- 正确写出矩母函数的定义 \(M(t)=E[e^{tX}]\)，说明"在 \(0\) 的邻域内存在"这一条件与恒等式 \(M(0)=1\) 的含义；
- 叙述并证明求矩公式 \(M^{(n)}(0)=E[X^n]\)（证明概要），会用 \(M'(0)\) 与 \(M''(0)\) 读出期望与方差；
- 陈述矩母函数的唯一性定理，理解"MGF 是分布的指纹"这一说法；
- 证明独立和性质 \(M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)\)，并用它推导泊松、正态、伽马分布的可加性；
- 亲手推导泊松分布与正态分布的矩母函数（后者需掌握配方技巧），并能查用常见分布速查表识别分布。
1. 定义：为什么是 \(e^{tX}\)
此前计算期望、方差乃至高阶矩，每遇一个新分布都要"就事论事"地求和或积分。本节引入的矩母函数(moment generating function, 简称 MGF)把一个随机变量的全部矩(moment)打包进一个光滑函数：此后求矩变成求导，识别分布变成查表，而独立随机变量之和的分布问题竟化作函数相乘。它是第 7 章三大工具（期望的线性性、条件期望、矩母函数）中最"代数化"的一件，也是第 8 章中心极限定理传统证明的载体。
直观从指数函数的幂级数(power series)展开开始。把 \(e^{tX}\) 视为普通变量 \(t\) 的函数并对 \(X\) 取期望，若允许期望与无穷求和交换次序，则
\[ M(t)=E\big[e^{tX}\big]=E\!\left[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n X^n}{n!}\right]=\sum_{n=0}^{\infty}E[X^n]\,\frac{t^n}{n!}, \]
各阶矩 \(E[X^n]\) 恰好是幂级数的系数：\(M(t)\) 像母体一样"生成"了 \(X\) 的所有矩，"矩母"之名由此而来。而在 \(t=0\) 处逐次求导，就能把任何一个系数单独"抠"出来——这正是下面定义与定理的用意。
设 \(X\) 为随机变量。若存在 \(h>0\)，使得 \(e^{tX}\) 的期望对一切 \(t\in(-h,h)\) 有限，则称
\[ M_X(t) = E\big[e^{tX}\big], \qquad t\in(-h,h) \]
为 \(X\) 的矩母函数。离散型随机变量的计算式为 \(M(t)=\sum_x e^{tx}\,p(x)\)；连续型为 \(M(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\,f(x)\,dx\)。
由 \(e^{0\cdot X}=1\) 恒有 \(M(0)=1\)，且 \(M\) 在其存在域内光滑、可逐次求导。\(M(0)=1\) 也是验算一条 MGF 推导是否出错的第一道关卡。
关于存在域再作两点说明。其一，"在 \(0\) 的某个邻域内存在"是实质性条件：若只在 \(t=0\) 一点有限，函数不携带任何分布信息。其二，存在域因分布而异：有界随机变量（如伯努利、二项、均匀）的 MGF 对全体实数 \(t\) 存在；指数与伽马分布只在 \(t<\lambda\) 内存在；而重尾的柯西分布除 \(t=0\) 外处处不存在 MGF（见第 5 小节注记）。因此严格地说，MGF 是一件"有条件的好工具"。
2. 三大性质：求矩、指纹与乘法
设 \(X\) 的矩母函数在 \((-h,h)\) 内存在，则对每个正整数 \(n\)，\(X\) 的 \(n\) 阶矩有限，且
\[ M^{(n)}(0) = E\big[X^n\big]. \]
\[ M'(t) = \frac{d}{dt}\,E\big[e^{tX}\big] = E\big[X e^{tX}\big]. \]
对 \(M'(t)\) 归纳地重复同一论证，得 \(M^{(n)}(t)=E[X^n e^{tX}]\)；令 \(t=0\) 即得结论。最常用的两个特例是
\[ E[X] = M'(0), \qquad \mathrm{Var}(X) = M''(0) - \big[M'(0)\big]^2. \]
若 \(X\) 与 \(Y\) 的矩母函数都在 \(t=0\) 的某公共邻域内存在，且在该邻域内处处相等：\(M_X(t)=M_Y(t)\)，则 \(X\) 与 \(Y\) 具有相同的分布。（证明超出本书范围，从略。）
应当把这条定理读作"MGF 是分布的指纹"：两个看似不相干的随机变量，只要 MGF 相同，分布就完全一样。于是，计算出 \(X+Y\) 的 MGF 后与速查表（表 1）对照，即可"认出"和的分布——例 3、例 4 都靠这一步收尾。反过来，它也说明表 1 中每一条 MGF 都唯一刻画对应的分布，别无分店。
设 \(X\) 与 \(Y\) 独立，矩母函数分别为 \(M_X\)、\(M_Y\)，且都在 \(0\) 的邻域内存在，则
\[ M_{X+Y}(t) = M_X(t)\,M_Y(t). \]
\[ M_{X+Y}(t) = E\big[e^{t(X+Y)}\big] = E\big[e^{tX}\,e^{tY}\big] = E\big[e^{tX}\big]\,E\big[e^{tY}\big] = M_X(t)\,M_Y(t). \]
证明只有一行，威力却巨大：它把"求独立和的分布"（第 6 章中往往要算卷积）化为"函数相乘"。用归纳法立得：\(n\) 个相互独立的随机变量之和的 MGF 等于各自 MGF 之积。
3. 常见分布的矩母函数
表 1 汇总了本书常见分布的 MGF、存在域、期望与方差，建议置于手边随时查用——它是本节以及 7.7 节、8.3 节反复查阅的"对数表"。表中泊松与正态两条的推导最具代表性，完整给出如下。
| 分布 | 参数 | 矩母函数 \(M(t)\) | 存在域 | \(E[X]\) | \(\mathrm{Var}(X)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 伯努利 \(B(1,p)\) | \(0<p<1\) | \(q+pe^{t}\) | 全体 \(t\) | \(p\) | \(pq\) |
| 二项 \(B(n,p)\) | \(n\in\mathbb{N}\) | \((q+pe^{t})^{n}\) | 全体 \(t\) | \(np\) | \(npq\) |
| 泊松 \(\mathrm{Poisson}(\lambda)\) | \(\lambda>0\) | \(e^{\lambda(e^{t}-1)}\) | 全体 \(t\) | \(\lambda\) | \(\lambda\) |
| 指数 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\) | \(\lambda>0\) | \(\dfrac{\lambda}{\lambda-t}\) | \(t<\lambda\) | \(\dfrac{1}{\lambda}\) | \(\dfrac{1}{\lambda^{2}}\) |
| 正态 \(N(\mu,\sigma^{2})\) | \(\mu\in\mathbb{R},\ \sigma^{2}>0\) | \(e^{\mu t+\sigma^{2}t^{2}/2}\) | 全体 \(t\) | \(\mu\) | \(\sigma^{2}\) |
| 均匀 \(U(0,1)\) | — | \(\dfrac{e^{t}-1}{t}\)，补充 \(M(0)=1\) | 全体 \(t\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{1}{12}\) |
| 伽马 \(\Gamma(\alpha,\lambda)\) | \(\alpha,\lambda>0\) | \(\Big(\dfrac{\lambda}{\lambda-t}\Big)^{\alpha}\) | \(t<\lambda\) | \(\dfrac{\alpha}{\lambda}\) | \(\dfrac{\alpha}{\lambda^{2}}\) |
设 \(X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)\)，\(\lambda>0\)，求 \(M(t)\)，并用定理 1 验证 \(E[X]=\lambda\)。
\[ M(t)=\sum_{k=0}^{\infty} e^{tk}\,e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!} = e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda e^{t})^{k}}{k!} = e^{-\lambda}\,e^{\lambda e^{t}} = e^{\lambda(e^{t}-1)}, \]
求和对象恰是指数函数的泰勒级数，故级数对全体 \(t\in\mathbb{R}\) 收敛。求导：
\[ M'(t) = \lambda e^{t}\,e^{\lambda(e^{t}-1)} \quad\Longrightarrow\quad M'(0) = \lambda\cdot 1\cdot e^{0} = \lambda = E[X]. \]
再求导一次得 \(M''(t)=(\lambda e^{t}+\lambda^{2}e^{2t})\,e^{\lambda(e^{t}-1)}\)，故 \(M''(0)=\lambda+\lambda^{2}\)，于是 \(\mathrm{Var}(X)=(\lambda+\lambda^{2})-\lambda^{2}=\lambda\)，与 4.7 节的结果一致。一条指数级数，期望方差全部到手。
设 \(X\sim N(\mu,\sigma^{2})\)，证明 \(M(t)=e^{\mu t+\sigma^{2}t^{2}/2}\)。
\[ tx-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}} = -\frac{\big(x-\mu-\sigma^{2}t\big)^{2}}{2\sigma^{2}} + \mu t+\frac{\sigma^{2}t^{2}}{2}. \]
于是
\[ M(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\!\Big(tx-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\Big)\,dx = e^{\mu t+\sigma^{2}t^{2}/2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{(x-\mu-\sigma^{2}t)^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx = e^{\mu t+\sigma^{2}t^{2}/2}, \]
因为第二个积分号下恰是 \(N(\mu+\sigma^{2}t,\ \sigma^{2})\) 的密度，积分值为 \(1\)；结论对全体 \(t\in\mathbb{R}\) 成立。检查：\(M'(t)=(\mu+\sigma^{2}t)\,e^{\mu t+\sigma^{2}t^{2}/2}\)，故 \(M'(0)=\mu\)；又 \(M''(0)=\sigma^{2}+\mu^{2}\)，故 \(\mathrm{Var}(X)=\sigma^{2}\)。一次推导，期望与方差"免费"附赠。
4. 应用：独立和的分布与高阶矩
本节的三个应用例题展示 MGF 的完整工作流：乘法（定理 3）算出和的 MGF，指纹（定理 2）对照表 1 认出分布；或直接求导（定理 1）读出矩。
设 \(X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda_{1})\) 与 \(Y\sim\mathrm{Poisson}(\lambda_{2})\) 相互独立，证明 \(X+Y\sim\mathrm{Poisson}(\lambda_{1}+\lambda_{2})\)。
\[ M_{X+Y}(t) = e^{\lambda_{1}(e^{t}-1)}\cdot e^{\lambda_{2}(e^{t}-1)} = e^{(\lambda_{1}+\lambda_{2})(e^{t}-1)}, \]
右端恰是 \(\mathrm{Poisson}(\lambda_{1}+\lambda_{2})\) 的 MGF。由唯一性定理（定理 2），\(X+Y\sim\mathrm{Poisson}(\lambda_{1}+\lambda_{2})\)。例如某服务台上午来电数 \(\lambda_{1}=2\)、下午来电数 \(\lambda_{2}=3.5\) 且相互独立，则全天来电数服从 \(\mathrm{Poisson}(5.5)\)，期望与方差都是 \(5.5\)。对照第 6 章用卷积公式对二重和式重新组合的算法，MGF 三行解决问题。
设 \(X\sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})\) 与 \(Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})\) 相互独立，证明 \(X+Y\sim N(\mu_{1}+\mu_{2},\ \sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})\)。
\[ M_{X+Y}(t) = e^{\mu_{1}t+\sigma_{1}^{2}t^{2}/2}\cdot e^{\mu_{2}t+\sigma_{2}^{2}t^{2}/2} = e^{(\mu_{1}+\mu_{2})\,t+(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})\,t^{2}/2}, \]
右端是 \(N(\mu_{1}+\mu_{2},\ \sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})\) 的 MGF，由定理 2 即得结论：独立正态变量相加，均值与方差分别相加。请注意独立性不可省略——不独立的正态变量之和未必正态，7.7 节将细致讨论正态变量的这类性质。
设 \(X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)\)（5.5 节），\(\lambda>0\)，先用积分求 \(M(t)\)，再由 \(M''(0)\) 导出 \(\mathrm{Var}(X)=1/\lambda^{2}\)。
\[ M(t)=\int_{0}^{\infty} e^{tx}\,\lambda e^{-\lambda x}\,dx = \lambda\int_{0}^{\infty} e^{-(\lambda-t)x}\,dx = \frac{\lambda}{\lambda-t}, \]
逐次求导：\(M'(t)=\lambda(\lambda-t)^{-2}\)，\(M''(t)=2\lambda(\lambda-t)^{-3}\)，故
\[ M'(0)=\frac{1}{\lambda}, \qquad M''(0)=E\big[X^{2}\big]=\frac{2}{\lambda^{2}}, \qquad \mathrm{Var}(X)=\frac{2}{\lambda^{2}}-\Big(\frac{1}{\lambda}\Big)^{2}=\frac{1}{\lambda^{2}}, \]
与 5.5 节两次分部积分的结果一致，而这里只做了两次"幂次下移"式的求导。另外，把上式与表 1 对照可见：\(\mathrm{Exp}(\lambda)\) 正是 \(\Gamma(1,\lambda)\) 的特例。
5. 联合矩母函数与柯西警示
对随机向量 \((X,Y)\)，称
\[ M(s,t) = E\big[e^{sX+tY}\big] \]
（当其在 \((0,0)\) 的某邻域内有限时）为 \((X,Y)\) 的联合矩母函数(joint moment generating function)。
与定理 1 完全类似，混合偏导数给出混合矩：\(\dfrac{\partial^{\,i+j}M}{\partial s^{\,i}\,\partial t^{\,j}}\Big|_{(0,0)}=E[X^{i}Y^{j}]\)，例如 \(\dfrac{\partial^{2}M}{\partial s\,\partial t}\Big|_{(0,0)}=E[XY]\)，这正是 7.3 节计算协方差所需的原材料。还可以证明：\(X\) 与 \(Y\) 独立当且仅当 \(M(s,t)=M_{X}(s)\,M_{Y}(t)\) 在 \((0,0)\) 的某邻域内成立——这把定理 3 的单向乘法性质完善为严格的独立性刻画。
柯西分布(Cauchy distribution)的密度为 \(f(x)=\dfrac{1}{\pi(1+x^{2})}\)。对任何 \(t>0\)，被积函数 \(e^{tx}f(x)\) 当 \(x\to+\infty\) 时以指数速度增长，积分发散；\(t<0\) 时左尾同理。故除 \(t=0\) 外 \(M(t)\) 处处为无穷——柯西分布在 \(0\) 的任何邻域内都没有 MGF（事实上它连 \(E|X|\) 都发散）。这提醒我们：MGF 是"够用且好用"的工具，而非人人持有的门票。对这类重尾分布，更一般的工具是特征函数(characteristic function) \(E[e^{itX}]\)，它对一切分布都存在，其理论超出本书范围。此外，"所有各阶矩都存在且相等"也不足以确定分布（见练习 4）——唯一性定理的力量恰恰来自"MGF 在邻域内存在"这一前提。
6. 本节小结
- 定义：\(M(t)=E[e^{tX}]\)，要求在 \(t=0\) 的某邻域内存在；恒有 \(M(0)=1\)。
- 求矩：\(M^{(n)}(0)=E[X^n]\)；特别地 \(E[X]=M'(0)\)，\(\mathrm{Var}(X)=M''(0)-[M'(0)]^{2}\)。
- 唯一性：邻域内 MGF 相同即分布相同——MGF 是分布的指纹，查表 1 可识别分布。
- 独立和：独立时 \(M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t)\)；由此泊松、正态、伽马分布均可加（例 3、例 4 与练习 3）。
- 联合 MGF \(E[e^{sX+tY}]\) 给出混合矩并刻画独立性；柯西分布提示 MGF 并非对一切分布存在。
练习
练习 7-6-1
设随机变量 \(X\) 的矩母函数为 \(M(t)=(0.75+0.25e^{t})^{8}\)。识别 \(X\) 的分布，并求 \(E[X]\) 与 \(\mathrm{Var}(X)\)。
答案与提示对照表 1，这是二项分布 \(B(n,p)\) 的 MGF \((q+pe^{t})^{n}\)，参数 \(n=8\)、\(p=0.25\)、\(q=0.75\)。由唯一性定理，\(X\sim B(8,\,0.25)\)。于是 \(E[X]=np=8\times0.25=2\)（也可直接验证 \(M'(t)=8(0.75+0.25e^{t})^{7}\cdot0.25e^{t}\)，\(M'(0)=2\)），\(\mathrm{Var}(X)=npq=8\times0.25\times0.75=1.5\)。MGF 相同 ⇒ 分布相同，这是"指纹"用法最直接的演练。
练习 7-6-2
设 \(X\) 服从几何分布：\(P(X=k)=q^{\,k-1}p,\ k=1,2,\dots\)（\(q=1-p\)）。求 \(M(t)\) 及其存在域，并验证 \(M'(0)=1/p\)。
答案与提示\(M(t)=\sum_{k=1}^{\infty}e^{tk}\,q^{k-1}p = pe^{t}\sum_{j=0}^{\infty}(qe^{t})^{j} = \dfrac{pe^{t}}{1-qe^{t}}\)，几何级数要求 \(qe^{t}<1\)，即存在域为 \(t<-\ln q\)。求导得 \(M'(t)=\dfrac{pe^{t}}{(1-qe^{t})^{2}}\)，故 \(M'(0)=\dfrac{p}{(1-q)^{2}}=\dfrac{p}{p^{2}}=\dfrac{1}{p}=E[X]\)，与 4.5 节（或 7.4 节自引用方程）的结果一致。
练习 7-6-3
设 \(X\sim\Gamma(\alpha_{1},\lambda)\) 与 \(Y\sim\Gamma(\alpha_{2},\lambda)\) 相互独立（形状参数不同、尺度参数相同）。用 MGF 证明 \(X+Y\sim\Gamma(\alpha_{1}+\alpha_{2},\,\lambda)\)，并说明它如何蕴含例 5 中指数分布的结论。
答案与提示由表 1 与定理 3，\(M_{X+Y}(t)=\Big(\dfrac{\lambda}{\lambda-t}\Big)^{\alpha_{1}}\Big(\dfrac{\lambda}{\lambda-t}\Big)^{\alpha_{2}}=\Big(\dfrac{\lambda}{\lambda-t}\Big)^{\alpha_{1}+\alpha_{2}}\)（\(t<\lambda\)），恰为 \(\Gamma(\alpha_{1}+\alpha_{2},\lambda)\) 的 MGF，由唯一性得证。取 \(\alpha_{1}=\alpha_{2}=1\)：两个独立 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\) 之和 \(\sim\Gamma(2,\lambda)\)；一般地 \(n\) 个独立 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\) 之和 \(\sim\Gamma(n,\lambda)\)（埃尔朗分布）。当 \(\lambda=\tfrac{1}{2}\)、\(\alpha=\tfrac{n}{2}\) 时即 \(n\) 个自由度的卡方分布，7.7 节将正式引入。
练习 7-6-4
"两个随机变量若所有各阶矩都对应相等，则它们同分布"——这一说法对吗？它与定理 2 矛盾吗？
答案与提示不对。经典反例基于对数正态分布：\(f(x)=\dfrac{1}{x\sqrt{2\pi}}e^{-(\ln x)^{2}/2}\ (x>0)\)，取 \(f_{a}(x)=f(x)\big[1+a\sin(2\pi\ln x)\big]\)（\(|a|\le1\)，\(a\ne0\)），它与 \(f\) 是不同分布，却拥有完全相同的各阶矩（正弦因子在逐矩积分中恰好抵消）。矛盾并不存在：这类分布的各阶矩增长过快（\(E[X^{n}]=e^{n^{2}/2}\)），使 \(E[e^{tX}]\) 对任何 \(t>0\) 发散，即在 \(0\) 的邻域内 MGF 不存在，定理 2 的前提根本不满足。教训："MGF 相同"强于"所有矩相同"，唯一性的力量来自 MGF 的存在性前提。