7.3　协方差、和的方差与相关系数

学习目标

写出协方差(covariance)的定义与等价计算式，并能运用其对称性与双线性(bilinearity)化简计算；
推导并牢记"随机变量之和的方差"公式，说明独立（不相关）时方差可以相加的条件；
构造并解释"Cov = 0 但不独立"的反例 \(X\sim N(0,1),\ Y=X^2\)，准确辨析"不相关"与"独立"；
证明 \(|\rho|\le 1\) 及取等与线性关系的等价性，理解相关系数(correlation coefficient)只度量线性相依；
推导样本均值(sample mean)的方差 \(\mathrm{Var}(\bar X)=\sigma^2/n\)，并运用于组合风险与测量精度两类计算。

1. 协方差：定义与基本性质

在 7.2 节我们看到，期望的线性性 \(\ E[\sum_i X_i]=\sum_i E[X_i]\) 无须任何独立性条件。方差则没有这般好运：一般而言 \(\mathrm{Var}(X+Y)\ne \mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\)，差别恰恰在于两个随机变量是否"同向变动"——\(X\) 高于平均水平时 \(Y\) 是否也倾向于偏高？度量这种联动的量就是协方差(covariance)。直观上，身高与体重的协方差为正（同增），而一种资产的多头与空头的协方差为负（此消彼长）。

定义 1　协方差

设随机变量 \(X\) 与 \(Y\) 的期望都存在。若下式中的期望有意义，则称 \[ \mathrm{Cov}(X,Y) = E\big[(X-E[X])(Y-E[Y])\big] \] 为 \(X\) 与 \(Y\) 的协方差。等价地（由期望的线性性展开）， \[ \mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]\,E[Y]. \]

两种形式各有用处：定义式便于直观理解——偏差 \((X-E[X])\) 与 \((Y-E[Y])\) 同号为正贡献、异号为负贡献；计算式则把求 \(\mathrm{Cov}\) 化为求三个期望 \(E[XY], E[X], E[Y]\)，通常最为顺手。若 \(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\)，则称 \(X\) 与 \(Y\) 不相关(uncorrelated)。

定理 1　协方差的性质

对任意使各式有意义的随机变量与常数 \(a,b,c,d\)：

（对称性）\(\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{Cov}(Y,X)\)；
（退化情形）\(\mathrm{Cov}(X,X)=\mathrm{Var}(X)\)，且 \(\mathrm{Cov}(X,c)=0\)——与常数无联动可言；
（平移不变）\(\mathrm{Cov}(X+a,\,Y+b)=\mathrm{Cov}(X,Y)\)；
（双线性）\(\mathrm{Cov}(aX+bY,\ cZ+dW)=ac\,\mathrm{Cov}(X,Z)+ad\,\mathrm{Cov}(X,W)+bc\,\mathrm{Cov}(Y,Z)+bd\,\mathrm{Cov}(Y,W)\)，即对每个变量都是线性的。

证明这里证双线性的核心——可加性 \(\mathrm{Cov}(X+Z,\,Y)=\mathrm{Cov}(X,Y)+\mathrm{Cov}(Z,Y)\)。由计算式与期望的线性性（7.2 节）， \[ \begin{aligned} \mathrm{Cov}(X+Z,\,Y) &= E[(X+Z)Y]-E[X+Z]\,E[Y]\\ &= E[XY]+E[ZY]-\big(E[X]+E[Z]\big)E[Y]\\ &= \big(E[XY]-E[X]E[Y]\big)+\big(E[ZY]-E[Z]E[Y]\big)\\ &= \mathrm{Cov}(X,Y)+\mathrm{Cov}(Z,Y). \end{aligned} \] 对第一个变量同理。再证常数因子：\(\mathrm{Cov}(aX,Y)=E[aXY]-E[aX]E[Y]=a\,\mathrm{Cov}(X,Y)\)。两者合并即得双线性。对称性与 \(\mathrm{Cov}(X,X)=\mathrm{Var}(X)\) 直接由定义式看出；平移不变性由双线性与 \(\mathrm{Cov}(a,c)=0\) 立得。∎

例 1　掷两颗骰子：Cov = 0，方差相加

掷两颗独立的骰子，点数分别记为 \(X_1, X_2\)。求 \(\mathrm{Cov}(X_1,X_2)\) 与 \(\mathrm{Var}(X_1+X_2)\)。

解每颗骰子 \(E[X_i]=\frac{1+2+\cdots+6}{6}=\frac72\)。由独立性（或直接对 36 个等可能结果求平均）， \[ E[X_1X_2]=E[X_1]\,E[X_2]=\frac72\cdot\frac72=\frac{49}{4}, \] 故 \[ \mathrm{Cov}(X_1,X_2)=\frac{49}{4}-\frac72\cdot\frac72=0. \] 再算单颗方差：\(E[X_i^2]=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}\)，故 \[ \mathrm{Var}(X_i)=\frac{91}{6}-\Big(\frac72\Big)^2=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{35}{6}\approx 5.83. \] 于是（利用定理 2，或直接验证） \[ \mathrm{Var}(X_1+X_2)=\frac{35}{6}+\frac{35}{6}+2\cdot 0=\frac{35}{3}\approx 11.67, \qquad \sigma_{X_1+X_2}\approx 3.42. \] 独立使协方差为零，于是"方差相加"。若两变量不独立（见例 2），这样做就会出错。

2. 随机变量之和的方差

把定理 1 的双线性当作杠杆，"和的方差"公式几乎是一行推论——这正是先研究协方差的主要原因。

定理 2　和的方差公式

设 \(X_1,\dots,X_n\) 的方差都存在，则 \[ \mathrm{Var}\Big(\sum_{i=1}^n X_i\Big)=\sum_{i=1}^n \mathrm{Var}(X_i)+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j). \] 特别地，\(n=2\) 时 \(\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\,\mathrm{Cov}(X,Y)\)，而 \(\mathrm{Var}(X-Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)-2\,\mathrm{Cov}(X,Y)\)。

证明利用 \(\mathrm{Var}(\cdot)=\mathrm{Cov}(\cdot,\cdot)\) 与双线性，两次展开： \[ \mathrm{Var}\Big(\sum_i X_i\Big)=\mathrm{Cov}\Big(\sum_i X_i,\ \sum_j X_j\Big)=\sum_i\sum_j \mathrm{Cov}(X_i,X_j). \] 把双重和按对角线拆开：\(i=j\) 的项即 \(\sum_i\mathrm{Var}(X_i)\)；\(i\ne j\) 的项由对称性两两相等，合并为 \(2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\)。∎

推论 1　不相关（特别地，独立）时方差相加

若 \(X_1,\dots,X_n\) 两两不相关——即一切 \(i\ne j\) 有 \(\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=0\)（相互独立是充分条件，证明见练习 2），则 \[ \mathrm{Var}\Big(\sum_{i=1}^n X_i\Big)=\sum_{i=1}^n\mathrm{Var}(X_i). \]

对比 7.2 节：期望相加无条件成立，方差相加需要两两不相关——这就是独立性在"求和"问题中真正买到的东西。

下面的警示必须牢记："不相关"远弱于"独立"。协方差只捕捉"同增同减"式的线性联动；当依赖关系"先降后升"或呈其他对称形态时，正负贡献可能恰好抵消，使协方差为零。

定理 3（警示）　Cov = 0 推不出独立

存在不相关但强相依的随机变量：取 \(X\sim N(0,1)\)，令 \(Y=X^2\)，则 \(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\)，但 \(Y\) 完全由 \(X\) 决定，二者绝非独立。

验证标准正态密度 \(\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\) 是偶函数，故 \(x^3\varphi(x)\) 是奇函数，从而三阶矩 \[ E[XY]=E[X\cdot X^2]=E[X^3]=\int_{-\infty}^{\infty}x^3\varphi(x)\,\mathrm{d}x=0, \] 又 \(E[X]=0\)，\(E[Y]=E[X^2]=1\)，于是 \[ \mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=0-0\cdot 1=0. \] 然而知道 \(X\) 就精确知道 \(Y=X^2\)：事件 \(\{1<X<2\}\) 一旦发生，\(Y\in(1,4)\) 便成为必然。直观上，\(X<0\) 的部分 \(X\) 增时 \(Y\) 减（负贡献），\(X>0\) 的部分同增（正贡献），两侧对称抵消，协方差归零。∎

事实上，任何关于原点对称的分布（如 \(X\sim U(-1,1)\)）配 \(Y=X^2\) 都有同样现象。反过来，独立必不相关（练习 2）；唯一的重要例外是二元正态情形——那里"不相关"与"独立"等价，详见 7.7 节。

3. 相关系数：线性关联的标准化度量

协方差带有量纲（两个变量单位的乘积），大小无法跨问题比较：把身高从厘米换成米，协方差就被除以 100。除以两个标准差便得到无量纲的相关系数(correlation coefficient)。

定义 2　相关系数

设 \(\sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}>0\)，\(\sigma_Y=\sqrt{\mathrm{Var}(Y)}>0\)，称 \[ \rho(X,Y)=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\,\sigma_Y} \] 为 \(X\) 与 \(Y\) 的相关系数。它是不依赖于变量单位与原点选取的纯数。

定理 4　\(|\rho|\le 1\)，且取等当且仅当线性关系

（i）恒有 \(-1\le \rho(X,Y)\le 1\)；（ii）\(\rho=1\) 当且仅当存在常数 \(a>0,\,b\) 使 \(Y=aX+b\) 以概率 1 成立；\(\rho=-1\) 当且仅当存在 \(a<0,\,b\) 使 \(Y=aX+b\) 以概率 1 成立。

证明把两个变量标准化：\(U=\dfrac{X-E[X]}{\sigma_X}\)，\(V=\dfrac{Y-E[Y]}{\sigma_Y}\)，则 \(E[U]=E[V]=0\)，\(\mathrm{Var}(U)=\mathrm{Var}(V)=1\)，且由定理 1 的双线性（平移、伸缩）得 \(\mathrm{Cov}(U,V)=\rho\)。于是 \[ 0\le \mathrm{Var}(U-V)=1+1-2\rho=2(1-\rho)\ \Rightarrow\ \rho\le 1, \] \[ 0\le \mathrm{Var}(U+V)=1+1+2\rho=2(1+\rho)\ \Rightarrow\ \rho\ge -1. \] 若 \(\rho=1\)，则 \(\mathrm{Var}(U-V)=0\)，而方差为零的随机变量几乎必然等于其期望（此处为 \(0\)），故 \(U=V\) 以概率 1 成立，即 \[ Y=E[Y]+\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\big(X-E[X]\big), \] 一条斜率为正的直线；\(\rho=-1\) 时同理得 \(U=-V\)，斜率为负。反之，若 \(Y=aX+b\) 以概率 1 成立，则 \(\mathrm{Cov}(X,Y)=a\,\mathrm{Var}(X)\)，\(\sigma_Y=|a|\,\sigma_X\)，代入得 \(\rho=a/|a|=\mathrm{sign}(a)\)。∎

因此 \(\rho\) 是线性相依强度的刻度：\(|\rho|\) 越接近 1，散点越贴近某条直线；\(\rho\) 的符号给出直线的方向。而 \(\rho\) 接近 0 只说明"没有线性趋势"，不说明没有关系——定理 3 中 \(X\) 与 \(X^2\) 的 \(\rho=0\)，依赖却百分百存在。

例 2　完全负线性：\(X\) 为骰子点数，\(Y=7-X\)

掷一颗骰子，\(X\) 为点数，\(Y=7-X\)。求 \(\rho(X,Y)\)。

解由 \(X+Y=7\) 恒成立，得 \(\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(7)=0\)。另一方面，\(\mathrm{Var}(Y)=\mathrm{Var}(7-X)=\mathrm{Var}(X)=\frac{35}{6}\)（例 1），代入定理 2 的 \(n=2\) 情形： \[ 0=\mathrm{Var}(X+Y)=\frac{35}{6}+\frac{35}{6}+2\,\mathrm{Cov}(X,Y) \ \Longrightarrow\ \mathrm{Cov}(X,Y)=-\frac{35}{6}. \] 又 \(\sigma_X\sigma_Y=\sqrt{35/6}\cdot\sqrt{35/6}=\frac{35}{6}\)，故 \[ \rho(X,Y)=\frac{-35/6}{35/6}=-1. \] 这与定理 4 完全吻合：所有可能点对 \((X,Y)\) 都落在直线 \(y=7-x\) 上，斜率 \(-1<0\)，是完全负线性关系。顺带注意：期望相加无须任何条件，\(E[X+Y]=7\)（7.2 节）；方差却因完全负相关而互相抵消为零——与例 1 的独立情形（方差相加得 \(35/3\)）恰成两个极端。

图 1：四种相关形态的散点（虚线为线性趋势）。左上 \(\rho\approx0.95\)：点紧贴上升直线；右上 \(\rho\approx0.3\)：有上升倾向但噪声很大；右下 \(\rho\approx-0.9\)：紧贴下降直线（如例 2 的 \(X\) 与 \(7-X\)）。左下 \(\rho\approx0\)：散点呈抛物线带状——完全没有线性趋势，却有确定性的曲线关系，再次印证 \(\rho\) 只度量线性相依。

还应强调：\(\rho^2\) 有明确的预测含义——用最优直线 \(aX+b\) 预测 \(Y\) 时，残差方差为 \(\sigma_Y^2(1-\rho^2)\)，即 \(\rho^2\) 是"线性预测可解释"的方差比例。这一事实将在 7.5 节（条件期望与预测）中严格展开；届时也会看到，线性预测一般劣于条件期望 \(E[Y\,|\,X]\)，只有二元正态时二者恰好一致。

4. 两个应用：组合分散化与样本均值

定理 2 是"分散化"(diversification) 的数学引擎：只要协方差项之和为负，组合的风险就低于各成分风险的叠加。金融中的证券组合(portfolio)选择是其最著名的应用。

例 3　组合对冲：\(\sigma_A=\sigma_B=10\%\)，\(\rho=-0.5\)

两种资产的收益率分别为 \(R_A,\ R_B\)，波动率 \(\sigma_A=\sigma_B=10\%\)，相关系数 \(\rho(R_A,R_B)=-0.5\)。考虑等权组合 \(R_P=\frac12 R_A+\frac12 R_B\)，求组合波动率 \(\sigma_P\)；再求一般权重 \(w\) 下组合方差的最小值。

解期望由线性性（7.2 节，无须独立）：\(E[R_P]=\frac12 E[R_A]+\frac12 E[R_B]\)。方差用定理 2（以 % 为单位，\(\sigma_A^2=\sigma_B^2=100\,%^2\)，协方差 \(\rho\sigma_A\sigma_B=-50\,%^2\)）： \[ \mathrm{Var}(R_P)=\frac14\cdot 100+\frac14\cdot 100+2\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot(-50) =25+25-25=25\,%^2, \] 故 \(\sigma_P=\sqrt{25}=5\%\)——风险减半，低于任一单个资产的 \(10\%\)。

一般地取权重 \(w\)（投向 \(A\)），\(1-w\) 投向 \(B\)： \[ \sigma_P^2(w)=w^2\sigma_A^2+(1-w)^2\sigma_B^2+2w(1-w)\rho\,\sigma_A\sigma_B =100\big(3w^2-3w+1\big). \] 对 \(w\) 求导：\(\frac{\mathrm{d}\sigma_P^2}{\mathrm{d}w}=100(6w-3)=0\) 给出最小方差组合(minimum-variance portfolio)的权重 \[ w^{*}=\frac12, \] （两资产 \(\sigma\) 相等，故等权即最优），最小方差 \(100(3/4-3/2+1)=25\,%^2\)，即 \(\sigma_P=5\%\)，与等权计算一致。对照：若 \(\rho=+0.5\)，则 \(\sigma_P^2(w)=100(w^2-w+1)\ge 75\,%^2\)，最优也有 \(\sigma_P\approx 8.66\%\)；若 \(\rho=-1\)，取 \(w^{*}=\frac12\) 可使 \(\sigma_P=0\)——完全对冲(perfect hedge)。相关系数越负，分散化红利越大。

图 2：例 3 中组合方差 \(\sigma_P^2(w)=100(3w^2-3w+1)\) 随权重 \(w\) 变化的抛物线（% 为单位）。两端（全仓单一资产）方差为 100；由于 \(\rho=-0.5\)，抛物线在 \(w^{*}=0.5\) 处降到最低值 25，对应波动率从 10% 降至 5%。负相关把"风险曲线"压到了两个端点之下——这就是分散化。

第二个应用是统计学的基石。设 \(X_1,\dots,X_n\) 独立同分布（i.i.d.），均值 \(\mu\)、方差 \(\sigma^2\)，样本均值(sample mean) \(\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\)。我们在 7.2 节已知 \(E[\bar X]=\mu\)；其方差可由推论 1 立刻得到。

定理 5　样本均值的方差

若 \(X_1,\dots,X_n\) 独立同分布，\(\mathrm{Var}(X_i)=\sigma^2\)，则 \[ \mathrm{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}, \qquad \sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}. \]

证明独立性使一切协方差为零（推论 1），再注意方差对常数因子的性质 \(\mathrm{Var}(cY)=c^2\mathrm{Var}(Y)\)： \[ \mathrm{Var}(\bar X)=\mathrm{Var}\Big(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Big) =\frac{1}{n^2}\,\mathrm{Var}\Big(\sum_{i=1}^n X_i\Big) =\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2 =\frac{\sigma^2}{n}. \quad\blacksquare \]

这给出了著名的"\(\sqrt n\) 法则"：平均的精度（标准差）按 \(\sqrt n\) 的速度提升，它正是第 8 章大数定律的方差版本——\(\mathrm{Var}(\bar X)\to 0\) 说明 \(\bar X\) 依概率收敛于 \(\mu\)。

例 4　\(\sigma=1,\ n=100\)：精度从 1 到 0.1

对某物理量独立重复测量 \(100\) 次，每次测量的标准差为 \(\sigma=1\)（单位同被测量）。求 \(100\) 次平均值的方差与标准差；若想把平均的标准差再降到 \(0.01\)，需要多少次测量？

解记测量值为 \(X_1,\dots,X_{100}\)，视为 i.i.d.，\(\sigma=1\)。由定理 5： \[ \mathrm{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}=\frac{1}{100}=0.01, \qquad \sigma_{\bar X}=\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}=0.1. \] 单次测量的标准差为 \(1\)，取 \(100\) 次平均后降到 \(0.1\)。若要求 \(\sigma/\sqrt{n}=0.01\)，则需 \(\sqrt{n}=100\)，即 \(n=10^4\) 次——精度每提高 10 倍，样本量须乘以 100，这正是 \(\sqrt n\) 法则的代价面。

注记　相关系数的出身与"相关 ≠ 因果"

"相关"(correlation)一词由高尔顿(Francis Galton)在 1888 年前后研究豌豆尺寸与亲子身高的遗传数据时提出，"回归"(regression)同样源于他的发现——极端父母的子女会"向平均回归"；皮尔逊(Karl Pearson)随后给出了矩表达式的标准化形式。例 3 与图 2 的组合分析则直接来自马科维茨(H. Markowitz)1952 年的均值—方差组合理论（1990 年诺贝尔经济学奖），本节公式正是其最简版本。最后必须牢记：相关不等于因果——冰淇淋销量与溺水人数显著正相关，共同原因却是气温。\(\rho\) 只刻画统计上的线性共变，从不言明机制。

5. 本节小结

要点回顾

\(\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]\)；对称、双线性、加常数不变，\(\mathrm{Cov}(X,X)=\mathrm{Var}(X)\)。
\(\mathrm{Var}(\sum_i X_i)=\sum_i\mathrm{Var}(X_i)+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\)；两两不相关（特别地独立）时方差相加。
不相关 \(\ne\) 独立：\(X\sim N(0,1),\ Y=X^2\) 有 \(\mathrm{Cov}=0\)（因 \(E[X^3]=0\)），但 \(Y\) 完全由 \(X\) 决定。
\(\rho=\mathrm{Cov}(X,Y)/(\sigma_X\sigma_Y)\)，\(|\rho|\le 1\)；\(|\rho|=1\) 当且仅当几乎必然的线性关系；\(\rho\) 只度量线性相依。
两骰独立：\(\mathrm{Cov}=0\)，\(\mathrm{Var}(X_1+X_2)=35/6+35/6=35/3\)；完全负线性 \(Y=7-X\)：\(\rho=-1\)，\(\mathrm{Var}(X+Y)=0\)。
应用：\(\rho=-0.5\) 的等权两资产组合 \(\sigma=5\%\)（最小方差权重 \(w^{*}=0.5\)）；i.i.d. 样本 \(\mathrm{Var}(\bar X)=\sigma^2/n\)，标准差按 \(\sqrt n\) 收缩。

表 1：本节核心公式速查
对象	公式	关键性质 / 条件
协方差	\(\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]\)	对称、双线性；独立 ⇒ \(\mathrm{Cov}=0\)（逆不真）
和的方差	\(\mathrm{Var}(\sum_i X_i)=\sum_i \mathrm{Var}(X_i)+2\sum_{i<j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\)	两两不相关时退化为方差相加
相关系数	\(\rho=\mathrm{Cov}(X,Y)/(\sigma_X\sigma_Y)\)	\(-1\le\rho\le1\)；\(\|\rho\|=1\)\(\iff\)几乎必然线性；只测线性
样本均值方差	\(\mathrm{Var}(\bar X)=\sigma^2/n\)	i.i.d. 前提；标准差 \(\sigma/\sqrt n\)（\(\sqrt n\) 法则）

练习

练习 7-3-1

由矩求协方差与线性组合的方差：设 \(E[X]=1\)，\(E[Y]=2\)，\(E[X^2]=4\)，\(E[Y^2]=9\)，\(E[XY]=0.5\)。求 \(\mathrm{Cov}(X,Y)\)、\(\rho(X,Y)\) 与 \(\mathrm{Var}(2X-3Y)\)。

答案与提示

\(\mathrm{Var}(X)=4-1=3\)，\(\mathrm{Var}(Y)=9-4=5\)，\(\mathrm{Cov}(X,Y)=0.5-1\cdot2=-1.5\)；\(\rho=-1.5/\sqrt{15}\approx-0.39\)。由双线性（或定理 2 的推广）：\(\mathrm{Var}(2X-3Y)=4\cdot3+9\cdot5+2\cdot2\cdot(-3)\cdot(-1.5)=12+45+18=75\)。注意协方差为负使"差方向"的组合方差更大、和方向更小。

练习 7-3-2

证明：若 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立且方差有限，则 \(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\)。逆命题是否成立？

答案与提示

独立时乘积期望等于期望之积 \(E[XY]=E[X]E[Y]\)（见第 6 章独立性一节），代入定义式立得 \(\mathrm{Cov}(X,Y)=0\)。逆命题不成立：定理 3 的反例 \(X\sim N(0,1),\ Y=X^2\) 不相关却强相依；但在二元正态情形下"不相关"与"独立"等价（7.7 节），这是正态分布的特殊品格。

练习 7-3-3

等相关的均值：设 \(X_1,\dots,X_n\) 满足 \(\mathrm{Var}(X_i)=\sigma^2\)，且任意 \(i\ne j\) 有 \(\mathrm{Corr}(X_i,X_j)=\rho\)。证明 \(\mathrm{Var}(\bar X)=\dfrac{\sigma^2\big(1+(n-1)\rho\big)}{n}\)，并说明 \(\rho\ge -\dfrac{1}{n-1}\)；取 \(\sigma^2=1,\ \rho=0.25,\ n=100\) 时 \(\mathrm{Var}(\bar X)\) 是多少？

答案与提示

\(\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\rho\sigma^2\)，共 \(\binom n2=n(n-1)/2\) 对。由定理 2： \[ \mathrm{Var}\Big(\sum_i X_i\Big)=n\sigma^2+2\cdot\frac{n(n-1)}{2}\rho\sigma^2=n\sigma^2\big(1+(n-1)\rho\big), \] 除以 \(n^2\) 即得结论。由 \(\mathrm{Var}(\bar X)\ge0\) 且 \(n\ge2\) 得 \(\rho\ge-1/(n-1)\)（\(n\) 个变量不可能两两达到 \(-1\) 的完全负相关）。数值：\(\mathrm{Var}(\bar X)=\frac{1+99\times0.25}{100}=\frac{25.75}{100}=0.2575\)，是独立情形 \(0.01\) 的 25 倍多——"共同冲击"(common shock)使平均的方差不再按 \(1/n\) 收缩，这正是定理 5 需要独立（或至少两两不相关）的原因。

练习 7-3-4

用双线性证明 \(\mathrm{Cov}(X+Y,\ X-Y)=\mathrm{Var}(X)-\mathrm{Var}(Y)\)；由此说明当 \(\mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}(Y)\) 时 \(X+Y\) 与 \(X-Y\) 不相关。它们一定独立吗？

答案与提示

由双线性展开 \(\mathrm{Cov}(X+Y,X)-\mathrm{Cov}(X+Y,Y)=\big[\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Cov}(Y,X)\big]-\big[\mathrm{Cov}(X,Y)+\mathrm{Var}(Y)\big]=\mathrm{Var}(X)-\mathrm{Var}(Y)\)。方差相等时协方差为零，故不相关；但由定理 3 的警示，不相关一般推不出独立——不过可以证明当 \((X,Y)\) 为二元正态时它们确实独立（7.7 节），这一"和与差独立"的性质是正态独有的招牌。