- 阐明古典概型的两条前提（样本空间有限、各结果等可能），并由公理推出 \(P(E)=|E|/|S|\)；
- 运用第 1 章的计数工具计算掷骰、扑克、超几何抽样与球入盒等经典模型的概率；
- 判断"等可能"假设是否施加在恰当粒度的结果上，并能举出误用的反例；
- 复述生日问题的结论（\(n=23\) 时概率约 \(0.507\)），并用配对数 \(\binom{n}{2}\) 的增长解释"悖论"感；
- 说明不放回抽样与球入盒模型分别如何通向超几何型概率与二项分布。
1. 古典概型：从对称性到计数
掷一枚均匀硬币、掷一颗均匀骰子、从一副洗匀的扑克牌中发一手牌——这类试验有共同的特征：样本空间只含有限个结果，而且凭借物理上的对称性（材料均匀、充分洗牌），我们有理由认为每个结果发生的机会完全相同。这是概率论历史上最早被研究的模型，其"概率等于比值"的定义由拉普拉斯(Laplace)给出，因此也称为古典概型(classical probability model)。
在这样的样本空间上，求概率就化为纯粹的计数(counting)：数出事件包含的有利结果(favorable outcomes)个数，再除以结果总数。第 1 章的全部工具——计数基本原理、排列与组合——在这一节集中亮相。
设样本空间 \(S\) 有限，且每个样本点发生的可能性相同，则称 \(S\) 为等可能结果的样本空间(sample space having equally likely outcomes)。此时对任意事件 \(E\subset S\)，\[ P(E)=\frac{|E|}{|S|}, \] 其中 \(|E|\)、\(|S|\) 分别表示 \(E\) 与 \(S\) 所含样本点的个数。
换言之，事件 \(E\) 的概率等于"\(E\) 的有利结果数 \(\div\) 总结果数"。这一公式之所以合法，前提有两条：\(S\) 有限，且各样本点确实等可能——第二条来自试验的对称性，是模型假设而非公理的推论。
设 \(|S|=N\) 且各样本点等可能，则 (a) 每个样本点的概率为 \(1/N\)；(b) 对任意事件 \(E\)，\(P(E)=|E|/N\)。
等可能假设的正当性来源只有两类：对称性（均匀骰子、摇匀的彩票机）或随机化设计（充分洗牌、随机分组）。它无法由概率公理证明；其经验检验依靠频率稳定性，理论保证则是第 8 章的大数定律。历史上拉普拉斯曾把"有利结果数/总结果数"当作概率的普遍定义，但其适用范围正是——且仅是——本节的等可能有限模型。
2. 骰子与"结果的粒度"
套用公式 \(P(E)=|E|/|S|\) 之前，必须先自问：你所列举的"结果"真的等可能吗？一个著名的反例：掷两颗骰子，若把"点数和 \(k\in\{2,3,\ldots,12\}\)"当作样本空间，这 11 个结果并不等可能——凑出和为 7 的有序对有 6 种，凑出和为 2 的只有 \((1,1)\) 一种。骰子的对称性保证的是全部 36 个有序对 \((i,j)\) 等可能，而不是它们的函数（如点数和）取值等可能。选对结果的粒度(granularity of outcomes)，是使用古典概型的第一要务。
掷两颗均匀骰子，求 (a) 点数和为 7；(b) 点数和为 11 的概率。
3. 扑克牌型：组合数的舞台
一副标准扑克共 52 张：4 种花色(suit)（黑桃、红心、方块、梅花）各 13 个点数(rank)。发 5 张牌构成一手牌(hand)；牌洗匀后，每一手 5 张牌都等可能，总数为 \(\binom{52}{5}=2\,598\,960\)。常用牌型的名称：一对(one pair)、两条对(two pair)、三条(three of a kind)、四条(four of a kind)、同花(flush，5 张同花色)。计算各种牌型的概率，是组合计数的经典练习。
从洗匀的 52 张牌中发 5 张，求恰好是 (a) 一对；(b) 四条；(c) 同花（含同花顺）的概率。
(a) 一对：分步计数——选"对子"的点数 \(13\) 种；在该点数的 4 张中取 2 张花色，\(\binom{4}{2}=6\)；其余 3 张须点数互不相同且异于对子点数：从其余 12 个点数中选 3 个 \(\binom{12}{3}=220\)，每张的花色各有 4 种，共 \(4^3=64\)。于是 \[ P(\text{一对})=\frac{13\cdot\binom{4}{2}\cdot\binom{12}{3}\cdot 4^3}{\binom{52}{5}}=\frac{1\,098\,240}{2\,598\,960}\approx 0.4226. \]
(b) 四条：四张同点数——选点数 \(13\) 种，该点数 4 张全取 \(\binom{4}{4}=1\)，第 5 张从其余 \(12\times 4=48\) 张中任取。故 \(P=13\cdot 48/\binom{52}{5}=624/2\,598\,960\approx 0.00024\)。
(c) 同花（含同花顺）：选花色 4 种，该花色 13 张中任取 5 张 \(\binom{13}{5}=1\,287\)。故 \(P=4\cdot\binom{13}{5}/\binom{52}{5}=5\,148/2\,598\,960\approx 0.00198\)。
两条对与三条的计数思路完全类似（见练习 1 与表后说明）：两条对为 \(\binom{13}{2}\binom{4}{2}^2\cdot 44=123\,552\)（44 \(=11\times 4\) 为第五张的限制选法），三条为 \(\binom{13}{1}\binom{4}{3}\binom{12}{2}4^2=54\,912\)。汇总如下表。
| 牌型 | 组合数表达式 | 组合数 | 概率 |
|---|---|---|---|
| 一对 | \(13\binom{4}{2}\binom{12}{3}4^3\) | 1,098,240 | ≈ 0.4226 |
| 两条对 | \(\binom{13}{2}\binom{4}{2}^2\cdot 44\) | 123,552 | ≈ 0.0475 |
| 三条 | \(\binom{13}{1}\binom{4}{3}\binom{12}{2}4^2\) | 54,912 | ≈ 0.0211 |
| 同花（含同花顺） | \(4\binom{13}{5}\) | 5,148 | ≈ 0.00198 |
| 四条 | \(13\cdot 48\) | 624 | ≈ 0.00024 |
4. 生日问题：一个著名的"悖论"
生日问题(birthday problem)是古典概型最著名的应用，也是"直觉与计算正面冲突"的经典案例。设房间里有 \(n\) 个人：忽略 2 月 29 日，假定一年 365 天，每人的生日等可能地落在任一天，且各人互不影响（相互独立，严格表述见第 3 章；此处相当于认为全部 \(365^n\) 个"生日分配"等可能）。问：其中至少有两人生日相同的概率是多少？
房间中有 \(n\) 个人，求至少有两人生日相同的概率，并计算 \(n=23,30,50\) 时的数值。
| 人数 \(n\) | 5 | 10 | 15 | 20 | 23 | 25 | 30 | 35 | 40 | 50 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 概率 \(P\) | 0.027 | 0.117 | 0.253 | 0.411 | 0.507 | 0.569 | 0.706 | 0.814 | 0.891 | 0.970 | 0.994 |
多数人潜意识里把问题换成了"有人和我生日相同"：那只有 \(n-1\) 个配对，\(n=23\) 时概率约 \(1-(364/365)^{22}\approx 5.9\%\)，自然微不足道。但真正的问题是 \(n\) 人之间任意两人的比较：配对数为 \(\binom{n}{2}=n(n-1)/2\)，随 \(n\) 二次增长——\(n=23\) 时已有 \(\binom{23}{2}=253\) 对，每对"撞日"的概率为 \(1/365\)，期望撞日配对数约 \(253/365\approx 0.69\)，"过半"便不足为奇。另有两点余话：现实生日分布并不均匀（季节效应），而不均匀只会让撞日概率更大，因此 23 是保守的临界人数；这一"配对多于直觉"的现象后来成为密码学中生日攻击（哈希碰撞分析）的理论基础。
5. 不放回抽样与球入盒：两个母模型
本节剩余两个例子代表两类"母模型"：其一是不放回抽样（对应超几何(hypergeometric)型概率），其二是独立投放（球入盒(balls into boxes)模型，也称占位问题(occupancy problem)）。许多应用问题都能化归为二者之一。
一批 10 件产品中有 3 件次品。从中不放回地随机抽取 5 件，求恰好抽到 2 件次品的概率。
将 \(n\) 个球独立地、等可能地放入 \(N\) 个盒（每个球各有 \(N\) 种等可能的选择）。(a) 求某个指定盒中恰有 \(k\) 个球的概率；(b) 求某个指定盒为空的概率；并就 \(N=10\)、\(n=5\)、\(k=2\) 给出数值。
两个观察值得强调。其一，例 5(a) 的表达式 \(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)（此处 \(p=1/N\)）正是第 4 章二项分布(binomial distribution)的概率公式雏形——"数独立试验中成功次数"的模型将在 4.6 节正式展开。其二，生日问题恰是球入盒模型的一个特例：把 \(n\) 个人看作 \(n\) 个球、365 个生日看作 365 个盒，"生日两两不同"即"每盒至多一球"。两大母模型在此汇合，这正是古典概型统摄力的体现。
6. 本节小结
- 古典概型的两条前提：样本空间有限 + 各结果等可能（依据是对称性或随机化设计），此时 \(P(E)=|E|/|S|\)，概率论化为计数问题。
- 等可能必须施加在恰当粒度的结果上：掷两骰的等可能单位是 36 个有序对，而非 11 个"点数和"。
- 补集策略常是关键："至少一个/至少两人相同"类事件，常经 \(P(E)=1-P(E^c)\) 化为连乘计算（生日问题、至少一个 6 点、至少一件次品）。
- 生日问题：\(P=1-365\cdot 364\cdots(365-n+1)/365^n\)；\(n=23\) 时约 \(0.507\)。"悖论"感的根源是配对数 \(\binom{n}{2}\) 随 \(n\) 二次增长。
- 两大母模型：不放回抽样（超几何型，\(\binom{m}{k}\binom{N-m}{n-k}/\binom{N}{n}\)）与球入盒（指定盒恰 \(k\) 球为 \(\binom{n}{k}(1/N)^k(1-1/N)^{n-k}\)，通向二项分布）。
练习
练习 2-5-1
证明：5 张牌恰为"三条"（一个点数出现 3 次，另两个点数各出现 1 次）的概率约为 \(0.0211\)。
答案与提示选三条的点数 \(\binom{13}{1}\)，取该点数 4 张中的 3 张 \(\binom{4}{3}\)，其余两张从 12 个点数中选 2 个 \(\binom{12}{2}\)、各选花色 \(4^2\)：\[ \frac{\binom{13}{1}\binom{4}{3}\binom{12}{2}4^2}{\binom{52}{5}}=\frac{54\,912}{2\,598\,960}\approx 0.0211. \]
练习 2-5-2
写出 \(n\) 人生日两两不同的概率表达式，并计算 \(n=30\) 时的数值。
答案与提示\[ \frac{365\cdot 364\cdots(365-n+1)}{365^{n}}. \] \(n=30\) 时约 \(0.294\)；相应地，至少两人生日相同的概率约 \(1-0.294=0.706\)，与表 2 一致。
练习 2-5-3
抓阄（抽签）的公平性：10 个阄中有 3 个红阄，10 人依次各抓一个（不放回）。证明：第 \(k\) 个人抓到红阄的概率与 \(k\) 无关，均为 \(3/10\)。
答案与提示对称性论证：把 10 个阄的抓取结果看成一个随机排列，全部 \(10!\) 种排列等可能；"第 \(k\) 位是红阄"的排列有 \(3\times 9!\) 种（3 选 1 放在第 \(k\) 位，其余 9 个任意排），故 \(P=3\times 9!/10!=3/10\)。也可用条件概率链展开验证。先抓后抓机会均等——抓阄是公平的。
练习 2-5-4
掷两颗均匀骰子，求至少出现一个 6 点的概率；并与例 1(a)"点数和为 7"的概率比较大小。
答案与提示用补集：两颗都不是 6 的概率为 \((5/6)^2=25/36\)，故所求 \(P=1-25/36=11/36\approx 0.306\)。由于 \(11/36\) 大于 \(6/36=1/6\)，"至少一个 6"比"点数和为 7"更容易发生。
练习 2-5-5
回到例 4 的产品抽样：求抽出的 5 件中至少含 1 件次品的概率。
答案与提示补集为"5 件全是正品"：\(\binom{7}{5}/\binom{10}{5}=21/252\)，故 \(P=1-21/252=231/252=11/12\approx 0.917\)。只有 7 件正品却要抽 5 件，抽到次品几乎是必然。