5.4　正态随机变量 — 概率论基础教程

学习目标

写出正态分布的概率密度函数，说明参数 \(\mu\)（位置）与 \(\sigma\)（尺度）分别如何决定曲线的位置与胖瘦；
用标准化变换 \(Z=(X-\mu)/\sigma\) 把任意正态随机变量的概率计算归结为标准正态分布函数 \(\Phi\) 的查表；
熟练运用对称性 \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\) 与线性内插完成正反两个方向的查表；
陈述 68-95-99.7 经验法则，并解释 1.28、1.645、1.96 等常用临界值的由来；
了解正态分布从 de Moivre 到 Laplace、Gauss 的历史脉络，以及它作为二项分布近似（第 8 章中心极限定理的先声）的角色。

1. 正态密度：一条钟形曲线与两个参数

测量一台仪器的读数误差、一场考试的成绩、某地区成年男性的身高、加工零件的直径偏差——把大量这类数据的直方图画出来，它们几乎都呈现出同一种形状：中间高、两边低、左右对称的"钟形"。刻画这类现象的模型，就是本教程中最重要的连续型分布。正态随机变量(normal random variable)又称高斯随机变量(Gaussian random variable)，若 \(X\) 服从正态分布，记作 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，其密度由 \(\mu\) 与 \(\sigma\) 两个参数完全确定。

定义 1　正态随机变量

\[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,\exp\!\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\},\qquad -\infty<x<\infty, \]

其中 \(\mu\) 为任意实数，\(\sigma>0\)。以这一密度为概率密度函数(probability density function)的随机变量称为正态随机变量，记作 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)。特别地，\(\mu=0,\ \sigma=1\) 时称为标准正态分布(standard normal distribution)，其密度专用小写希腊字母 \(\varphi\) 表示（见定义 2）。

密度中的指数项 \((x-\mu)^2\) 保证了曲线关于直线 \(x=\mu\) 对称：\(\mu\) 是位置参数(location parameter)，决定钟形中心落在数轴何处；\(\sigma\) 则是尺度参数(scale parameter)，决定数据围绕 \(\mu\) 分散的程度。曲线在 \(x=\mu\) 处达到峰值 \(f(\mu)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\)（\(\sigma=1\) 时约为 \(0.3989\)），在 \(x=\mu\pm\sigma\) 处各有一个拐点——钟形正是由此"顶部圆、两肩折"构成的。\(\sigma\) 越小，峰值越高、曲线越瘦陡；\(\sigma\) 越大，峰值越低、曲线越宽平。图 1 按真实比例画出了同一 \(\mu\) 下 \(\sigma=1,\,1.5,\,2\) 的三条曲线。

图 1：同一 \(\mu\) 下 \(\sigma=1,\,1.5,\,2\) 的正态密度（按真实比例绘制）。峰值 \(1/(\sigma\sqrt{2\pi})\) 分别为 0.399、0.266、0.199；σ=1 的峰恰与纵轴刻度 0.4 相齐，σ=2 的峰与 0.2 相齐。曲线变宽必然变矮，因为每条曲线下的总面积都必须等于 1。

定理 1　正态分布的期望与方差

若 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则 \[ E[X]=\mu,\qquad \mathrm{Var}(X)=\sigma^2. \]

证明记 \(\varphi(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}\)，则 \(f(x)=\dfrac{1}{\sigma}\varphi\!\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)\)。作代换 \(x=\mu+\sigma t\)（\(\mathrm{d}x=\sigma\,\mathrm{d}t\)）：\[ E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{\infty}(\mu+\sigma t)\,\varphi(t)\,\mathrm{d}t =\mu\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(t)\,\mathrm{d}t}_{=1}+\sigma\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}t\,\varphi(t)\,\mathrm{d}t}_{=0}=\mu, \] 第二个积分为零是因为 \(t\varphi(t)\) 是奇函数。同理 \[ E[(X-\mu)^2]=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2 f(x)\,\mathrm{d}x=\sigma^2\int_{-\infty}^{\infty}t^2\varphi(t)\,\mathrm{d}t. \] 由 \(\varphi'(t)=-t\,\varphi(t)\) 得 \(t\,\varphi(t)=-\varphi'(t)\)，分部积分：\[ \int_{-\infty}^{\infty}t^2\varphi(t)\,\mathrm{d}t =-\int_{-\infty}^{\infty}t\,\varphi'(t)\,\mathrm{d}t =-\bigl[t\,\varphi(t)\bigr]_{-\infty}^{\infty}+\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(t)\,\mathrm{d}t=0+1=1, \] 其中边界项为零是因为 \(t\varphi(t)\to 0\)。故 \(\mathrm{Var}(X)=\sigma^2\)。

这一定理使两个参数有了直接的概率含义：\(\mu\) 既是密度的对称中心，也是均值（由 5.2 节关于对称密度的结论同样可知 \(E[X]=\mu\)）；\(\sigma\) 就是标准差，衡量观测值围绕 \(\mu\) 的典型偏离。因此 "\(X\sim N(65,10^2)\)" 应读作：均值 65、标准差 10 的正态分布——第二个参数写的是方差 \(\sigma^2\)。

2. 标准化与 \(\Phi\) 函数：一张表算所有正态概率

正态分布有无穷多对 \((\mu,\sigma)\)，难道每种组合都要一张概率表？所幸所有正态分布彼此只差一个线性变换，只需研究 \(\mu=0,\sigma=1\) 的那一个。把任意 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) 减去均值、除以标准差，就得到标准化(standardization)变量 \(Z=(X-\mu)/\sigma\)。这一技巧在 5.7 节将作为随机变量函数分布的一般例子再次出现。

定义 2　标准正态密度与分布函数 \(\Phi\)

\[ \varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-z^2/2},\qquad \Phi(z)=P(Z\le z)=\int_{-\infty}^{z}\varphi(t)\,\mathrm{d}t, \]

其中 \(Z\sim N(0,1)\) 为标准正态随机变量。\(\Phi(z)\) 就是标准正态曲线下从 \(-\infty\) 到 \(z\) 的面积，它从 0 单调上升到 1，且 \(\Phi(0)=0.5\)（密度关于 0 对称，中位数为 0）。

定理 2　标准化定理

若 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则 \[ Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1),\qquad P(X\le a)=\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right). \]

证明记 \(Z\) 的分布函数为 \(F_Z\)。对任意 \(z\)，\[ F_Z(z)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\le z\right)=P(X\le\mu+\sigma z)=F_X(\mu+\sigma z). \] 两边对 \(z\) 求导（链式法则）：\[ F_Z'(z)=F_X'(\mu+\sigma z)\cdot\sigma=f(\mu+\sigma z)\,\sigma=\frac{\sigma}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-z^2/2}=\varphi(z), \] 即 \(Z\) 的密度恰为标准正态密度，故 \(Z\sim N(0,1)\)。再由 \(P(X\le a)=P\!\left(Z\le\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)\) 即得第二式。直观地说：把 \(x\) 轴的度量原点移到 \(\mu\)、单位放大 \(\sigma\) 倍，任何正态曲线都变成同一条标准钟形曲线。

定理 3　\(\Phi\) 的对称性

对一切 \(z\)，\[ \Phi(-z)=1-\Phi(z),\qquad\text{从而}\quad P(-z<Z<z)=2\Phi(z)-1. \]

证明\(\varphi\) 是偶函数（\(\varphi(-t)=\varphi(t)\)。在 \(\Phi(-z)=\displaystyle\int_{-\infty}^{-z}\varphi(t)\,\mathrm{d}t\) 中令 \(u=-t\)：\[ \Phi(-z)=\int_{\infty}^{z}\varphi(-u)(-\mathrm{d}u)=\int_{z}^{\infty}\varphi(u)\,\mathrm{d}u=1-\Phi(z). \] 几何上，这是钟形曲线左右对称的直接推论：左尾 \(-\infty\) 到 \(-z\) 的面积等于右尾 \(z\) 到 \(\infty\) 的面积。用它可把一切负 \(z\) 的查表化为正 \(z\) 的查表。

图 2：标准正态密度与三块典型面积。绛红色区域为 \(\Phi(1)=0.8413\)（\(z\le 1\) 的全部面积）；金色对称区间 \((-1.96,\,1.96)\) 内面积为 \(0.95\)；最外层 \((-3,\,3)\) 内面积 \(0.9987\)。三块区域逐层嵌套，颜色叠加表示包含关系。

3. 查表、内插与综合例题

有了定理 2 与定理 3，任何正态概率都化为 \(\Phi\) 在正数处的取值。表 1 给出一张常用数值简表（书末附有更细的完整 \(\Phi\) 表）。

表 1：标准正态分布函数 \(\Phi(z)\) 简表（负值由 \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\) 得到）
\(z\)	\(\Phi(z)\)	\(z\)	\(\Phi(z)\)
0	0.5000	1.645	0.9500
0.5	0.6915	1.96	0.9750
1	0.8413	2	0.9772
1.28	0.8997	2.5	0.9938
1.5	0.9332	3	0.9987

查表的四种基本操作（设 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，先标准化再查表）：

左尾概率：\(P(X\le a)=\Phi\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)\)；
右尾概率：\(P(X>a)=1-\Phi\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)\)；
区间概率：\(P(a<X<b)=\Phi\!\left(\dfrac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)\)；
反查分位数(percentile)：由概率值定出 \(z\)，再由 \(x=\mu+\sigma z\) 还原到原变量。

若所需的 \(z\) 介于表中两行之间，可用线性内插(linear interpolation)。例如求 \(\Phi(1.2)\)：它介于 \(\Phi(1)=0.8413\) 与 \(\Phi(1.28)=0.8997\) 之间，按比例 \[ \Phi(1.2)\approx 0.8413+\frac{1.2-1}{1.28-1}\times(0.8997-0.8413)=0.8413+0.0417=0.8830, \] 精确值为 \(0.8849\)。由于 \(\Phi\) 的曲线在 \(z>0\) 处向上凸，弦在曲线下方，线性内插总是略微偏低，但误差通常不超过千分之二。表中还藏着三个日后统计学反复使用的临界值：\(\Phi(1.28)=0.8997\)（第 90 百分位点）、\(\Phi(1.645)=0.95\)（第 95 百分位点）与 \(\Phi(1.96)=0.975\)（双侧 95% 的临界点）。

例 1　考试成绩（Ross 原书例题）

某次考试的成绩 \(X\) 近似服从 \(N(65,10^2)\)（均值 65 分，标准差 10 分）。求：(a) \(P(X>85)\)；(b) \(P(55<X<75)\)；(c) 前 10% 的分数线定为多少分（即求 \(x_0\) 使 \(P(X>x_0)=0.10\)）？

解标准化：\(Z=\dfrac{X-65}{10}\sim N(0,1)\)。
(a) \(P(X>85)=P\!\left(Z>\dfrac{85-65}{10}\right)=P(Z>2)=1-\Phi(2)=1-0.9772=0.0228\)。超过 85 分的约为全班 \(2.28\%\)。
(b) \(P(55<X<75)=P\!\left(-1<Z<1\right)=\Phi(1)-\Phi(-1)=2\Phi(1)-1\approx 2\times 0.8413-1\approx 0.6827\)（用四位表值算得 0.6826，由更精确的 \(\Phi(1)=0.84134\) 得 0.68269，即约 \(68.3\%\)——这正是 68-95-99.7 法则中的"68"）。
(c) 设 \(P(X>x_0)=0.10\)，即 \(1-\Phi\!\left(\dfrac{x_0-65}{10}\right)=0.10\)，故 \(\Phi\!\left(\dfrac{x_0-65}{10}\right)=0.90\)。查表知 \(\Phi(1.28)=0.8997\approx 0.90\)，于是 \(\dfrac{x_0-65}{10}=1.28\)，\(x_0=65+10\times 1.28=77.8\)。分数线应定为 77.8 分：恰好有 10% 的学生成绩超过它。

4. 68-95-99.7 经验法则

把表 1 代入定理 3 的 \(2\Phi(z)-1\)，得到三个最好记的数字：\[ P(|Z|<1)=2\Phi(1)-1\approx 0.6827,\qquad P(|Z|<2)\approx 0.9544,\qquad P(|Z|<3)\approx 0.9974. \] 换回一般的 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，就是68-95-99.7 法则(empirical rule)：约 68% 的概率落在 \(\mu\pm\sigma\) 内，约 95% 落在 \(\mu\pm 2\sigma\) 内，约 99.7% 落在 \(\mu\pm 3\sigma\) 内（图 3）。它给出正态数据离散程度的快速心算尺：三倍标准差之外的事件概率不足千分之三，通常视为"异常值"的信号。注意精确的 95% 中央区间边界不是 \(2\sigma\) 而是 \(1.96\sigma\)——这就是数理统计中无处不在的 1.96 的来源。

图 3：68-95-99.7 经验法则的分层色带。横轴以 \(\sigma\) 的倍数记：\(\mu\pm\sigma\) 内约 68.3%，\(\mu\pm 2\sigma\) 内约 95%（精确 95% 需 \(\mu\pm 1.96\sigma\)），\(\mu\pm 3\sigma\) 内约 99.7%。每向外扩一层，新增的概率急剧减少。

例 2　著名的 1.96：95% 中央区间

设 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，证明 \(P(|X-\mu|<1.96\,\sigma)=0.95\)，并说明区间 \((\mu-1.96\sigma,\ \mu+1.96\sigma)\) 的含义。

解标准化后 \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\)，且 \(|X-\mu|<1.96\sigma\) 等价于 \(|Z|<1.96\)。由定理 3，\[ P(|X-\mu|<1.96\sigma)=P(-1.96<Z<1.96)=2\Phi(1.96)-1=2\times 0.9750-1=0.95. \] 即任何正态随机变量都以 95% 的概率落入其均值左右 \(1.96\sigma\) 的范围内；等价地说，一次观测落在 \(\mu\pm1.96\sigma\) 之外的概率只有 5%。由于正态密度关于 \(\mu\) 对称且在两侧单调下降，这个对称区间还是容纳 95% 概率的最短区间。1.96 这个数字来自 \(\Phi(1.96)=0.975\) 恰好等于 \(1-0.05/2\)，它是统计推断中"双侧 5% 显著性水平"的门槛（第 8 章之后各章将反复出现）。若嫌 1.96 繁琐，用 \(\mu\pm 2\sigma\) 得 \(0.9544\)，作为粗估亦无不可。

5. 应用预告：二项分布的正态近似与历史注记

正态分布之所以"normal"，还因为它是许多其他分布在大样本下的极限形状。最早被发现的情形是二项分布：当 \(n\) 很大时，\(B(n,p)\) 的直方图轮廓趋近于一条同均值、同方差的正态曲线（其理论保证是 8.3 节的中心极限定理，历史上称为 de Moivre–Laplace 定理）。先看一个预告性的计算。

例 3　二项分布的正态近似（8.3 节的先声）

掷一枚均匀硬币 100 次，\(X\) 为正面次数，\(X\sim B(100,\,0.5)\)。用正态近似计算 \(P(X\le 45)\)。

解二项分布的均值与标准差为 \(\mu=np=100\times 0.5=50\)，\(\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{25}=5\)。用 \(N(50,5^2)\) 近似 \(X\)。由于二项是离散型而正态是连续型，把整数点 45 "撑开"为区间 \((-\infty,\,45.5]\) 再标准化（这一步称为连续性修正(continuity correction)）：\[ P(X\le 45)\approx P\!\left(Z<\frac{45.5-50}{5}\right)=P(Z<-0.9)=\Phi(-0.9)=1-\Phi(0.9)\approx 1-0.8159=0.1841, \] 其中 \(\Phi(0.9)=0.8159\) 取自更细的 \(\Phi\) 表（用表 1 在 0.5 与 1 之间内插得 0.811，略偏低）。直接求和二项概率的真值约为 0.1841——近似精度惊人。若不做连续性修正，则得 \(\Phi(-1)=0.1587\)，偏差明显变大，可见修正的必要性。这一方法将在 8.3 节系统展开。

注记　从赌桌到星空：正态曲线的三位推手

正态曲线最早由亚伯拉罕·棣莫弗(Abraham de Moivre)于 1733 年在伦敦求得：他在研究二项分布 \(B(n,\tfrac12)\) 的近似时，发现了这条曲线——正是例 3 的源头，也是历史上第一个中心极限定理的雏形。拉普拉斯(Laplace)在 1812 年《概率的分析理论》中把棣莫弗的结果推广到一般 \(p\) 并发展为严格的极限定理。高斯(Gauss)则在 1809 年研究天文观测的误差理论(theory of errors)时，从"多个小误差叠加"的模型再次导出这条曲线，并用它奠定了最小二乘法的根基——从此天文学、大地测量学界称它为"高斯分布"。后来 K. 皮尔逊(Pearson)为其取名 "normal"，既表示"常规、标准"，也提醒人们：许多本来不是正态的量，在叠加与平均之下也会趋向它（第 8 章中心极限定理）。三种出身——赌金计算、极限定理、测量误差——同归一曲线，这正是它在概率统计中核心地位的来源。

6. 本节小结

要点回顾

正态密度 \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}\) 关于 \(\mu\) 对称；\(E[X]=\mu\)，\(\mathrm{Var}(X)=\sigma^2\)；峰值 \(1/(\sigma\sqrt{2\pi})\) 在 \(x=\mu\) 处。
标准化 \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\)：一切正态概率归结为 \(\Phi\) 的查表，\(P(X\le a)=\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)\)。
对称性 \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\) 使负值免查；区间概率 \(P(a<X<b)=\Phi(z_b)-\Phi(z_a)\)；表间数值用线性内插（略偏低）。
68-95-99.7 法则：\(\mu\pm\sigma\)、\(\mu\pm2\sigma\)、\(\mu\pm3\sigma\) 分别含约 68.3%、95%、99.7% 的概率；精确的 95% 边界是 \(1.96\sigma\)。
由百分位反解：\(\Phi(1.28)\approx0.90\)、\(\Phi(1.645)=0.95\)、\(\Phi(1.96)=0.975\)；分数线类问题即 \(x_0=\mu+\sigma z\)。
正态曲线源自 de Moivre(1733) 对二项的近似，经 Laplace 推广、Gauss 用于误差理论；二项 \(B(n,p)\) 在大 \(n\) 时可用 \(N(np,\,np(1-p))\) 近似（含连续性修正），详见 8.3 节。

练习

练习 5-4-1

查表计算：智商得分 \(X\sim N(100,15^2)\)。求 (a) \(P(X>130)\)；(b) \(P(85<X<115)\)；(c) \(P(X<100)\)。

答案与提示

(a) \(1-\Phi(2)=1-0.9772=0.0228\)；(b) \(2\Phi(1)-1\approx0.6827\)；(c) \(\Phi(0)=0.5\)——正态分布的中位数与均值相同，一半人在均值之下。

练习 5-4-2

对称区间：设 \(Z\sim N(0,1)\)。求 (a) \(P(-0.5<Z<2)\)；(b) \(P(|Z|<1.645)\)；(c) \(P(|Z|>2.5)\)。

答案与提示

(a) \(\Phi(2)-\Phi(-0.5)=\Phi(2)-[1-\Phi(0.5)]=0.9772-0.3085=0.6687\)；(b) \(2\Phi(1.645)-1=2\times0.95-1=0.90\)；(c) \(2[1-\Phi(2.5)]=2\times0.0062=0.0124\)。注意 (a) 是非对称区间，不能套用 \(2\Phi-1\)。

练习 5-4-3

反查分位数：利用表 1 求常数 \(c\)：(a) \(P(Z\le c)=0.90\)；(b) \(P(Z>c)=0.025\)；(c) \(P(|Z|\le c)=0.95\)。

答案与提示

(a) \(c=1.28\)（因 \(\Phi(1.28)=0.8997\approx0.90\)，即第 90 百分位点 \(z_{0.10}\)）；(b) \(c=1.96\)（因 \(\Phi(1.96)=0.975=1-0.025\)）；(c) \(c=1.96\)（\(2\Phi(c)-1=0.95\Rightarrow\Phi(c)=0.975\)）。(b) 与 (c) 是同一分位点的"单侧/双侧"两种表述。

练习 5-4-4

由百分位反解 \(\mu,\sigma\)：某地区成年男性身高 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)。已知 \(P(X<165)=0.3085\)，且 \(P(X>180)=0.0228\)。求 \(\mu\) 与 \(\sigma\)。

答案与提示

由 \(\Phi(0.5)=0.6915\) 得 \(0.3085=\Phi(-0.5)\)，故 \((165-\mu)/\sigma=-0.5\)；由 \(0.0228=1-\Phi(2)\) 得 \((180-\mu)/\sigma=2\)。两式联立：\(\mu=165+0.5\sigma\)，代入第二式 \((180-165-0.5\sigma)/\sigma=2\Rightarrow 15=2.5\sigma\Rightarrow\sigma=6\)，\(\mu=168\)（厘米）。验证：\((165-168)/6=-0.5\)，\((180-168)/6=2\)，均与已知吻合。

练习 5-4-5

概念辨析：例 1(c) 把分数线定在 77.8 分，但 \(P(X=77.8)=0\)（正态是连续型分布）。这是否意味着"前 10%"的说法自相矛盾？

答案与提示

不矛盾。连续型随机变量取任何单点概率为 0（5.1 节），但"前 10%"由尾部面积 \(P(X>77.8)=0.10\) 定义，与单点概率无关。分数线是一个阈值而非必须取得的分数；实际登记成绩经四舍五入离散化后，"高于 77.8"的近似比例仍约为 10%。