4.4　随机变量函数的期望 — 概率论基础教程

学习目标

说明随机变量的函数 \(g(X)\) 仍是随机变量，并会按“映到同一 \(y\) 则概率相加”写出其分布列；
陈述并运用核心定理 \(E[g(X)]=\sum_x g(x)p(x)\)，解释它为何无需先求 \(Y=g(X)\) 的分布；
运用线性性 \(E[ag(X)+bh(X)+c]=aE[g(X)]+bE[h(X)]+c\) 计算复合表达的期望；
熟练计算 \(E[X^2]\)、\(E[(X-\mu)^2]\) 等平方型期望，为下一节的方差做准备；
辨析 \(E[g(X)]\) 与 \(g(E[X])\)：只有仿射函数可以交换期望与变换的顺序。

1. 随机变量的函数：从赔付封顶说起

4.3 节解决了“随机变量自身的期望怎么算”。然而应用中我们真正关心的量，往往是随机变量的某个函数：保险公司规定“单次事故赔付封顶 20 千元”，赔付额就是损失 \(X\) 的函数 \(g(X)=\min(X,20)\)；商家的利润是销量 \(X\) 的函数；度量数据围绕均值的散布时，我们会遇上 \((X-\mu)^2\)。一般地，设 \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) 是给定的实值函数：当试验结果使 \(X\) 取值 \(x\) 时，量 \(g(X)\) 就随之确定为 \(g(x)\)。也就是说，\(g(X)\) 把每个样本点先经 \(X\) 数值化、再经 \(g\) 加工，仍是定义在样本空间上的实值函数——它当然还是一个随机变量，称为随机变量的函数(function of a random variable)。

既然 \(Y=g(X)\) 是随机变量，它就有自己的分布列，从而可以按 4.3 节的定义求期望。先把分布列写清楚。

定义 1　随机变量的函数的分布列

设离散型随机变量 \(X\) 的分布列为 \(p(x)\)，\(g\) 为实值函数，则 \(Y=g(X)\) 的分布列为 \[ P(Y=y)=\sum_{x:\,g(x)=y} p(x), \] 即把所有满足 \(g(x)=y\) 的 \(x\) 的概率相加。

若 \(g\) 是一一对应，只需把取值直接替换（\(p_Y(g(x))=p(x)\)；见 4.9 节的系统讨论）；若 \(g\) 是多对一，则概率发生合并。例如掷一颗骰子令 \(g(x)=(x-3.5)^2\)：六个 \(x\) 只映成三个 \(y\) 值 \(6.25,\,2.25,\,0.25\)，每个 \(y\) 由两个 \(x\) 合并而成，概率相加得 \(2/6=1/3\)。

如果目的不止于期望，而是需要 \(Y\) 的完整分布（例如计算某个 \(P(Y\le y)\)），就得老老实实按定义 1 做替换与合并。但本节的主题是一个出人意料的好消息：求 \(E[g(X)]\) 时，“先求 \(Y\) 的分布”这一步可以整个跳过。

2. 核心定理：先变换，再加权

下面的定理是本节的核心，也是第 7 章“期望的性质”整个工具箱的第一块基石。

定理 1　随机变量函数的期望

设离散型随机变量 \(X\) 的分布列为 \(p(x)\)，实值函数 \(g\) 满足 \(\sum_x |g(x)|\,p(x)<\infty\)（保证无穷级数与求和顺序无关），则 \[ E[g(X)] \;=\; \sum_x g(x)\,p(x). \]

证明记 \(Y=g(X)\)，其全部可能取值为 \(y_1,y_2,\dots\)。按 4.3 节的定义与定义 1， \[ E[Y]=\sum_j y_j\,P(Y=y_j)=\sum_j y_j \sum_{x:\,g(x)=y_j} p(x). \] 在内层求和的范围内，每个 \(x\) 都满足 \(g(x)=y_j\)，故可用 \(g(x)\) 替换 \(y_j\)： \[ E[Y]=\sum_j \sum_{x:\,g(x)=y_j} g(x)\,p(x). \] 诸集合 \(\{x: g(x)=y_j\}\) 互不相交，且并起来恰是 \(X\) 的全部取值——把双重求和按 \(y\) 合并同类项后，每个 \(x\) 恰好出现一次，于是 \[ E[Y]=\sum_x g(x)\,p(x). \qquad\blacksquare \]

定理的算法可以概括为六个字：先变换，再加权。加权只认 \(X\) 原来的取值 \(x\)，概率 \(p(x)\) 原样搬用，变换只作用在数值上；当多个 \(x\) 映到同一个 \(y\) 时，相当于求和过程中自动完成了“合并同类项”——这正是证明里绕开 \(p_Y\) 的关键。图 1 以掷骰子、\(g(x)=x^2\) 为例展示这一过程。

图 1：“先变换，再加权”映射示意。上排是 \(X\) 的取值及其概率，箭头表示函数 \(g\) 的作用，下排是 \(g(X)\) 的取值——每个新值沿用的仍是原来的概率 \(p(x)\)，无需关心 \(g(X)\) 的分布长什么样。

例 1　掷骰子的 \(E[X^2]\)

掷一颗均匀骰子，\(X\) 为所得点数。求 \(E[X^2]\)，并与 \((E[X])^2\) 比较。

解每个点数概率为 \(1/6\)，由定理 1 直接对 \(x^2\) 加权： \[ E[X^2]=\sum_{k=1}^{6} k^2\cdot\frac{1}{6}=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}\approx 15.17. \] 而 \(E[X]=3.5\)，故 \((E[X])^2=3.5^2=12.25\)。两者不相等：先平方再平均，比先平均再平方大 \(91/6-12.25=35/12\approx 2.92\)——这个差正是骰子的“方差”，见第 4 小节与 4.5 节。若不用定理 1，就得先写出 \(Y=X^2\) 的分布列（本例是一一对应，尚且好写），多做一步而无任何收益。

例 2　保险赔付的封顶条款

某保单一年内的事故损失 \(X\)（千元）的分布为 \(P(X=0)=0.80\)，\(P(X=10)=0.15\)，\(P(X=50)=0.05\)。保险合同规定赔付限额 20 千元，即实际赔付 \(g(X)=\min(X,20)\)。求期望赔付额；并与不设封顶时的期望损失比较。

解三个取值经 \(g\) 作用后为 \(g(0)=0\)，\(g(10)=10\)，\(g(50)=\min(50,20)=20\)，概率照旧使用。由定理 1 并借助表 1 逐项计算： \[ E[g(X)]=0\times 0.80+10\times 0.15+20\times 0.05=1.5+1.0=2.5\ \text{(千元)}. \] 不设封顶时的期望损失为 \(E[X]=0\times 0.80+10\times 0.15+50\times 0.05=4.0\) 千元。封顶条款使期望赔付减少 \(4.0-2.5=1.5\) 千元（恰等于被截掉部分的期望 \(E[X-g(X)]\)）。若保险公司只看期望收支平衡，保费应高于 2.5 千元——这与 4.3 节彩票例子的决策逻辑一致；当然，大额损失发生的可能性同样值得关注，这类“风险大小”的度量正是方差的主题。

表 1：封顶赔付 \(g(x)=\min(x,20)\) 的期望计算（单位：千元）
损失 \(x\)	\(p(x)\)	赔付 \(g(x)\)	\(g(x)\,p(x)\)
0	0.80	0	0.00
10	0.15	10	1.50
50	0.05	20	1.00
合计	1.00	—	2.50

例 3　掷 3 枚硬币求 \(E[2^X]\)

掷 3 枚均匀硬币，\(X\) 为正面个数。求 \(E[2^X]\)。

解\(X\) 的分布列为 \(P(X=k)=\binom{3}{k}/8\)，\(k=0,1,2,3\)（见 4.2 节例 1）。对 \(g(x)=2^x\) 应用定理 1： \[ E[2^X]=\frac{1}{8}\Big(2^0\binom{3}{0}+2^1\binom{3}{1}+2^2\binom{3}{2}+2^3\binom{3}{3}\Big)=\frac{1\times 1+2\times 3+4\times 3+8\times 1}{8}=\frac{27}{8}=3.375. \] 顺便一提：由二项定理 \(\sum_k \binom{3}{k}2^k=(1+2)^3=27\)，故 \(E[2^X]=(3/2)^3\)，展开即 \(27/8\)，与逐项求和一致。这种“对 \(t^X\) 取期望”的结构将在第 7 章的矩母函数中重现。

3. 线性性：期望是一个线性算子

把 \(E[\cdot]\) 看成一台机器：吃进一个随机变量，吐出一个数。这样的“机器”在数学上称为算子(operator)。定理 1 立刻给出这台算子最重要的品质——线性性(linearity)：它与加法、数乘可以自由交换顺序。

定理 2　期望的线性性

设 \(a,b,c\) 为常数，\(g,h\) 为实值函数且诸期望存在，则 \[ E\big[a\,g(X)+b\,h(X)+c\big]=a\,E[g(X)]+b\,E[h(X)]+c. \]

证明注意 \(a\,g(X)+b\,h(X)+c\) 本身也是 \(X\) 的函数，对它应用定理 1，再利用有限和的分配律与规范性 \(\sum_x p(x)=1\)： \[ \begin{aligned} E\big[a\,g(X)+b\,h(X)+c\big] &= \sum_x \big(a\,g(x)+b\,h(x)+c\big)p(x) \\ &= a\sum_x g(x)p(x)+b\sum_x h(x)p(x)+c\sum_x p(x) \\ &= a\,E[g(X)]+b\,E[h(X)]+c. \qquad\blacksquare \end{aligned} \]

两个常用特例：取 \(g(X)=X\)、\(h\equiv 0\)，得 \(E[aX+b]=aE[X]+b\)，即 4.3 节的性质；取 \(g(X)=(X-\mu)^2\) 展开可得 \(E[(X-\mu)^2]=E[X^2]-\mu^2\)（见第 4 小节）。线性性对任意有限多个函数同样成立，其求和版本是第 7 章的主力工具。图 2 把“先分别取期望、再作同一线性组合”画成一张流程图。

图 2：线性性示意。同一份分布列 \(p(x)\) 分别对 \(g\)、\(h\) 加权求和得到两个期望，再按系数 \(a\)、\(b\) 缩放并平移 \(c\)——“取期望”与“线性组合”两道工序可以交换顺序。

注记　期望不能与任意函数交换

定理 2 只对仿射组合（系数乘、相加、加常数）有效，切莫推广过头：一般地 \(E[g(X)]\neq g(E[X])\)。骰子便是一例：\(E[X^2]=91/6\approx 15.17\)，而 \((E[X])^2=12.25\)。直观原因：\(x^2\) 是弯曲的，它放大远离均值的取值；先取平均则把这种不对称抹平了。当 \(g\) 为凸函数时，不等号方向有保证：\(E[g(X)]\ge g(E[X])\)（Jensen 不等式）。有趣的是，骰子例子中两值之差 \(91/6-12.25=35/12\) 恰好就是下一节要定义的方差。

4. 通向方差：\(E[X^2]\) 的角色

4.3 节的投资练习已经表明：期望相同不代表风险相同。要度量风险，自然的想法是看 \(X\) 偏离均值 \(\mu=E[X]\) 的平均幅度；为避免正负偏差互相抵消，先平方、再取期望，即考察 \(E[(X-\mu)^2]\)。本节的两个定理恰好为它备齐了工具：定理 1 说明这个量可以直接对 \((x-\mu)^2\) 加权求和，完全不必先求 \((X-\mu)^2\) 的分布（回忆第 1 小节：那个分布需要把六个点合并成三个，颇费笔墨）；定理 2 则给出另一条路——把平方展开： \[ E[(X-\mu)^2]=E[X^2-2\mu X+\mu^2]=E[X^2]-2\mu\,E[X]+\mu^2=E[X^2]-\mu^2. \]

用骰子验算：直接加权得 \(E[(X-3.5)^2]=(2.5^2+1.5^2+0.5^2)\times 2/6=17.5/6=35/12\approx 2.9167\)；间接用公式得 \(E[X^2]-\mu^2=91/6-12.25=35/12\)。两条路完全一致。这个量就是 4.5 节将要定义的方差(variance)，而“先算 \(E[X^2]\)、再减 \(\mu^2\)”正是它的标准算法——本节例 1 的结果 \(91/6\) 已经把最费手的一步算完了。

5. 本节小结

要点回顾

\(Y=g(X)\) 仍是随机变量，其分布列按 \(y\) 合并概率：\(P(Y=y)=\sum_{x:\,g(x)=y}p(x)\)（定义 1）。
核心定理：\(E[g(X)]=\sum_x g(x)p(x)\)——先变换，再加权，无需先求 \(Y=g(X)\) 的分布；证明要点是按 \(y\) 合并同类项（定理 1）。
线性性：\(E[ag(X)+bh(X)+c]=aE[g(X)]+bE[h(X)]+c\)；期望是一个线性算子，但只对仿射组合有效，\(E[g(X)]\neq g(E[X])\)（如 \(E[X^2]>(E[X])^2\)）（定理 2）。
典型计算：骰子 \(E[X^2]=91/6\approx 15.17\)；封顶赔付 \(E[\min(X,20)]=2.5\) 千元；掷 3 枚硬币 \(E[2^X]=27/8=3.375\)。
为方差铺路：\(E[(X-\mu)^2]=E[X^2]-\mu^2\)；骰子 \(91/6-3.5^2=35/12\approx 2.9167\)，正是 4.5 节的方差。

练习

练习 4-4-1

掷一颗均匀骰子：(a) 用定理 1 求 \(E[X^2]\)；(b) 直接对 \((x-3.5)^2\) 加权求 \(E[(X-3.5)^2]\)；(c) 验证 \(E[(X-3.5)^2]=E[X^2]-3.5^2\)，并说明这个数值与 4.5 节的方差有何关系。

答案与提示

(a) \(E[X^2]=91/6\approx 15.17\)。(b) 偏差为 \(\pm 2.5,\pm 1.5,\pm 0.5\)，故 \(E[(X-3.5)^2]=(6.25+2.25+0.25)\times 2/6=17.5/6=35/12\approx 2.9167\)；注意这里六个 \(x\) 只映成三个平方值，概率需两两合并。(c) \(91/6-12.25=15.1667-12.25=2.9167=35/12\)，两法一致；\(35/12\) 正是 4.5 节将定义的骰子方差 \(\mathrm{Var}(X)\)，届时可直接核对。

练习 4-4-2

掷一颗均匀骰子，求平均绝对偏差 \(E[|X-3|]\)，并与练习 1 的平方偏差比较。

答案与提示

\(|X-3|\) 的取值为 \(2,1,0,1,2,3\)，故 \(E[|X-3|]=(2+1+0+1+2+3)/6=9/6=1.5\)。它度量“平均偏离多少个点数”；与平方偏差 \(35/12\approx 2.92\) 相比，绝对偏差对极端值不那么敏感（平方会放大远端的偏差）。

练习 4-4-3

利用定理 1 证明线性性：\(E[ag(X)+bh(X)+c]=aE[g(X)]+bE[h(X)]+c\)，并指出证明中哪里用到了规范性 \(\sum_x p(x)=1\)。

答案与提示

对函数 \(ag+bh+c\) 应用定理 1，得 \(\sum_x [ag(x)+bh(x)+c]p(x)\)；由分配律拆成 \(a\sum g(x)p(x)+b\sum h(x)p(x)+c\sum p(x)\)；最后一步 \(\sum_x p(x)=1\) 使常数项 \(c\) 从加权求和中“全身而退”，只留下 \(c\) 本身——这正是平移不影响线性结构的根源。

练习 4-4-4

设 \(X\) 的分布列为 \(p(x)=x/21\)，\(x=1,2,\dots,6\)（4.3 节例 3 已算得 \(E[X]=91/21\approx 4.33\)）。求 \(E[X^2]\) 与 \(E[1/X]\)，并检验 \(E[1/X]\) 是否等于 \(1/E[X]\)。

答案与提示

\(E[X^2]=\sum x^2\cdot\frac{x}{21}=\frac{1+8+27+64+125+216}{21}=\frac{441}{21}=21\)（此值将在 4.5 节例 3 中用于求方差）。\(E[1/X]=\sum \frac{1}{x}\cdot\frac{x}{21}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}\approx 0.286\)；而 \(1/E[X]=21/91\approx 0.231\)，两者不等——再次印证期望只与线性函数交换，取倒数（凸与凹并存的非线性）不行。