- 用单调包含关系定义"递增 / 递减事件列"及其极限事件，并说明 \(\bigcup E_n\)、\(\bigcap E_n\) 为何是自然的极限；
- 陈述并证明递增、递减事件列的两个连续性定理（化不交并 + 可数可加公理，递减情形取补化为递增）；
- 在 \(S=(0,1)\) 的长度概率模型中验证两个定理，理解"交为空集而概率趋于 0"的微妙之处；
- 运用连续性计算极限事件的概率（区间极限、可数点集），并解释"概率为 0 不等于不可能"；
- 说明"概率是连续集函数"这一观点对几何概率模型与后续分布函数、极限定理的意义。
1. 从有限并到可数并：概率函数为何要"连续"
2.3 节的三条公理中，公理 3 的可数可加性(countable additivity)只直接处理"两两互斥的无穷多个事件"；2.4 节则把有限并、有限交情形的概率计算梳理清楚。一个自然的问题随之而来：当事件 \(E_n\) 随 \(n\) 的增大而"趋向"某个极限事件 \(E\) 时，概率 \(P(E_n)\) 是否也趋向 \(P(E)\)？换言之，\(P\) 作为以集合为自变量的集函数(set function)，是否像微积分中的连续函数那样，允许交换"取极限"与"求概率"的次序？
集合之间没有天然的"距离"，但有一类特殊而常见的收敛方式——单调包含。例如在 \(S=(0,1)\) 上按长度赋概，区间 \(E_n=(0,\,1-1/n]\) 随 \(n\) 增大逐渐撑满整个样本空间，其长度 \(1-1/n\) 趋于 1，与"极限区间"\((0,1)\) 的长度一致。本节将证明：对单调变化的事件列，这种交换永远合法——这正是标题"概率：连续集函数"的确切含义。
设 \(\{E_n,\ n\ge 1\}\) 为样本空间 \(S\) 中的一列事件。若 \(E_1\subset E_2\subset E_3\subset\cdots\)，称为递增事件列(increasing sequence of events)，其极限事件(limit event)定义为 \(E=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\)，记作 \(E_n\uparrow E\)；若 \(E_1\supset E_2\supset\cdots\)，称为递减事件列(decreasing sequence of events)，极限事件为 \(E=\bigcap_{n=1}^{\infty}E_n\)，记作 \(E_n\downarrow E\)。
由 2.4 节的单调性命题，递增列的 \(P(E_n)\) 单调不减且有上界 1，递减列的 \(P(E_n)\) 单调不增且有下界 0，因此两端的数列极限都存在。下面的定理断言：这个数列极限恰好等于极限事件的概率。
2. 递增事件列的连续性定理
若 \(E_1\subset E_2\subset\cdots\)，则 \[ P\Big(\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\Big)=\lim_{n\to\infty}P(E_n). \]
（i）\(\bigcup_{n=1}^{\infty}F_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\)。一方面每个 \(F_n\subset E_n\)，故"左含于右"；另一方面，若 \(x\in\bigcup E_n\)，设 \(k\) 为使 \(x\in E_k\) 的最小下标，则 \(k=1\) 时 \(x\in F_1\)，\(k\ge 2\) 时 \(x\in E_k\) 但 \(x\notin E_{k-1}\)，故 \(x\in F_k\)。
（ii）诸 \(F_n\) 两两不交：若 \(m<n\)，则 \(F_m\subset E_m\subset E_{n-1}\)，而 \(F_n\) 与 \(E_{n-1}\) 不相交。
于是由公理 3（可数可加性）与部分和的收敛， \[ P\Big(\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\Big)=\sum_{n=1}^{\infty}P(F_n)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}P(F_n). \] 对固定的 \(N\)：因 \(E_{n-1}\subset E_n\) 且 \(E_n=E_{n-1}\cup(E_n-E_{n-1})\) 为不交分解，有 \(P(F_n)=P(E_n)-P(E_{n-1})\)，代入后分子分母望远镜相消， \[ \sum_{n=1}^{N}P(F_n)=P(E_1)+\sum_{n=2}^{N}\big(P(E_n)-P(E_{n-1})\big)=P(E_N). \] 两端令 \(N\to\infty\)，即得 \(P(\bigcup E_n)=\lim_{N\to\infty}P(E_N)\)。证毕。∎
直观地说，递增列的并好比一层层刷墙：每一遍新增的涂层 \(F_n=E_n-E_{n-1}\) 互不重叠，总的"覆盖量"当然是各层之和，而刷完第 \(N\) 遍时的覆盖量正是 \(P(E_N)\)。定理 1 把这一直观变成了定理。
3. 递减事件列的连续性定理
若 \(E_1\supset E_2\supset\cdots\)，则 \[ P\Big(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_n\Big)=\lim_{n\to\infty}P(E_n). \]
若 \(\{E_n\}\) 递减且 \(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_n=\varnothing\)，则 \(\lim_{n\to\infty}P(E_n)=0\)。
由定理 2 立得：\(P(\varnothing)=0\)。它常被用来证明"某类点被取到的概率为零"，下节例题与第 8 章的极限定理都会反复使用这一手法。
4. 长度模型 \(S=(0,1)\) 中的验证
最能体现这两个定理价值的舞台是连续样本空间。考虑 \(S=(0,1)\)，并按"长度"给事件赋概：区间 \((a,b)\)、\((a,b]\) 等的概率就取其长度 \(b-a\)。这正是第 5 章均匀分布(uniform distribution)的雏形（严格表述依赖一维勒贝格测度(Lebesgue measure)，此处按直观理解即可）。在这一模型中，"事件列的极限"看得见摸得着。
在 \(S=(0,1)\) 按长度赋概的模型中：(a) 设 \(E_n=(0,\,1-1/n]\ (n\ge 2)\)，验证 \(\{E_n\}\) 递增并求 \(P(\bigcup E_n)\)；(b) 设 \(F_n=(0,\,1/n]\)，验证 \(\{F_n\}\) 递减并求 \(P(\bigcap F_n)\)。
(a) 在同一模型中取 \(G_n=(0,\,1/2+1/n]\ (n\ge 2)\)，说明 \(\{G_n\}\) 递减且 \(\bigcap G_n\neq\varnothing\)，并验证定理 2；(b) 用数值表演示例 1 (a) 中递增列 \(P(E_n)=1-1/n\) 的收敛过程。
| \(n\) | \(E_n\) | \(P(E_n)=1-1/n\) |
|---|---|---|
| \(2\) | \((0,\,1/2]\) | \(0.5\) |
| \(3\) | \((0,\,2/3]\) | \(0.6667\) |
| \(4\) | \((0,\,3/4]\) | \(0.75\) |
| \(5\) | \((0,\,4/5]\) | \(0.8\) |
| \(10\) | \((0,\,9/10]\) | \(0.9\) |
| \(100\) | \((0,\,99/100]\) | \(0.99\) |
| \(1000\) | \((0,\,999/1000]\) | \(0.999\) |
| \(n\to\infty\) | \(\bigcup E_n=(0,1)\) | \(\to 1\) |
在 \(S=(0,1)\) 中按长度赋概、随机取点。证明：该点落在有理数上的概率为 0，落在无理数上的概率为 1；并由此说明"概率为 0 的事件未必是不可能事件"。
5. 意义：为什么称概率为"连续集函数"
至此可以正面回答本节标题的提问：概率确实是连续集函数——定理 1 与定理 2 表明，\(P\) 在事件的单调极限意义下连续，即允许交换"取极限"与"求概率"的次序。这一性质在三个层面上不可或缺。
其一，它是沟通有限与无限的桥梁。2.4 节的全部命题只涉及有限次并、交运算；定理 1 的证明正是把可数并拆成不交并之后才得以调用公理 3。可以说：连续性 = 可数可加性 + 有限结果取极限，它是从"有限可加"走向"可数可加"的通行证。其二，它为几何概率模型提供合法性。由例 3，单点与端点都不占"长度"，于是 \((a,b)\)、\([a,b)\)、\((a,b]\)、\([a,b]\) 的概率同为 \(b-a\)——开闭端点不影响概率，这不是约定而是定理的推论；第 5 章分布函数 \(F(x)=P(X\le x)\) 的"右连续"性质，也正是定理 2 作用于递减列 \(( -\infty,\,x+1/n]\) 的直接结果。其三，它是研究无穷多次试验的基本工具："事件最终发生""频率收敛于 \(p\)"这类极限表述，都要靠本节的定理才能严格化（第 8 章大数定律的证明将以它为基本部件）。
第一，单调性不可省略。对任意（不单调的）事件列，\(P(\lim E_n)=\lim P(E_n)\) 一般不再成立，一般情形需要上极限、下极限等更强工具，超出本书范围。第二，"递减到空集则概率趋于 0"并非有限可加性的推论：在只承认可有限加性的体系中，可以构造出 \(E_n\downarrow\varnothing\) 而 \(P(E_n)\equiv 1\) 的病态例子。换言之，柯尔莫哥洛夫选择可数可加的公理 3，正是为了排除这类"不连续"的概率——这正是"连续集函数"一词的深意所在。
6. 本节小结
- 定义：递增列 \(E_n\uparrow\bigcup E_n\)，递减列 \(E_n\downarrow\bigcap E_n\)；由单调性，\(P(E_n)\) 单调有界，极限必存在。
- 定理 1（递增）：\(P(\bigcup E_n)=\lim P(E_n)\)。证明要点：化不交并 \(E_1\cup(E_2-E_1)\cup(E_3-E_2)\cup\cdots\)，用公理 3 与望远镜求和。
- 定理 2（递减）：\(P(\bigcap E_n)=\lim P(E_n)\)。证明要点：取补化为递增列再用定理 1；推论 1：交为空集则概率趋于 0。
- 长度模型验证：\(S=(0,1)\) 中 \(E_n=(0,1-1/n]\) 递增趋于全空间、\(F_n=(0,1/n]\) 递减收缩到空集，两个定理均成立；可数点集概率为 0，故概率为 0 不等于不可能。
- 意义：概率是连续集函数——为几何概率、第 5 章分布函数的右连续性与第 8 章极限定理奠基。
练习
练习 2-6-1
不取补，直接用"差不交分解"证明定理 2（递减列的连续性）。
答案与提示令 \(D_k=E_k-E_{k+1}\)，则诸 \(D_k\) 两两不交，且 \(\bigcup_{k=n}^{\infty}D_k=E_n-\bigcap_{k}E_k\)（若 \(x\in E_n\) 且 \(x\notin\bigcap E_k\)，取最小的 \(k\ge n\) 使 \(x\notin E_{k+1}\)，则 \(x\in D_k\)）。于是 \(E_n=(\bigcap E_k)\cup\bigcup_{k\ge n}D_k\) 为不交并， \[ P(E_n)=P\Big(\bigcap E_k\Big)+\sum_{k=n}^{\infty}P(D_k). \] 由 \(0\le\sum_{k=1}^{\infty}P(D_k)\le P(E_1)<\infty\) 知该级数收敛，其尾部 \(\sum_{k\ge n}P(D_k)\to 0\)，故 \(P(E_n)\to P(\bigcap E_k)\)。
练习 2-6-2
设 \(\{E_n\}\) 递减且 \(\bigcap E_n=\varnothing\)，证明 \(P(E_n)\to 0\)；并在 \(S=(0,1)\) 长度模型中用 \(E_n=(0,\,1/n]\) 给出具体印证。
答案与提示由定理 2，\(P(E_n)\to P(\bigcap E_n)=P(\varnothing)=0\)。具体印证即例 1 (b)：\(P(E_n)=1/n\to 0\)。这一推论是证明"某类点被取到概率为零"的标准工具。
练习 2-6-3
（可数集的赋权）设 \(x_1,x_2,\dots\) 是 \(S\) 中互异的点，对每点赋值 \(P(\{x_i\})=p_i\ge 0\)。令 \(F_n=\{x_1,\dots,x_n\}\)，用定理 1 证明 \(P\big(\bigcup_{i=1}^{\infty}\{x_i\}\big)=\sum_{i=1}^{\infty}p_i\)。
答案与提示\(F_n\) 递增且 \(\bigcup F_n=\bigcup\{x_i\}\)；由有限可加性 \(P(F_n)=\sum_{i=1}^{n}p_i\)；由定理 1 取极限即得。这说明在连续性定理之下，"对单点赋权"自动扩张为对整个可数集的合法概率——例 3 即其 \(p_i\equiv 0\) 的特例。
练习 2-6-4
在 \(S=(0,1)\) 长度模型中，令 \(G_n=\big(\tfrac{1}{n+1},\,\tfrac{1}{n}\big]\)。证明这些区间两两不交，并用定理 1 求 \(P\big(\bigcup_{n=1}^{\infty}G_n\big)\)。
答案与提示相邻区间端点相接但不重叠，任意两个不同区间不相交。部分并 \(H_N=\bigcup_{n=1}^{N}G_n=\big(\tfrac{1}{N+1},\,1\big]\) 递增，其极限事件 \(\bigcup G_n\) 作为 \(S\) 的子集就是 \((0,1)\)（端点 1 不属于 \(S\)）。由定理 1，\(P(\bigcup G_n)=\lim_{N\to\infty}\big(1-\tfrac{1}{N+1}\big)=1\)。也可由公理 3 直接求和验证：\(\sum_{n=1}^{\infty}\big(\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n+1}\big)=1\)，正是望远镜级数。