- 写出区间 \((a,b)\) 上均匀分布的密度函数与分布函数，并说明密度高度 \(1/(b-a)\) 的来历；
- 证明"等长区间上的概率相等"，并用区间长度直接计算 \(P(c \lt X \lt d)\)；
- 推导 \(E[X]=(a+b)/2\) 与 \(\mathrm{Var}(X)=(b-a)^2/12\)；
- 用均匀分布建模等待时间与舍入误差等实际问题，并求其分位数与中位数；
- 说明逆变换法 \(X=F^{-1}(U)\) 如何由 \(U(0,1)\) 生成任意连续分布。
1. 均匀分布的定义
第 4 章里，掷一颗均匀骰子把概率 \(1/6\) 平均分给六个点数，那是"离散等可能"的原型。连续情形下的"完全等可能"是什么意思？由于连续型随机变量取任何单点的概率都是 \(0\)（5.1 节），"等可能"只能理解为：落在任何等长区间内的概率相同。满足这一点的最简单密度，是一条水平线段——这正是"均匀"(uniform)一词的由来。
若随机变量 \(X\) 的概率密度函数(probability density function)为 \[ f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{b-a}, & a \lt x \lt b,\\[2pt] 0, & \text{其他},\end{cases}\] 其中 \(-\infty \lt a \lt b \lt \infty\)，则称 \(X\) 为区间 \((a,b)\) 上的均匀随机变量(uniform random variable)，记作 \(X \sim U(a,b)\)。
密度的高度不是随意选取的：规范性 \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1\) 要求底为 \(b-a\)、高为 \(1/(b-a)\) 的矩形面积恰为 \(1\)。注意当 \(b-a \lt 1\) 时高度会大于 \(1\)——这再次印证 5.1 节的提醒：密度不是概率，它可以超过 \(1\)。
由 \(F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt\) 立即得到分布函数(cumulative distribution function)：在 \(x \lt a\) 时累积面积为 \(0\)，在 \(a \le x \lt b\) 时等于宽为 \(x-a\) 的矩形面积，超过 \(b\) 后为 \(1\)： \[ F(x)=\begin{cases} 0, & x \lt a,\\[2pt] \dfrac{x-a}{b-a}, & a \le x \lt b,\\[2pt] 1, & x \ge b.\end{cases} \] 它在 \([a,b]\) 上以恒定斜率 \(1/(b-a)\) 线性上升——密度均匀，累积自然匀速。
2. 等长区间，等概率
均匀分布的概率计算有一个极简的规则：概率就是区间长度除以全长。
设 \(X \sim U(a,b)\)，则对任何 \(a \le c \lt d \le b\)， \[ P(c \lt X \lt d)=\int_c^d \frac{1}{b-a}\,dx=\frac{d-c}{b-a}. \] 特别地，\((a,b)\) 内长度相等的区间有相等的概率。
反过来也可以证明：若某连续分布落入区间的概率只依赖区间长度，则它必是均匀分布（思考题）。因此"均匀"就是连续世界里"等可能"(equally likely)的精确化身——正如骰子之于离散情形。这一性质使均匀分布成为几何概率的天然模型：概率化为长度之比，不再需要积分。
设 \(X \sim U(0,10)\)。求 (a) \(P(3 \lt X \lt 7)\)；(b) \(P(X \gt 8)\)。
3. 期望与方差
均匀分布的期望与方差公式形式简洁，且都能用初等积分完整算出。这一推导同时是 5.2 节连续型期望定义的最好练习。
设 \(X \sim U(a,b)\)，则 \[ E[X]=\frac{a+b}{2}, \qquad \mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}, \qquad \sigma_X=\frac{b-a}{\sqrt{12}}\approx 0.289\,(b-a). \]
期望恰是区间的中点：这与 5.2 节"对称密度的期望等于对称中心"的结论一致——均匀密度关于 \(x=(a+b)/2\) 对称。5.2 节例 1 算过的 \(U(0,1)\)（\(E=1/2\)，\(\mathrm{Var}=1/12\)）正是本定理取 \(a=0,\ b=1\) 的特例。注意标准差约为区间全长的 \(0.289\) 倍：即使取值"最分散"的均匀变量，其典型偏离也不到半区间的一半。
| 分布 | \(E[X]\) | \(\mathrm{Var}(X)\) | \(\sigma_X\) |
|---|---|---|---|
| \(U(0,1)\) | \(1/2\) | \(1/12\) | \(\approx 0.289\) |
| \(U(0,15)\) | \(7.5\) | \(18.75\) | \(\approx 4.33\) |
| \(U(-0.5,\,0.5)\) | \(0\) | \(1/12\) | \(\approx 0.289\) |
4. 应用一：等待时间与舍入误差
均匀分布最适合刻画"发生在整段时间内、毫无规律可循"的量。最经典的两类模型是等待时间与舍入误差。
某路公交每 15 分钟整点发一班。一位对班次表一无所知的乘客在任意时刻"随机"到达车站。求他等车超过 10 分钟的概率与平均等待时间。
把测量值四舍五入到最接近的整数时，真值的小数部分被视为"毫无偏向"，于是舍入误差(rounding error)通常建模为 \(U(-0.5,\,0.5)\)：期望为 \(0\)（无系统偏差），方差为 \(1/12\)，标准差约 \(0.289\)。这给数值计算中"每步舍入至多半个百分点、典型偏差约 \(0.29\)"以定量刻画；在误差传播分析与某些统计推断中，\(\mathrm{Var}=1/12\) 这一常数会反复出现。
5. 分位数与中位数
分布函数线性意味着均匀分布的分位数(quantile)可以"按比例"直接读出。
设 \(X\) 的分布函数 \(F\) 连续且严格递增。对 \(0 \lt p \lt 1\)，称满足 \(F(x_p)=p\) 的点 \(x_p\) 为 \(X\) 的 \(p\) 分位数（即 \(100p\) 百分位数, percentile）；\(p=1/2\) 时的分位数称为中位数(median)，记作 \(m\)。
设 \(X \sim U(a,b)\)，求其中位数 \(m\) 与一般的 \(p\) 分位数 \(x_p\)，并算出 \(U(0,10)\) 的中位数与上下四分位数。
6. 逆变换法：从均匀走向一切分布
均匀分布还有一重特殊身份：它是随机模拟的起点。计算机的随机数发生器直接产生的既不是正态也不是指数样本，而是近似服从 \(U(0,1)\) 的伪随机数(pseudorandom numbers)。有了 \(U(0,1)\)，其余的连续分布都可以按下述定理"加工"出来。
设 \(F\) 是某连续型分布的分布函数且在其承载区间上严格递增，\(U \sim U(0,1)\)。令 \[ X = F^{-1}(U), \] 其中 \(F^{-1}\) 是 \(F\) 的反函数（\(F^{-1}(u)=x \iff F(x)=u\)）。则 \(X\) 的分布函数恰为 \(F\)。
例如 5.5 节的指数分布 \(F(x)=1-\mathrm{e}^{-\lambda x}\)（\(x \ge 0\)），其反函数为 \(F^{-1}(u)=-\ln(1-u)/\lambda\)，于是 \(-\ln(1-U)/\lambda\) 就是指数样本——完整推导见本节练习 3。更一般的"随机变量函数的分布"理论将在 5.7 节展开，其练习恰好从 \(U(0,1)\) 出发构造指数变量，与本节首尾呼应。
其一，它描述"完全无信息"的量——不知道任何偏好时，等待时刻、舍入误差、未知相位都先用均匀分布兜底；其二，蒙特卡洛方法（8.4 节）以 \(U(0,1)\) 为唯一的随机源；其三，逆变换法把"生成任意分布"归约为"生成均匀分布"。正因如此，均匀分布虽形状最简单，却是模拟链条中最上游的一环。
7. 本节小结
- \(X \sim U(a,b)\)：密度 \(f(x)=\dfrac{1}{b-a}\)（\(a \lt x \lt b\)），分布函数 \(F(x)=\dfrac{x-a}{b-a}\) 在 \([a,b]\) 上线性。
- 概率只依赖区间长度：\(P(c \lt X \lt d)=\dfrac{d-c}{b-a}\)，等长区间等概率——连续世界的"等可能"。
- \(E[X]=\dfrac{a+b}{2}\)（区间中点），\(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\)，\(\sigma=\dfrac{b-a}{\sqrt{12}}\approx 0.289(b-a)\)。
- 典型应用：公交等待时间 \(U(0,15)\)（\(P(X \gt 10)=1/3\)，\(E=7.5\)）与舍入误差 \(U(-0.5,0.5)\)。
- \(p\) 分位数 \(x_p=a+p(b-a)\)，中位数 \(m=\dfrac{a+b}{2}\)。
- 逆变换法 \(X=F^{-1}(U)\)：由 \(U(0,1)\) 可生成任何连续分布——均匀分布是随机模拟的原材料（详见 5.7 节）。
练习
练习 5-3-1
设 \(X \sim U(a,b)\)，\(\mu=E[X]\)，\(\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\)。计算 \(P(|X-\mu| \lt \sigma)\)。
答案与提示由定理 2，\(\mu=\dfrac{a+b}{2}\)，\(\sigma=\dfrac{b-a}{\sqrt{12}}\approx 0.289\,(b-a)\)。由于 \(\sigma \lt \dfrac{b-a}{2}\)，区间 \((\mu-\sigma,\ \mu+\sigma)\) 完全落在 \((a,b)\) 内，故按长度计算： \[ P(|X-\mu| \lt \sigma)=P(\mu-\sigma \lt X \lt \mu+\sigma)=\frac{2\sigma}{b-a}=\frac{2}{\sqrt{12}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0.577. \] 即约 \(57.7\%\)——低于正态分布一倍标准差内的约 \(68\%\)（5.4 节），因为均匀分布把质量摊平而没有向中心集中。
练习 5-3-2
设 \(X \sim U(2,10)\)。求中位数 \(m\)、上下四分位数与第 90 百分位数。
答案与提示用 \(x_p=a+p(b-a)=2+8p\)：中位数 \(x_{0.5}=6\)，下四分位数 \(x_{0.25}=4\)，上四分位数 \(x_{0.75}=8\)，第 90 百分位数 \(x_{0.9}=2+0.9\times 8=9.2\)。
练习 5-3-3
逆变换法生成指数变量：设 \(U \sim U(0,1)\)，令 \(X=-\dfrac{1}{\lambda}\ln U\)（\(\lambda \gt 0\)）。证明 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布，并说明用 \(1-U\) 代替 \(U\) 同样可行。
答案与提示对 \(x \ge 0\)， \[ F_X(x)=P(X \le x)=P\Bigl(-\frac{\ln U}{\lambda} \le x\Bigr)=P\bigl(\ln U \ge -\lambda x\bigr)=P\bigl(U \ge \mathrm{e}^{-\lambda x}\bigr)=1-\mathrm{e}^{-\lambda x}, \] 求导得密度 \(f_X(x)=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\)（\(x \ge 0\)），此即 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\)（5.5 节）；\(x \lt 0\) 时 \(F_X(x)=0\)。又因 \(1-U\) 与 \(U\) 同服从 \(U(0,1)\)，故 \(X=-\dfrac{1}{\lambda}\ln(1-U)\) 亦可。这正是计算机生成指数随机数的标准算法，也与 5.7 节"由 \(U(0,1)\) 构造 \(Y=-\ln X\)"的练习相互印证。
练习 5-3-4
把测量值（单位：毫米）四舍五入到最接近的整数，设舍入误差 \(X \sim U(-0.5,\,0.5)\)。求 \(P(|X| \lt 0.2)\) 与 \(X\) 的标准差。
答案与提示\(P(|X| \lt 0.2)=\dfrac{0.2-(-0.2)}{0.5-(-0.5)}=\dfrac{0.4}{1}=0.4\)；\(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{1^2}{12}=\dfrac{1}{12}\approx 0.083\)，标准差 \(\sigma=\dfrac{1}{\sqrt{12}}\approx 0.289\) 毫米。