- 能完整叙述二维变量替换定理，写出逆变换与雅可比行列式 \(J=\partial(x,y)/\partial(u,v)\)，并说明 \(|J|\) 的几何意义——面积元的局部伸缩率；
- 能把 5.7 节的一维替换公式视为本定理的特例，用"长度元／面积元"的统一观点理解两者；
- 熟练完成三大经典计算：等方差正态变量的和差、正态变量之商（柯西分布）与极坐标变换；
- 说明"等方差时和与差独立"这一现象的几何来源（旋转 45°）及其统计学意义；
- 会处理变换非一一对应的情形（分块求和），并了解本节结论在模拟（Box–Muller 方法）中的应用。
1. 问题的提出：从一维替换到二维替换
在 5.7 节中我们解决了"一个随机变量的函数"的分布问题：若连续型变量 \(X\) 的密度为 \(f_X\)，\(g\) 单调可微且反函数为 \(h=g^{-1}\)，则 \(Y=g(X)\) 的密度为 \(f_Y(y)=f_X(h(y))\,|h'(y)|\)。6.3 节的卷积公式又给出了独立随机变量之和的密度。但这些方法的输出都是一个函数、一个分布——它们是一维的。
本节面对的是真正二维的新问题：设 \((X,Y)\) 有联合密度，取两个函数 \(U=g_1(X,Y)\)，\(V=g_2(X,Y)\)，要求 \((U,V)\) 的联合密度(joint probability density function) \(f_{U,V}\)。典型如 \(X,Y\) 独立同分布于 \(N(0,1)\) 时取 \(U=X+Y\)（和）与 \(V=X-Y\)（差）：\(U\) 与 \(V\) 各自的边缘密度用卷积都不难求出（均为 \(N(0,2)\)），但"和与差是否独立"这类问题必须知道联合密度才能回答——而 6.1 节早已提醒我们：边缘分布无法决定联合分布。一维公式在这里彻底失效，因为 \((X,Y)\mapsto(U,V)\) 是平面到平面的映射，我们需要的是"二重积分换元"的概率版本。
好在核心思想与一维完全相同：概率质量守恒。一维时 \(f_X(x)\,dx=f_Y(y)\,dy\)，新旧密度之比等于"长度元"的伸缩率；二维时概率落在小面积元上，\(f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy=f_{U,V}(u,v)\,du\,dv\)，密度之比相应地变为"面积元"的局部伸缩率。图 1 先给出直观。
2. 替换定理与雅可比行列式
把上述直观精确化需要两样东西：逆变换(inverse transformation)与雅可比行列式(Jacobian determinant)。设变换 \((u,v)=T(x,y)=(g_1(x,y),\,g_2(x,y))\) 在 \((X,Y)\) 的支撑集与其像集之间建立一一对应，记逆变换为 \(x=x(u,v)\)，\(y=y(u,v)\)，并设它们有一阶连续偏导数。
\[ J(u,v)=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\[1ex] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix} =\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}. \]
几何意义：\(|J|\) 是逆变换在 \((u,v)\) 附近的面积元局部伸缩率——\((u,v)\) 平面上面积 \(du\,dv\) 的小方块被逆变换映回 \((x,y)\) 平面后，面积约为 \(|J|\,du\,dv\)。图 1 中的替换满足 \(|J|=1/2\)：正向面积放大 2 倍，逆向自然缩小一半。
设 \((X,Y)\) 有联合密度 \(f_{X,Y}\)，变换 \(U=g_1(X,Y)\)，\(V=g_2(X,Y)\) 的逆变换 \(x=x(u,v)\)，\(y=y(u,v)\) 在像集上连续可微且 \(J(u,v)\neq 0\)，则 \((U,V)\) 的联合密度为
\[ f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}\bigl(x(u,v),\,y(u,v)\bigr)\,\bigl|J(u,v)\bigr|, \]
其中 \((u,v)\) 属于变换的像集；像集之外 \(f_{U,V}(u,v)=0\)。
\[ P\bigl((U,V)\in A\bigr)\approx f_{X,Y}\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\,|J|\,du\,dv. \]令 \(du,dv\to 0\) 即得密度公式。严格的论证就是数学分析中的二重积分换元定理。
一维公式是特例。只有一个变量时，"平行四边形"退化为区间，\(|J|\) 退化为 \(|h'(y)|\)：区间 \([y,y+dy]\) 的原像长度约为 \(|h'(y)|\,dy\)。于是 5.7 节的公式 \(f_Y(y)=f_X(h(y))\,|h'(y)|\) 正是定理 1 的一维版本。两者的统一观点是：密度 = 概率质量 ÷ 几何测度；替换时质量不变，测度按伸缩率换算——一维看长度元，二维看面积元。
| 要点 | 一维（5.7 节） | 二维（本节） |
|---|---|---|
| 变换 | \(Y=g(X)\)，反函数 \(x=h(y)\) | \(U=g_1(X,Y)\)，\(V=g_2(X,Y)\)，逆 \(x(u,v),\,y(u,v)\) |
| 伸缩率 | \(|h'(y)|\)（长度元） | \(|J|\)（面积元） |
| 公式 | \(f_Y(y)=f_X(h(y))|h'(y)|\) | \(f_{U,V}=f_{X,Y}(x(u,v),y(u,v))\,|J|\) |
（i）正向与逆向雅可比互为倒数：在对应点处 \(\bigl|\tfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\bigr|=1/|J|\)，故也可写为 \(f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(x(u,v),y(u,v))\big/\bigl|\tfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\bigr|\)（在逆变换点取值）。哪个行列式好算就用哪个，例如极坐标正向行列式 \(r\) 一眼可写。（ii）一一对应可以放宽：若支撑集能分成有限块、每块上变换一一对应，则密度为各块贡献之和——这与一维非单调（如 \(Y=X^2\)）时分段求和完全类似。（iii）本定理只对连续型有意义；离散型无需雅可比，直接对每个 \((u,v)\) 把原像点上的概率相加即可。
3. 经典应用：和差、商与极坐标
下面三个例子是二维替换的标准应用，都以独立标准正态为起点——这是概率论最重要的一块试验田。
设 \(X,Y\) 独立同分布于 \(N(0,1)\)，求 \(U=X+Y\) 与 \(V=X-Y\) 的联合密度，并判断 \(U\) 与 \(V\) 是否独立。
\[ x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2}. \]
第二步，雅可比：\(\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial x}{\partial v}=\frac{\partial y}{\partial u}=\frac12\)，\(\frac{\partial y}{\partial v}=-\frac12\)，故
\[ J=\frac12\cdot\Bigl(-\frac12\Bigr)-\frac12\cdot\frac12=-\frac12,\qquad |J|=\frac12, \]
（校验：正向行列式 \(\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-2\)，绝对值恰为 \(1/|J|\)，符合注记（i）。）第三步，代入：由于
\[ x^2+y^2=\frac{(u+v)^2+(u-v)^2}{4}=\frac{u^2+v^2}{2}, \]
所以
\[ f_{U,V}(u,v)=\frac{1}{2\pi}e^{-(u^2+v^2)/4}\cdot\frac12=\frac{1}{4\pi}\,e^{-u^2/4}\,e^{-v^2/4}. \]
第四步，识别：\(N(0,2)\) 的密度为 \(\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-t^2/4}\)，于是上式恰为
\[ f_{U,V}(u,v)=\Bigl[\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-u^2/4}\Bigr]\cdot\Bigl[\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-v^2/4}\Bigr], \]
即两个 \(N(0,2)\) 密度之积——联合密度可分离。故 \(U\) 与 \(V\) 相互独立，且都服从 \(N(0,2)\)。边缘与 6.3 节的卷积结果一致：方差 \(1+1=2\) 相加。
和与差竟然独立！这并不显然——\(U\) 与 \(V\) 都同时含有 \(X\) 和 \(Y\)。关键在"等方差"与正态密度的旋转对称性：从图 2 看，\((x,y)\mapsto(u,v)\) 本质上是"旋转 45° + 尺度放大 \(\sqrt{2}\)"，而标准二维正态的等高线是同心圆 \(x^2+y^2=c\)，旋转后仍是圆 \(u^2+v^2=2c\)，密度沿新坐标轴依旧可分离。若 \(X,Y\) 方差不等，等高线变成椭圆，旋转 45° 后不再与坐标轴对齐，独立性即遭破坏（练习 1）。一般地，\(X\sim N(\mu_1,\sigma^2)\)、\(Y\sim N(\mu_2,\sigma^2)\) 独立时，\(U\) 与 \(V\) 仍独立，分别服从 \(N(\mu_1+\mu_2,\,2\sigma^2)\) 与 \(N(\mu_1-\mu_2,\,2\sigma^2)\)（均值只作平移，不改变上述论证）。
例 1 的现象是统计学一个著名事实的最简单情形：正态总体的样本均值 \(\bar{X}\) 与样本方差 \(S^2\) 相互独立（7.7 节）。其根源正如本例——正交变换保持标准正态的独立结构。例 1 的 45° 旋转正是 \(n=2\) 时的正交变换。
设 \(X,Y\) 独立同分布于 \(N(0,1)\)，证明 \(U=X/Y\) 服从标准柯西分布（5.6 节）。
\[ J=v\cdot 1-u\cdot 0=v,\qquad |J|=|v|. \]
代入（注意 \(x^2+y^2=u^2v^2+v^2=(1+u^2)v^2\)）：
\[ f_{U,V}(u,v)=\frac{1}{2\pi}\,|v|\,e^{-(1+u^2)v^2/2},\qquad -\infty<u<\infty,\;-\infty<v<\infty. \]
再对 \(v\) 积分求边缘密度（被积函数是偶函数）：
\[ f_U(u)=\frac{1}{\pi}\int_0^\infty v\,e^{-(1+u^2)v^2/2}\,dv \;\overset{t=v^2/2}{=}\;\frac{1}{\pi}\int_0^\infty e^{-(1+u^2)t}\,dt=\frac{1}{\pi(1+u^2)}, \]
即标准柯西密度。与 5.6 节呼应：柯西分布期望不存在、尾部极厚——两个"最温和"的正态变量相除，竟得到一个"最狂野"的分布，原因在于分母 \(Y\) 可以任意接近 \(0\)。
两点补充：其一，\((U,V)\) 并不独立——密度含因子 \(|v|e^{-u^2v^2/2}\)，无法分离成 \(u\) 的函数与 \(v\) 的函数之积；其二，若 \(X,Y\) 同方差 \(N(0,\sigma^2)\)，则 \(\sigma\) 在比值中约去，结论不变，仍为标准柯西；方差不等（\(\sigma_1\neq\sigma_2\)）时得到尺度参数 \(\sigma_1/\sigma_2\) 的柯西分布。
设 \((X,Y)\) 有联合密度 \(f_{X,Y}\)，令 \(R=\sqrt{X^2+Y^2}\)，\(\Theta\in[0,2\pi)\) 为极角。求 \((R,\Theta)\) 的联合密度，并证明：若存在函数 \(h\) 使 \(f_{X,Y}(x,y)=h(x^2+y^2)\) 只依赖于到原点的距离，则 \(\Theta\sim U(0,2\pi)\) 且与 \(R\) 独立。
\[ J=\begin{vmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta\end{vmatrix}=r\cos^2\theta+r\sin^2\theta=r, \]
这正是熟知的面积元公式 \(dx\,dy=r\,dr\,d\theta\)。由定理 1，
\[ f_{R,\Theta}(r,\theta)=f_{X,Y}(r\cos\theta,\,r\sin\theta)\cdot r. \]
若 \(f_{X,Y}(x,y)=h(x^2+y^2)\)，则 \(f_{R,\Theta}(r,\theta)=r\,h(r^2)\) 与 \(\theta\) 无关，且可分解为
\[ f_{R,\Theta}(r,\theta)=\bigl[\,2\pi r h(r^2)\,\bigr]\cdot\frac{1}{2\pi}, \]
故 \(\Theta\sim U(0,2\pi)\)、与 \(R\) 独立，且 \(f_R(r)=2\pi r h(r^2)\)（\(r>0\)）。
对 \(X,Y\) 独立 \(N(0,1)\)：\(h(t)=\frac{1}{2\pi}e^{-t/2}\)，故 \(f_{R,\Theta}(r,\theta)=\frac{1}{2\pi}\,r\,e^{-r^2/2}\)，即 \(\Theta\sim U(0,2\pi)\) 且 \(R\) 服从瑞利分布(Rayleigh distribution)，\(f_R(r)=r e^{-r^2/2}\)。验证与计算：\(\int_0^\infty r e^{-r^2/2}dr=1\)（归一性成立）；令 \(t=r^2/2\) 得分布函数 \(P(R\le a)=\int_0^a r e^{-r^2/2}dr=1-e^{-a^2/2}\)；又 \(E[R^2]=E[X^2]+E[Y^2]=2\)，与密度直接积分一致。
结论的含义是旋转不变性(rotational invariance)：密度只依赖 \(x^2+y^2\) 意味着等高线是同心圆，没有任何方向被偏爱，于是角度必然均匀。二维标准正态是最重要的例子，这也为它在中心极限定理（8.3 节）与统计推断中的核心地位提供了几何解释。
把例 3 反过来读就是模拟中的标准算法：取独立的 \(\Theta\sim U(0,2\pi)\) 与瑞利分布的 \(R\)，令 \(X=R\cos\Theta\)，\(Y=R\sin\Theta\)。用"前向雅可比"（注记（i））得 \(f_{X,Y}(x,y)=f_{R,\Theta}(r,\theta)/r=\frac{1}{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}\)，可分离，故 \(X,Y\) 独立同 \(N(0,1)\)。这正是 8.4 节蒙特卡洛方法中生成正态随机数的理论依据（练习 4 请补全细节）。
4. 本节小结
- 二维替换定理：\(f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(x(u,v),y(u,v))\cdot|J|\)，其中 \(J=\partial(x,y)/\partial(u,v)\)；5.7 节的一维公式是其"长度元→面积元"的退化特例。
- \(|J|\) 的几何意义是面积元的局部伸缩率；正向与逆向雅可比在对应点互为倒数，计算时取方便者。
- 三大经典结论：等方差正态变量的和与差独立（几何本质是旋转 45° 后圆形等高线不变）；正态变量之商服从柯西分布（补辅助变量 \(V=Y\)）；极坐标下旋转不变密度的角度 \(\Theta\sim U(0,2\pi)\) 且与 \(R\) 独立。
- 变换非一一对应时分块处理、贡献相加；离散型不需要雅可比。
- 延伸阅读：样本均值与样本方差的独立性（7.7 节）、Box–Muller 正态随机数生成（8.4 节）。
练习
练习 6-7-1
方差不等时，和与差不再独立：设 \(X\sim N(0,\sigma_1^2)\)、\(Y\sim N(0,\sigma_2^2)\) 独立，\(U=X+Y\)，\(V=X-Y\)。写出 \(f_{U,V}\) 并证明 \(U,V\) 独立当且仅当 \(\sigma_1=\sigma_2\)。
答案与提示逆变换与 \(|J|=1/2\) 同例 1，代入指数（\(x^2\!/(2\sigma_1^2)+y^2\!/(2\sigma_2^2)\)，\(x=(u+v)/2\)，\(y=(u-v)/2\)）得
\[ f_{U,V}(u,v)=\frac{1}{4\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\Bigl\{-\frac{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)(u^2+v^2)-2(\sigma_1^2-\sigma_2^2)uv}{8\sigma_1^2\sigma_2^2}\Bigr\}. \]
交叉项 \(-2(\sigma_1^2-\sigma_2^2)uv\) 当且仅当 \(\sigma_1=\sigma_2\) 时消失，此时密度分离为两个 \(N(0,2\sigma^2)\) 密度之积（例 1 的推广）；\(\sigma_1\neq\sigma_2\) 时密度不可分离，\(U,V\) 不独立。也可用协方差一眼看出必要性：\(\mathrm{Cov}(U,V)=\mathrm{Var}(X)-\mathrm{Var}(Y)=\sigma_1^2-\sigma_2^2\)。\((U,V)\) 是联合正态的（线性变换），故"不相关 \(\Leftrightarrow\) 独立"，与密度分解的结论一致。
练习 6-7-2
和差变换的一般雅可比：设 \((X,Y)\) 有任意联合密度 \(f_{X,Y}\)（不要求独立或正态），\(U=X+Y\)，\(V=X-Y\)。求逆变换、雅可比行列式与 \(f_{U,V}\) 的一般公式。
答案与提示逆变换 \(x=(u+v)/2\)，\(y=(u-v)/2\)；\(\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial y}{\partial u}=\frac{\partial x}{\partial v}=\frac12\)，\(\frac{\partial y}{\partial v}=-\frac12\)，故 \(J=\frac12\cdot(-\frac12)-\frac12\cdot\frac12=-\frac12\)，\(|J|=\frac12\)。于是对任何联合密度都有
\[ f_{U,V}(u,v)=\frac12\,f_{X,Y}\Bigl(\frac{u+v}{2},\,\frac{u-v}{2}\Bigr). \]
校验：正向行列式 \(\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-2\)，绝对值 2 恰为 \(1/|J|\)。可见例 1 中"和差独立"的功劳全在正态密度本身的形状，与雅可比无关。
练习 6-7-3
乘积变换：取 \(U=XY\)，\(V=X\)。(a) 求逆变换与雅可比，写出 \(f_{U,V}\) 的一般公式；(b) 当 \(X,Y\) 独立同服从 \(U(0,1)\) 时，求 \(U=XY\) 的密度。
答案与提示(a) 逆变换 \(x=v\)，\(y=u/v\)（\(v\neq0\)）。\(\frac{\partial x}{\partial u}=0\)，\(\frac{\partial x}{\partial v}=1\)，\(\frac{\partial y}{\partial u}=1/v\)，\(\frac{\partial y}{\partial v}=-u/v^2\)，故 \(J=0\cdot(-u/v^2)-1\cdot(1/v)=-1/v\)，\(|J|=1/|v|\)，于是
\[ f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}\Bigl(v,\frac{u}{v}\Bigr)\frac{1}{|v|};\qquad f_U(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(v)\,f_Y\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr)\frac{dv}{|v|}, \]其中右端的边缘公式需要 \(X,Y\) 独立。
(b) 支撑要求 \(0<v<1\) 且 \(0<u/v<1\)，即 \(v\in(u,1)\)，故对 \(0<u<1\)：\(f_U(u)=\int_u^1 \frac{1}{v}\,dv=-\ln u\)（其余处为 0）。检验：\(\int_0^1(-\ln u)\,du=1\)。
练习 6-7-4
Box–Muller（例 3 的反向）：设 \(\Theta\sim U(0,2\pi)\)，\(R\) 有密度 \(re^{-r^2/2}\)（\(r>0\)），且 \(R,\Theta\) 独立。令 \(X=R\cos\Theta\)，\(Y=R\sin\Theta\)，证明 \(X,Y\) 独立同分布于 \(N(0,1)\)。
答案与提示联合密度 \(f_{R,\Theta}(r,\theta)=\frac{1}{2\pi}re^{-r^2/2}\)。正向变换 \(x=r\cos\theta\)，\(y=r\sin\theta\) 的雅可比绝对值为 \(r\)（例 3 已算），由注记（i）的"除以正向雅可比"形式，在 \(r=\sqrt{x^2+y^2}\) 处
\[ f_{X,Y}(x,y)=\frac{f_{R,\Theta}(r,\theta)}{r}=\frac{1}{2\pi}e^{-(x^2+y^2)/2}=\Bigl[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\Bigr]\cdot\Bigl[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}\Bigr], \]
密度可分离，故 \(X,Y\) 独立同 \(N(0,1)\)。这就是模拟中由均匀随机数生成正态随机数的 Box–Muller 方法（8.4 节）。