- 能把"求 \(Y=g(X)\) 的分布"转化为"把原像集合上的概率求和"，正确写出并运用公式 \(p_Y(y)=\sum_{x:\,g(x)=y}p_X(x)\)；
- 区分 \(g\) 一一对应与多对一两种情形：前者直接替换取值，后者把"撞在一起"的概率相加；
- 掌握另一途径——先求 \(F_Y(y)=P(g(X)\le y)\) 再差分——并能用两种方法互相验证；
- 通过 \(Y=X^2\)、\(Y=|X|\)、\(Y=2X+1\)、\(Y=\max(X,0)\) 等变换，理解"函数可能丢失信息"与"线性变换只搬动概率质量"；
- 了解离散方法为何不能照搬到连续情形，为 5.7 节的一般方法做好铺垫。
1. 问题的提出：随机变量的函数
在应用中，我们关心的量往往不是随机变量 \(X\) 本身，而是它的某个函数。例如在 4.4 节的赔付问题中，保险公司实际支付的是封顶赔付 \(g(x)=\min(x,20)\)；测量误差的"平方损失"是 \(X^2\)；温度读数从摄氏换算到华氏是线性函数 \(g(x)=1.8x+32\)。一般地，若已知 \(X\) 的分布，如何求出 \(Y=g(X)\) 的分布？这就是本节的主题。4.4 节已经解决了它的"平均版本"——不求 \(Y\) 的分布也能算出 \(E[g(X)]\)；现在我们要的是完整的分布列，它比期望包含更多的信息（例如 \(Y\) 最可能取什么值、尾部有多重）。
设 \(X\) 是定义在样本空间 \(S\) 上的随机变量(random variable)，\(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) 为实值函数。对每个结果 \(s\in S\)，令 \[ Y(s) = g\big(X(s)\big), \] 则称 \(Y=g(X)\) 为随机变量的函数(function of a random variable)。它把每个试验结果的数值再作一次加工，本身仍是一个随机变量。
本节讨论 \(X\) 为离散型的情形，目标是：已知 \(X\) 的分布列 \(p_X(x)\)（4.2 节），求 \(Y=g(X)\) 的分布列 \(p_Y(y)\)。
2. 基本方法：按原像合并概率
关键在于用 \(X\) 的语言翻译事件 \(\{Y=y\}\)：\(Y\) 恰好等于 \(y\)，当且仅当 \(X\) 取到的值经 \(g\) 加工后等于 \(y\)，也就是 \(X\) 落在 \(y\) 的原像集合(preimage) \(\{x:\, g(x)=y\}\) 之中。对离散型 \(X\) 而言，"落在集合中"可以拆成"落在一个个别点上"，而诸事件 \(\{X=x\}\) 两两互不相容，概率便可直接相加。
设 \(X\) 为离散型随机变量，分布列为 \(p_X(x)\)，\(Y=g(X)\)。则对任意实数 \(y\)， \[ p_Y(y) \;=\; P(Y=y) \;=\; \sum_{x:\,g(x)=y} p_X(x), \] 其中和式取遍所有满足 \(g(x)=y\) 的 \(x\)；若这样的 \(x\) 不存在（或都不在 \(X\) 的可能取值之内），则 \(p_Y(y)=0\)。
定理 1 在两种典型情形下表现出两种面貌。
情形一：\(g\) 一一对应（直接替换）。若 \(g\) 把 \(X\) 的不同取值映到不同的 \(y\)，则每个原像集合只含一个点，求和只剩一项——概率原封不动，只需把取值"改个名字"。
设 \(g\) 在 \(X\) 的可能取值集合上一一对应（\(x_1\ne x_2 \Rightarrow g(x_1)\ne g(x_2)\)）。则 \(Y=g(X)\) 的可能取值为 \(y=g(x)\)，且 \[ p_Y\big(g(x)\big) \;=\; p_X(x). \]
情形二：多对一（概率合并，本节核心思想）。若 \(g(x_1)=g(x_2)=y\)，则两个原本互不相容的事件 \(\{X=x_1\}\)、\(\{X=x_2\}\) 一同导致 \(\{Y=y\}\)，概率必须相加：概率永远跟着样本点走；若干个 \(x\) 被压到同一个 \(y\)，它们的概率质量就在那里合并。合并的代价可能是信息丢失——例如 \(g(x)=x^2\) 丢掉符号，知道 \(Y=1\) 并不能区分 \(X=-1\) 还是 \(X=1\)；而 \(g(x)=|x|\) 同样丢符号但保留幅度。
其一，当 \(g\) 多对一时不能写成 \(p_Y(y)=p_X\big(g^{-1}(y)\big)\)：\(g^{-1}(y)\) 不是一个数而是一个集合（例如 \(g(x)=x^2\) 时 \(g^{-1}(1)=\{-1,1\}\)），单点代入会漏掉概率。其二，\(Y\) 的分布列只需列在 \(g\) 的值域中"被 \(X\) 取到的部分"上；对值域之外的 \(y\) 写 \(p_Y(y)=0\) 即可，不必强行求和。检验答案的简便办法永远是：\(p_Y\) 的全部取值之和必须等于 1。
3. 三个典型变换：平方、绝对值与线性
设 \(X\) 的分布列为 \(P(X=-1)=0.2,\;P(X=0)=0.3,\;P(X=1)=0.3,\;P(X=2)=0.2\)。令 \(Y=X^2\)，求 \(Y\) 的分布列。
(1) 只有 \(x=0\) 映到 \(0\)：\(P(Y=0)=P(X=0)=0.3\)；
(2) \(x=-1\) 与 \(x=1\) 都映到 \(1\)，事件 \(\{X=-1\}\) 与 \(\{X=1\}\) 互不相容：\(P(Y=1)=0.2+0.3=0.5\)；
(3) 只有 \(x=2\) 映到 \(4\)：\(P(Y=4)=0.2\)。
检验：\(0.3+0.5+0.2=1\)，确为分布列。作为旁证，用 4.4 节的定理计算 \(E[X^2]=0.2+0+0.3+0.8=1.3\)，而用 \(Y\) 的分布列计算 \(E[Y]=0\times0.3+1\times0.5+4\times0.2=1.3\)，两条路线一致。
| \(y\) | 0 | 1 | 4 |
|---|---|---|---|
| 原像 \(\{x:\,x^2=y\}\) | \(\{0\}\) | \(\{-1,\,1\}\) | \(\{2\}\) |
| \(p_Y(y)\) | 0.3 | \(0.2+0.3=0.5\) | 0.2 |
设 \(X\) 在 \(\{-2,-1,0,1,2\}\) 上等可能取值（各 \(1/5\)）。令 \(Y=|X|\)，求 \(Y\) 的分布列。
设 \(X\) 服从例 1 的分布列。令 \(Y=2X+1\)，求 \(Y\) 的分布列，并验证 \(E[Y]=2E[X]+1\)。
4. 另一途径：先求分布函数再差分
定理 1 要求"解方程 \(g(x)=y\)"列出全部原像；当 \(g\) 的结构较复杂、或原像不易逐一枚举时，换一条路往往更稳：先求 \(Y\) 的分布函数(cumulative distribution function)（4.1 节） \[ F_Y(y) \;=\; P(Y\le y) \;=\; P\big(g(X)\le y\big) \;=\; \sum_{x:\,g(x)\le y} p_X(x), \] 即把满足 \(g(x)\le y\) 的所有 \(x\) 的概率加起来；再用 4.2 节的差分公式 \(p_Y(y)=F_Y(y)-F_Y(y^-)\) 逐点还原分布列。这条"先累积、后差分"的路线在离散情形与定理 1 等价，但它的真正价值在于：它是连续情形中几乎唯一可行的方法（见本节末注记）。
设 \(X\) 服从例 1 的分布列，\(Y=X^2\)。先用 \(F_Y(y)=P(X^2\le y)\) 求出 \(Y\) 的分布函数，再差分得到分布列。
若 \(X\) 是连续型随机变量（第 5 章），则对每个点 \(x\) 都有 \(P(X=x)=0\)，"把原像上的概率加起来"只能得到 0——定理 1 的求和公式整体失效。彼时标准做法正是本节第二条途径的连续版：先算 \(F_Y(y)=P(g(X)\le y)=\int_{x:\,g(x)\le y} f_X(x)\,dx\)，再对 \(y\) 求导得密度；当 \(g\) 单调可微时有显式公式 \(f_Y(y)=f_X\big(g^{-1}(y)\big)\left|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}g^{-1}(y)\right|\)。届时还会看到与例 3 呼应的"线性变换拉伸密度"现象。详见 5.7 节。
5. 本节小结
- 问题：已知 \(X\) 的分布列，求 \(Y=g(X)\) 的分布列；一切计算围绕原像集合 \(\{x:\,g(x)=y\}\) 展开。
- 核心公式：\(p_Y(y)=\sum_{x:\,g(x)=y}p_X(x)\)——概率跟着样本点走，多个 \(x\) 映到同一 \(y\) 时概率相加（多对一合并）。
- 一一对应时退化为直接替换：\(p_Y(g(x))=p_X(x)\)；线性变换 \(Y=aX+b\;(a\ne0)\) 是典型代表。
- 另一途径：先求 \(F_Y(y)=P(g(X)\le y)\)（按 \(g(x)\le y\) 累加），再差分 \(p_Y(y)=F_Y(y)-F_Y(y^-)\)；两条路线可互相验证。
- 平方与绝对值会丢失符号信息（\(Y=1\) 分不清 \(X=\pm1\)）；连续情形须改用 CDF 途径（5.7 节）。
练习
练习 4-9-1
（截断变换）设 \(X\) 服从例 1 的分布列，\(Y=\max(X,0)\)（把负值截断为 0）。求 \(Y\) 的分布列，并指出 \(Y\) 能否反推 \(X\)。
答案与提示\(g(x)=\max(x,0)\) 把 \(-1\) 和 \(0\) 都映到 \(0\)，把 \(1,2\) 原样保留。故 \(P(Y=0)=P(X=-1)+P(X=0)=0.2+0.3=0.5\)，\(P(Y=1)=0.3\)，\(P(Y=2)=0.2\)（和为 1）。由 \(Y=0\) 无法区分 \(X=-1\) 与 \(X=0\)，故不能反推——截断与平方一样是"多对一丢信息"的典型。此类"截断赔付"在保险精算中常见（对照 4.4 节例 2 的封顶赔付 \(\min(x,20)\)，二者思路相同、方向相反）。
练习 4-9-2
设 \(X\) 在 \(\{0,1,2,3\}\) 上等可能取值，\(Y=\dfrac{X(X-1)}{2}\)。求 \(Y\) 的分布列。
答案与提示逐点计算 \(g\)：\(0\mapsto0\)，\(1\mapsto0\)，\(2\mapsto1\)，\(3\mapsto3\)。于是 \(P(Y=0)=\frac12\)（\(x=0,1\) 合并），\(P(Y=1)=\frac14\)，\(P(Y=3)=\frac14\)。注意 \(y=2\) 在值域之外，\(P(Y=2)=0\)，不必列入分布列。
练习 4-9-3
设 \(X\) 在 \(\{1,2,3,4\}\) 上等可能取值，\(Y=(X-2)^2\)。请分别用"原像合并"与"先求 CDF 再差分"两种方法求 \(Y\) 的分布列，并核对结果一致。
答案与提示方法一（合并）：\(2\mapsto0\)；\(1,3\mapsto1\)；\(4\mapsto4\)，故 \(P(Y=0)=\frac14\)，\(P(Y=1)=\frac12\)，\(P(Y=4)=\frac14\)。方法二（CDF）：\(F_Y(y)=0\;(y<0)\)，\(=\frac14\;(0\le y<1)\)，\(=\frac34\;(1\le y<4)\)，\(=1\;(y\ge4)\)；差分得 \(p_Y(0)=\frac14\)、\(p_Y(1)=\frac12\)、\(p_Y(4)=\frac14\)，两法一致。
练习 4-9-4
（思考题，预告 5.7 节）若 \(X\) 是连续型随机变量，例如服从 \((0,1)\) 上的均匀分布，\(Y=X^2\)。此时"把 \(\{x:\,x^2=y\}\) 上的概率加起来"会得到什么？正确的第一步应当改求什么量？
答案与提示连续型 \(X\) 取任何单点的概率都是 0，求和只得 \(P(Y=y)=0\)，得不到有用信息。应先求分布函数 \(F_Y(y)=P(X^2\le y)=P(X\le\sqrt y)=\sqrt y\)（\(0\le y\le1\)），再求导得密度 \(f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt y}\)——这正是 5.7 节一般方法（CDF 途径 + 单调变换公式）的最小例子。离散与连续的关键差别：前者质量集中在点上、可直接相加；后者质量按密度铺开、必须经 CDF 累积再求导。