）上求 \(E[X\,|\,Y=y]\)，并指出条件分布的类型。
答案与提示\(f_Y(y)=2(1-y)\)，\(f_{X|Y}(x|y)=1/(1-y)\)（\(y<x<1\)）与 \(x\) 无关，故 \(X|Y=y\sim U(y,1)\)，\(E[X\,|\,Y=y]=(y+1)/2\)。切片越靠近顶端（\(y\) 越大）越短，条件均值越小。
练习 6-5-2
设 \(f(x,y)=e^{-(x+y)}\)（\(x>0,\ y>0\)）。求 \(f_{X|Y}\) 与 \(f_X\)，验证两者相等，并说明这蕴含什么。
答案与提示\(f_Y(y)=e^{-y}\)，\(f_{X|Y}(x|y)=e^{-(x+y)}/e^{-y}=e^{-x}=f_X(x)\)（\(x>0\)）。条件分布与无条件分布相同，由定理 2 知 \(X\) 与 \(Y\) 独立（与 6.2 节"密度可分离"的判别一致）。
练习 6-5-3
对例 1 的 \(f(x,y)=x+y\)（\(0<x,y<1\)）验证全期望公式：分别计算 \(E\big[E[X\,|\,Y]\big]\) 与 \(E[X]\)。
答案与提示\(E\big[E[X\,|\,Y]\big]=\displaystyle\int_0^1\frac{2+3y}{3+6y}\Big(y+\frac12\Big)dy=\int_0^1\Big(\frac13+\frac y2\Big)dy=\frac13+\frac14=\frac{7}{12}\)（利用 \(3+6y=6(y+1/2)\) 约分）；而 \(f_X(x)=x+\tfrac12\)，\(E[X]=\int_0^1 x(x+\tfrac12)\,dx=\tfrac{7}{12}\)。两者相等，即图 3 虚线高度。
练习 6-5-4
在例 2 的三角域上，利用条件分布计算 \(P(Y<X/2)\)，再用二重积分直接验证。
答案与提示给定 \(X=x\)，\(Y|X=x\sim U(0,x)\)，故 \(P(Y<x/2\,|\,X=x)=\tfrac{x/2}{x}=\tfrac12\)，于是 \(P(Y<X/2)=E\big[\tfrac12\big]=\tfrac12\)（全期望公式用于概率）。直接验证：\(\int_0^1\!\int_0^{x/2}2\,dy\,dx=\int_0^1 x\,dx=\tfrac12\)。\(\checkmark\)