- 写出泊松分布(Poisson distribution)的分布列，并利用 \(e^x\) 的泰勒级数证明其规范性；
- 推导二项分布的泊松极限（\(n\to\infty\)、\(np\to\lambda\)、固定 \(k\) 展开），并说出经验使用条件 \(n\ge 100\)、\(np\le 10\)；
- 陈述泊松过程的两个机理假设与强度 \(\lambda\) 的可加性，并举出稀有事件计数的典型场景；
- 用相邻项之比 \(p(k)/p(k-1)=\lambda/k\) 证明最大概率点为 \(k=\lfloor\lambda\rfloor\)；
- 借助 \(E[X(X-1)]=\lambda^2\) 的技巧证明 \(E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda\)，并求解错字、呼叫、保险等实际问题。
1. 泊松分布的定义与规范性
在 4.6 节中，我们用二项分布刻画 \(n\) 重独立重复试验的成功次数。但当 \(n\) 很大时，\(\binom{n}{k}\) 的计算十分繁琐；更重要的是，现实中大量现象天然表现为"大量机会、单独概率极小"的计数问题：一页书上的错字个数、一台电话交换台一分钟内收到的呼叫数、一大块放射性物质一秒钟内的衰变次数、一条长消息在信道中传输的误码数。它们的共同画像是——机会数 \(n\) 巨大、每个机会"出事"的概率 \(p\) 极小，而人们关心的只是总计数。泊松随机变量(Poisson random variable)正是刻画这类现象的模型，它是概率论中最重要的离散分布之一。
若随机变量 \(X\) 取值为 \(0,1,2,\ldots\)，且存在常数 \(\lambda\gt 0\) 使得 \[ P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\ldots \] 则称 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布(Poisson distribution)，记作 \(X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)\)。
参数 \(\lambda\) 的直观意义是"平均发生的次数"——本节第 4 部分将严格证明 \(E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda\)。分布列的非负性显然，但由于 \(X\) 取遍全体非负整数，还须验证所有概率之和确实为 \(1\)。
\[ \sum_{k=0}^{\infty} e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}=1. \]
实际计算泊松概率时有一个便利的递推关系：由 \(p(k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k!\) 相邻两项相除得 \[ \frac{p(k)}{p(k-1)}=\frac{\lambda}{k},\qquad k\ge 1, \] 于是从 \(p(0)=e^{-\lambda}\) 出发即可依次乘出整张分布列（这一比值也是第 4 部分确定最大概率点的钥匙）。几个常用的数值：\(e^{-1}\approx 0.3679\)，\(e^{-2}\approx 0.1353\)，\(e^{-3}\approx 0.0498\)。
历史统计表明，某书排版后平均每页出现 \(2\) 个错字，且认为一页上的错字个数 \(X\) 服从参数 \(\lambda=2\) 的泊松分布。求：(a) 随机翻开一页恰好没有错字的概率；(b) 恰有 \(2\) 个错字的概率；(c) 至少有 \(1\) 个错字的概率。
(b) \(P(X=2)=e^{-2}\dfrac{2^{2}}{2!}=2e^{-2}\approx 0.2707\)。注意这是所有 \(k\) 中最大的概率（见第 4 部分定理 3：\(\lfloor 2\rfloor=2\)），即"恰好 2 个错字"比"恰好 0 个错字"更可能发生。
(c) \(P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-e^{-2}\approx 0.8647\)——平均每 8 页中约有 7 页带错字。
2. 来源一：二项分布的泊松极限
泊松分布从何而来？第一个来源是二项分布的极限。设想独立重复试验的次数 \(n\) 越来越多，而单次成功的概率 \(p\) 越来越小，两者的乘积 \(np=\lambda\) 保持不变——"成功"成为越来越稀有的事件，但"成功总数"的平均水平不变。此时二项分布收敛于泊松分布，因此泊松定理又被称为稀有事件定律(law of rare events)。
设 \(X_n\sim B(n,p_n)\)。若当 \(n\to\infty\) 时 \(np_n\to\lambda\gt 0\)（为叙述方便取 \(p_n=\lambda/n\)），则对每个固定的 \(k=0,1,2,\ldots\)， \[ \lim_{n\to\infty}\binom{n}{k}p_n^{k}\left(1-p_n\right)^{n-k}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}. \] 即 \(n\) 很大、\(p\) 很小、\(np\approx\lambda\) 时，二项概率可用 \(\mathrm{Poisson}(\lambda)\) 近似。
这一近似何时"够准"？经验法则(rule of thumb)是：当 \(n\ge 100\) 且 \(np\le 10\)（即 \(p\le 0.1\)）时，泊松近似通常已给出千分位级别的精度。它把需要计算组合数 \(\binom{n}{k}\) 的二项概率，化为只需递推 \(p(k+1)=p(k)\cdot\frac{\lambda}{k+1}\) 的泊松概率，在计算工具匮乏的年代这是实实在在的解放。
设 \(X\sim B(100,\,0.05)\)，取 \(\lambda=np=5\)，用泊松分布 \(\mathrm{Poisson}(5)\) 近似 \(X\) 的分布。对 \(k=0,1,\ldots,8\) 列出两者的概率并比较近似程度。
| \(k\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(B(100,0.05)\) | .0059 | .0312 | .0812 | .1396 | .1781 | .1800 | .1500 | .1060 | .0649 |
| \(\mathrm{Poisson}(5)\) | .0067 | .0337 | .0842 | .1404 | .1755 | .1755 | .1462 | .1044 | .0653 |
| 绝对误差 | .0008 | .0025 | .0030 | .0008 | .0026 | .0045 | .0038 | .0016 | .0004 |
某保险公司承保 \(100\) 张保单，每张保单在一年内出险的概率为 \(0.01\)，各保单相互独立。求一年内至少发生 \(3\) 件赔案的概率。
3. 来源二：泊松过程
泊松分布的第二个来源完全不借助极限，而是直接从"事件流"的机理假设出发。考虑随时间随机发生的事件：电话交换台的呼叫、放射源的衰变、织机的断纱、服务器收到的请求。记 \(N(t)\) 为时间段 \([0,t]\) 内事件发生的次数，则下面的两条假设足以推出 \(N(t)\) 服从泊松分布——这组假设称为泊松过程(Poisson process)。
称计数过程 \(\{N(t),\,t\ge 0\}\) 是强度(rate)为 \(\lambda\) 的泊松过程，若它满足：
(i) 独立增量(independent increments)：在不相交时间区间内发生的事件数相互独立，且过程的统计规律不因计时起点的平移而改变；
(ii) 比例性：在长度为 \(\Delta t\) 的很短区间内，恰好发生一次事件的概率约为 \(\lambda\,\Delta t\)，发生两次及以上的概率是 \(\Delta t\) 的高阶小量 \(o(\Delta t)\)。
此时对任意 \(t\gt 0\)，
\[ P(N(t)=k)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\ldots \]
即 \(N(t)\sim\mathrm{Poisson}(\lambda t)\)。
直观地说：把 \([0,t]\) 切成 \(n\) 个小区间，每个小区间"出一次事"的概率为 \(\lambda t/n\)（且几乎不会出两次以上），于是 \(N(t)\) 近似为 \(B(n,\lambda t/n)\)——令 \(n\to\infty\) 便回到定理 2 的极限。泊松过程的两个来源在此合流。
由定义 2 立即得到强度的可加性，它是应用中换算时间尺度的依据：（a）时间可加——不相交区间上的事件数相互独立，且总次数服从参数相加的泊松分布：\(N(s+t)\) 与 \(N(s)+N'(t)\) 同分布，均服从 \(\mathrm{Poisson}(\lambda s+\lambda t)=\mathrm{Poisson}(\lambda(s+t))\)。例如呼叫强度为每分钟 \(\lambda=3\)，则 \(5\) 分钟内的呼叫数服从 \(\mathrm{Poisson}(15)\)。（b）流可加——两个相互独立的泊松流叠加仍是泊松流，强度为 \(\lambda_1+\lambda_2\)：交换台同时接收语音呼叫（\(\lambda_1\)）与传真呼叫（\(\lambda_2\)）时，总呼叫流强度为 \(\lambda_1+\lambda_2\)。适用场景遍布各领域：放射性衰变（原子数极多而单个原子瞬间衰变的概率极小，正是"二项极限"的物理版本）、一页书的错字（字符多、每字出错概率小）、长消息传输误码、高速公路事故、排队系统的到达。反之，若事件明显"扎堆"（如地震余震）或呈周期性（如上班高峰的车流），或强度随时间变化，则不能套用泊松过程。
某电话交换台白天的呼叫到达近似为强度 \(\lambda=3\)（次/分钟）的泊松过程。设 \(X\) 为某一分钟内收到的呼叫数。(a) 求 \(P(X=0)\)；(b) 求该分钟内至少接到 \(2\) 个呼叫的概率；(c) 问接下来 \(5\) 分钟内呼叫数的分布。
(a) \(P(X=0)=e^{-3}\approx 0.0498\)，即平均每 \(20\) 个一分钟里约有 \(1\) 分钟完全空闲。
(b) \(P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-e^{-3}(1+3)=1-4e^{-3}\approx 1-0.1991=0.8009\)。"至少两个呼叫"竟占到八成——因为均值 \(3\) 本身就不小。
(c) 由强度的可加性，\(5\) 分钟内的呼叫数 \(Y\sim\mathrm{Poisson}(3\times 5)=\mathrm{Poisson}(15)\)，且 \(Y\) 与先前一分钟内的呼叫数相互独立。
泊松分布由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon Denis Poisson，1781–1840）于 1837 年在著作《刑事与民事审判概率的研究》中发表，当时并未引起重视。让它名声大噪的是波兰经济学家博尔特基维奇（L. Bortkiewicz）1898 年的数据分析：普鲁士军队 \(14\) 个骑兵军团在 \(20\) 年间被马踢死的士兵人数，在 \(200\) 个"军团–年"中共死亡 \(122\) 人（平均每个军团–年 \(0.61\) 人），实际频数与 \(\mathrm{Poisson}(0.61)\) 的理论频数吻合得极好——死亡事件稀少、机会（骑兵与马的接触）众多，正是泊松分布的典型舞台。这一例子后来成了统计学教科书的经典，被称为"小数定律"(law of small numbers)的示范。另见 5.5 节：泊松过程中相邻两次事件的间隔服从指数分布，两者互为表里。
4. 最大概率点、期望与方差
泊松分布仅含一个参数 \(\lambda\)，它完全决定了分布的形态与数字特征。下面三个结论把本节开头的承诺逐一兑现：最可能取何值？平均值是多少？散布有多大？
设 \(X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)\)，记 \(p(k)=P(X=k)\)，则 \(p(k)\) 在 \(k^{\ast}=\lfloor\lambda\rfloor\) 处取得最大值；当 \(\lambda\) 为正整数时，\(k^{\ast}=\lambda\) 与 \(k^{\ast}=\lambda-1\) 两点并列最大。
验证几个实例：\(\lambda=2\) 时众数为 \(2\)，且 \(p(1)=p(2)=2e^{-2}\approx 0.2707\)（与例 1 的计算一致）；\(\lambda=0.4\lt 1\) 时比值 \(\lambda/1\lt 1\)，序列从开头就递减，众数为 \(0\)；\(\lambda=4\) 时 \(p(3)=p(4)\approx 0.1954\) 并列最大。
设 \(X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)\)，则 \(E[X]=\lambda\)，\(\mathrm{Var}(X)=\lambda\)。
均值与方差同为 \(\lambda\)是泊松分布的"指纹"：实测数据的样本均值与样本方差近似相等，常被用作判定其是否服从泊松分布的经验依据。它与二项分布的关系也严丝合缝——\(B(n,p)\) 的期望为 \(np\)、方差为 \(np(1-p)\)，当 \(p\to 0\) 时 \(1-p\to 1\)，两者都趋于 \(np=\lambda\)，恰与定理 2 的极限一致。此外，\(\lambda\) 较大时泊松分布逐渐对称，并可用正态分布 \(N(\lambda,\lambda)\) 近似（见 8.3 节中心极限定理）。图 2 展示了 \(\lambda=1,4,10\) 三个成员的形态演变：\(\lambda=1\) 时质量集中于 \(0\) 与 \(1\)、强烈右偏；\(\lambda=4\) 时众数移到 \(3,4\)；\(\lambda=10\) 时已相当接近对称。
5. 本节小结
- 分布列：\(P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^{k}/k!\)（\(k=0,1,2,\ldots\)），规范性由 \(e^{x}=\sum_k x^k/k!\) 的泰勒级数立即得出；相邻项之比 \(p(k)/p(k-1)=\lambda/k\) 提供递推。
- 来源一（二项极限）：\(n\to\infty\)、\(np\to\lambda\)、固定 \(k\) 展开可证 \(\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\to e^{-\lambda}\lambda^{k}/k!\)；经验法则 \(n\ge 100\)、\(np\le 10\)。
- 来源二（泊松过程）：单位时间（空间）内稀有事件的计数；不相交区间独立、概率与区间长度成比例；强度可加——\(t\) 个单位时间为 \(\mathrm{Poisson}(\lambda t)\)，两独立流叠加强度相加。
- 众数：\(p(k)\ge p(k-1)\iff k\le\lambda\)，故最大概率点为 \(k=\lfloor\lambda\rfloor\)（\(\lambda\) 为整数时与 \(\lambda-1\) 并列）。
- 数字特征：\(E[X]=\lambda\)，\(\mathrm{Var}(X)=\lambda\)；方差证明的关键技巧是阶乘矩 \(E[X(X-1)]=\lambda^{2}\)。均值等于方差是泊松分布的判别特征。
- 下一节 4.8 将继续介绍几何分布、负二项分布与超几何分布，完成离散分布工具箱的搭建。
练习
练习 4-7-1
设 \(X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)\)。已知 \(P(X=0)=P(X=1)\)，求 \(\lambda\)，并求 \(P(X\ge 2)\) 与分布的最大概率点。
答案与提示由 \(e^{-\lambda}=\lambda e^{-\lambda}\) 得 \(\lambda=1\)。于是 \(P(X\ge 2)=1-e^{-1}(1+1)=1-2e^{-1}\approx 0.2642\)；由定理 3，最大概率点 \(k=\lfloor 1\rfloor=1\)（此时 \(p(0)=p(1)=e^{-1}\) 并列最大，即 \(\lambda\) 为整数时与 \(\lambda-1\) 并列的情形）。
练习 4-7-2
判断下列二项分布能否用泊松分布近似，并说明理由：(a) \(B(5000,\,0.002)\)；(b) \(B(20,\,0.4)\)；(c) \(B(100,\,0.05)\)。
答案与提示泊松近似的适用条件是"试验次数大、单次概率小"，经验上 \(n\ge 100\) 且 \(np\le 10\)。(a) 可以：\(np=10\)，\(p=0.002\) 极小，可用 \(\mathrm{Poisson}(10)\)；(b) 不宜：虽然 \(np=8\le 10\)，但 \(p=0.4\) 并不小、\(n\) 也不大，二项形态（对称程度、支撑范围）与泊松差异明显，应直接按二项计算；(c) 可以：\(n=100\)、\(np=5\)，例 2 的对照表显示绝对误差不超过 \(0.005\)。
练习 4-7-3
设 \(X\sim\mathrm{Poisson}(2)\)，求 \(P(X\le 2)\)。
答案与提示\(P(X\le 2)=e^{-2}\left(1+2+\frac{2^{2}}{2!}\right)=5e^{-2}\approx 0.6767\)。注意"至多 2 次"的概率接近七成——虽然均值是 2，但分布右偏使小值一侧累计更快。
练习 4-7-4
某服务器收到的请求为强度每小时 \(12\) 次的泊松流。求某 \(15\) 分钟时段内：(a) 恰好收到 \(0\) 次请求的概率；(b) 至少收到 \(1\) 次请求的概率。
答案与提示由强度可加性，\(15\) 分钟 \(=\frac14\) 小时内的请求数 \(X\sim\mathrm{Poisson}\left(12\times\frac14\right)=\mathrm{Poisson}(3)\)。(a) \(P(X=0)=e^{-3}\approx 0.0498\)；(b) \(P(X\ge 1)=1-e^{-3}\approx 0.9502\)。关键在于先把强度换算到同一时间单位，再套用泊松分布列。