2.2　样本空间与事件 — 概率论基础教程

学习目标

给定一个随机试验，能写出恰当的样本空间，并指出它是有限、可数无限还是连续的；
把"至少一个发生""恰好一个发生""都不发生"等日常表述翻译成集合表达式；
绘制文氏图解释事件的并、交、补、差与互斥关系；
陈述事件的交换、结合、分配律，并能证明与运用 De Morgan 对偶律；
理解"事件 = 样本空间的子集"这一观点如何为 2.3 节的概率公理化铺平道路。

1. 样本空间：把所有可能列成集合

2.1 节指出，概率论的第一步是为随机试验建立数学模型，而建模的起点是把试验的全部可能结果无遗漏地界定清楚。掷一枚硬币，结果非正即反；掷一颗骰子，结果必是 \(1\) 到 \(6\) 之一——虽然单次结果不可预知，但"结果的可能范围"在试验之前就完全已知。把这个范围写成集合，就得到本教程最基本的概念。

定义 1　样本空间与样本点

随机试验的所有可能结果构成的集合 \(S\)，称为该试验的样本空间(sample space)；\(S\) 中的每个元素，即试验的一个可能结果，称为样本点(sample point)。

样本空间应当"完备且互斥"：每次试验的结果恰好落回 \(S\) 中的一个样本点，既不遗漏、也不重复。例如掷一枚硬币 \(S=\{\text{正},\text{反}\}\)；掷一颗骰子 \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\)；统计某商品明日销量 \(S=\{0,1,2,\ldots\}\)；测量一只灯泡的寿命 \(S=(0,\infty)\)。

样本空间的选取存在粒度问题：掷两颗骰子，若记录两颗各自的点数（有序对），则共有 \(36\) 个样本点；若只记录点数之和，则只有 \(2\) 到 \(12\) 这 \(11\) 个样本点。两种样本空间都"完备且互斥"，因而都合法，但只有前者的样本点是等可能的——粒度选错，等可能分析就会失效，这一点在 2.5 节的等可能模型中将再次警示。一般原则是：粒度应细到能区分试验中我们关心的全部差别。

2. 事件：样本空间的子集

有了样本空间，"事件"就有了精确的落点。我们关心的问题往往不是单个结果，而是满足某种条件的一批结果："掷出偶数点""寿命超过 5000 小时""点数之和为 7"。这些条件各自挑出 \(S\) 的一个子集——这就是事件的全部含义。

定义 2　事件、必然事件与不可能事件

样本空间 \(S\) 的任一子集 \(E\) 称为一个事件(event)。当且仅当试验结果 \(s\in E\) 时，称事件 \(E\) 发生。其中 \(S\) 本身包含全部样本点，每次试验必然发生，称为必然事件(certain event)；空集 \(\varnothing\) 不含任何样本点，永不发生，称为不可能事件(impossible event)。

例如掷一颗骰子时，"掷出偶数点"是事件 \(\{2,4,6\}\)；单点子集 \(\{2\}\) 表示"恰好掷出 2"。若掷得 4，则事件 \(\{2,4,6\}\) 发生，而事件 \(\{2\}\) 不发生。

"发生"一词的准确含义由此变为"试验结果落在子集之内"。于是，关于事件的一切逻辑——"或、且、非"——都自动翻译为集合的并、交、补。反过来看，所谓概率，就是把一个数合理地分配给每个子集（事件）的函数；对这样的函数应当提出什么要求，正是 2.3 节三条公理的任务。

3. 事件的运算与运算律

设 \(E\)、\(F\) 为同一样本空间 \(S\) 中的事件。并(union)\(E\cup F\) 表示"\(E\) 或 \(F\) 至少一个发生"；交(intersection)\(EF=E\cap F\) 表示"\(E\) 与 \(F\) 同时发生"；补(complement)\(E^c=S-E\) 表示"\(E\) 不发生"；差(difference)\(E-F=E\cap F^c\) 表示"\(E\) 发生而 \(F\) 不发生"。四种运算的直观形象见图 1 的文氏图(Venn diagram)。

定义 3　互斥事件

若两个事件没有公共样本点，即 \(EF=\varnothing\)，则称 \(E\) 与 \(F\) 互斥(mutually exclusive)（或不相交）。互斥事件在同一次试验中不可能同时发生。

例如掷一颗骰子，"掷出 1"与"掷出 2"互斥；而"掷出偶数"与"掷出小于 4 的数"不互斥，因为掷出 2 时两者同时发生。

图 1：文氏图四联。每个面板中，矩形表示样本空间 \(S\)，阴影部分表示相应运算的结果事件：并取两圆全体，交取公共透镜区域，补取圆外一切区域，差取 \(E\) 中除去与 \(F\) 公共的部分。

事件运算满足与数的运算相仿的规律，其中最有价值的是对偶律：把"取补"施加于并（交），得到的是补的交（并）。它把"至少一个不发生"与"都不发生"互相转化，是今后化简事件的常用工具。

定理 1　事件的运算律与对偶律

设 \(E\)、\(F\)、\(G\) 为事件，则有：

交换律与结合律：

\[ E\cup F=F\cup E,\qquad EF=FE; \qquad (E\cup F)\cup G=E\cup(F\cup G),\qquad (EF)G=E(FG). \]

分配律：

\[ E(F\cup G)=EF\cup EG,\qquad E\cup FG=(E\cup F)(E\cup G). \]

对偶律（De Morgan 律）：

\[ (E\cup F)^c=E^cF^c,\qquad (EF)^c=E^c\cup F^c. \]

证明交换律、结合律与分配律是集合运算的一般性质，可直接按"发生"的含义读出，例如 \(E(F\cup G)\) 表示"\(E\) 发生，且 \(F\)、\(G\) 至少一个发生"，这恰好等于"\(E\)、\(F\) 同时发生，或 \(E\)、\(G\) 同时发生"，即 \(EF\cup EG\)。下面用双向包含严格证明对偶律第一式。记 \(A=(E\cup F)^c\)，\(B=E^cF^c\)。一方面，若 \(s\in A\)，则 \(s\notin E\cup F\)，即 \(s\notin E\) 且 \(s\notin F\)，于是 \(s\in E^c\) 且 \(s\in F^c\)，从而 \(s\in B\)，故 \(A\subset B\)。另一方面，若 \(s\in B\)，则 \(s\in E^c\) 且 \(s\in F^c\)，即 \(s\notin E\) 且 \(s\notin F\)，于是 \(s\notin E\cup F\)，从而 \(s\in A\)，故 \(B\subset A\)。两方面合起来即 \(A=B\)。对于第二式，在已证的第一式中把 \(E\)、\(F\) 换成 \(E^c\)、\(F^c\)，得 \((E^c\cup F^c)^c=(E^c)^c(F^c)^c=EF\)，两边再取补（取补是对合运算，\((E^c)^c=E\)），即得 \((EF)^c=E^c\cup F^c\)。对偶律还可以推广到任意有限多个事件：\((\bigcup_{i=1}^{n}E_i)^c=\bigcap_{i=1}^{n}E_i^c\)，\((\bigcap_{i=1}^{n}E_i)^c=\bigcup_{i=1}^{n}E_i^c\)。证毕。

为便于查阅，下表把集合语言与概率语言逐条对照。本节之后，我们将在这两种语言之间自由切换。

表 1：集合语言与概率语言对照表
记号	集合论含义	概率论含义
\(S\)	全集	样本空间（必然事件）
\(\varnothing\)	空集	不可能事件
\(E\subset S\)	子集	事件
\(s\in E\)	元素属于子集	结果为 \(s\)，事件 \(E\) 发生
\(E\cup F\)	并集	\(E\)、\(F\) 至少一个发生
\(EF\)	交集	\(E\)、\(F\) 同时发生
\(E^c\)	补集	\(E\) 不发生
\(E-F\)	差集	\(E\) 发生而 \(F\) 不发生
\(EF=\varnothing\)	不相交	\(E\)、\(F\) 互斥
\(E\subset F\)	包含	\(E\) 发生必导致 \(F\) 发生

注记　互斥不等于对立

常见误区是把"互斥"与"对立"混为一谈。\(E\)、\(F\) 互斥只要求 \(EF=\varnothing\)；而 "\(F\) 是 \(E\) 的对立事件"还要求 \(E\cup F=S\)，即两者恰好把样本空间分尽。掷一颗骰子，\(\{1\}\) 与 \(\{2\}\) 互斥但不对立（还有其余四种结果）；\(\{1\}\) 与 \(\{2,3,4,5,6\}\) 才互为对立事件。对立必互斥，互斥未必对立。另外，"两两互斥"的说法在涉及三个及以上事件时才真正重要——它意味着任意两个都互斥，这一条件将直接出现在 2.3 节的可数可加公理中。

4. 样本空间的三种类型：三个例题

按"大小"分，样本空间有三类：有限(finite)的，如掷骰子；可数无限(countably infinite)的，即其样本点可以排成无穷序列 \(s_1,s_2,s_3,\ldots\)；以及连续(continuous)（不可数）的，如寿命取遍区间 \((0,\infty)\)。下面三个例题各对应一类。无论哪一类，事件的运算与运算律完全相同——集合论不关心 \(S\) 的大小；而 2.3 节的公理也正是对三类空间统一陈述的。

例 1　掷两颗骰子（有限样本空间）

掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，写出样本空间 \(S\)，并给出事件 \(E\)=“两颗骰子的点数之和为 7”所含的全部样本点。\(E\) 中的样本点占 \(S\) 的比例是多少？

解两颗骰子可以分辨，因此一个结果是有序对 \((i,j)\)，其中 \(i\) 为红骰子点数、\(j\) 为蓝骰子点数，各取 \(1,\ldots,6\)。于是 \[ S=\{(i,j): i,j=1,2,\ldots,6\}, \] 共 \(6\times 6=36\) 个样本点，可用图 2 的 \(6\times 6\) 网格一一列出。事件 \(E\) 由满足 \(i+j=7\) 的有序对组成： \[ E=\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}, \] 共 \(6\) 个样本点，恰好落在网格的反对角线上。它占全部样本点的比例为 \(6/36=1/6\)。由两颗骰子的对称性，这 \(36\) 个结果中有理由认为每一个都等可能（2.5 节将把这一比例定义为 \(P(E)=1/6\)）。若一开始偷懒只记录点数之和，\(S\) 便只有 \(11\) 个样本点且远非等可能——粒度的选择直接决定了后续分析能否进行。

图 2：两颗骰子样本空间的 \(6\times 6\) 网格，单元格中标注点数之和 \(i+j\)。高亮的反对角线恰为事件“点数之和为 7”的 \(6\) 个样本点；每条平行于它的方向上的格子之和相同，而主对角线方向和为 2 与 12 的各只有 1 个样本点。

例 2　显像管的寿命（连续样本空间）

测试一只电视显像管的寿命（单位：小时）。写出样本空间 \(S\)，并把事件 \(E\)=“寿命超过 5000 小时”、\(H\)=“寿命超过 4000 小时”表示为 \(S\) 的子集；再用差运算表示“寿命超过 4000 但不超过 5000 小时”。

解寿命可以是任何正实数，故 \(S=(0,\infty)\)，这是一个连续（不可数）的样本空间：任取两个寿命值之间总还有别的可能。两个事件都是半直线区间： \[ E=(5000,\infty),\qquad H=(4000,\infty). \] 显然 \(E\subset H\)（寿命超过 5000 必超过 4000）。于是“超过 4000 但不超过 5000”即 \[ H-E=H\cap E^c=(4000,5000]. \] 注意区间的开闭：寿命恰好等于 5000 属于 \(H\) 而不属于 \(E\)，故包含在 \(H-E\) 中；像 \(\{5000\}\) 这样的单点集也是合法事件（“寿命恰好为 5000 小时”）。连续样本空间中的事件通常是区间或若干区间的并，其概率无法靠“数样本点”得到，而要靠 2.3 节的公理配合长度等测度来赋值，这正是第 5 章连续型随机变量的出发点。

例 3　掷到首次出现 6（可数无限样本空间）

反复掷一颗骰子，直到首次出现 6 点为止，记录整个投掷序列。写出样本空间 \(S\)，说明它是可数无限的，并给出事件“恰好掷 3 次才首次出现 6”与“首次 6 出现在偶数次投掷”。

解由于出现 6 时立即停止，每个结果是一个最后一项为 6、之前各项只能取 \(1\) 到 \(5\) 的有限序列： \[ S=\{x_1x_2\cdots x_{n-1}6:\ n\ge 1,\ x_1,\ldots,x_{n-1}\in\{1,2,3,4,5\}\}. \] 它是无限集：序列长度可以任意长。但它可数：按长度分层，长度为 \(n\) 的序列恰有 \(5^{\,n-1}\) 个（有限的），先数尽长度 1 的，再数长度 2 的，如此排下去，全体样本点便与自然数 \(1,2,3,\ldots\) 一一对应。据此，两个事件分别为 \[ \{x_1x_2 6:\ x_1,x_2\in\{1,2,3,4,5\}\}\quad(\text{含 }25\text{ 个样本点}), \] 以及“长度 \(n\) 为偶数的序列全体”——它仍是无限事件。本例默认试验总会停止，因而每个样本点都是有限序列；“直到首次成功为止”的试验的完整概率结构将在第 4 章的几何分布中严格展开。

5. 本节小结

要点回顾

样本空间 \(S\) 是全部样本点的集合；事件 \(E\) 是 \(S\) 的子集，“发生”即结果落入子集；\(S\) 为必然事件，\(\varnothing\) 为不可能事件。
四种基本运算：并 \(E\cup F\)（至少一个发生）、交 \(EF\)（同时发生）、补 \(E^c\)（不发生）、差 \(E-F=EF^c\)（发生 \(E\) 而不发生 \(F\)）；\(EF=\varnothing\) 即互斥。
事件满足交换、结合、分配律；De Morgan 对偶律 \((E\cup F)^c=E^cF^c\)、\((EF)^c=E^c\cup F^c\) 把“至少一个”与“全部”互相转化。
样本空间分有限（两骰 36 点）、可数无限（掷到首次 6）、连续（寿命 \((0,\infty)\)）三类；集合运算与 2.3 节的公理对三类统一适用。
下一节将把概率定义为作用在事件（子集）上、满足三条公理的函数——本节的集合语言就是公理的地基。

练习

练习 2-2-1

设 \(E\)、\(F\) 为两个事件，试用 \(E\)、\(F\) 的集合表达式分别表示：(a) \(E\)、\(F\) 至少一个发生；(b) \(E\)、\(F\) 恰好一个发生；(c) \(E\)、\(F\) 都不发生。

答案与提示

(a) \(E\cup F\)。(b) \(EF^c\cup E^cF\)，即“\(E\) 发生 \(F\) 不发生，或 \(F\) 发生 \(E\) 不发生”；它也等于 \((E\cup F)-EF\)，即从“至少一个”中挖去“两个同时”的部分。(c) \(E^cF^c\)，由对偶律它恰是 \((E\cup F)^c\)——“至少一个发生”的补集。

练习 2-2-2

取 \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\)，\(E=\{1,2,3,4\}\)，\(F=\{3,4,5\}\)。逐一列出元素，验证两条对偶律 \((E\cup F)^c=E^cF^c\) 与 \((EF)^c=E^c\cup F^c\)。

答案与提示

\(E\cup F=\{1,2,3,4,5\}\)，故 \((E\cup F)^c=\{6\}\)；而 \(E^c=\{5,6\}\)，\(F^c=\{1,2,6\}\)，交为 \(\{6\}\)，两边相等。又 \(EF=\{3,4\}\)，故 \((EF)^c=\{1,2,5,6\}\)；而 \(E^c\cup F^c=\{5,6\}\cup\{1,2,6\}=\{1,2,5,6\}\)，亦相等。小例子验证大定理，有助于把“补”与“交并互换”的直觉固定下来。

练习 2-2-3

把两只（可分辨的）球逐一放入三个盒子，每只球等可能地落入任一盒。写出样本空间 \(S\)，并数出样本点总数。若两球不可分辨，样本点又是多少个？

答案与提示

一个结果由“球 1 落入的盒子 \(i\)”与“球 2 落入的盒子 \(j\)”完全确定，故 \(S=\{(i,j): i,j\in\{1,2,3\}\}\)，共 \(3^2=9\) 个样本点（第 1 章的乘法原理：\(3\times 3\)）。若两球不可分辨，能区分的只是各盒球数的分布 \((2,0,0)\) 型 3 个、\((1,1,0)\) 型 3 个，共 \(6\) 个样本点——但它们不再等可能（前者各对应 1 个有序结果，后者各对应 2 个）。两种粒度的差异正对应 2.5 节的警示。

练习 2-2-4

在例 1 的两骰样本空间中，用集合写出事件 \(G\)=“至少一颗骰子点数为 6”，并数出 \(|G|\)。

答案与提示

记 \(G_1\)=“红骰为 6”\(=\{(6,j):j=1,\ldots,6\}\)，\(G_2\)=“蓝骰为 6”\(=\{(i,6):i=1,\ldots,6\}\)，则 \(G=G_1\cup G_2\)。若直接相加得 \(12\) 就重复计了 \((6,6)\)：\(G_1G_2=\{(6,6)\}\)，故 \(|G|=6+6-1=11\)。这一“多退少补”的计数思想，正是 2.4 节容斥公式的雏形。